巧用面积法-妙解几何题.ppt

巧用面积法 妙解几何题人教版八年级数学人教版八年级数学 上册上册 映山中学映山中学 严正霞严正霞何谓面积法n在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。n抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。更简捷，更有趣味。温故知新填空：填空：1.若若ABCDEF，且，且ABC的面积为的面积为25，则，则DEF的面积的面积为为 。2.已知已知AD为为ABC的中线，则的中线，则S ABD与与S ACD的大小关系为的大小关系为 。3.(1)平行四边形平行四边形ABCD的一条对角线的一条对角线AC把它分成两个三角形把它分成两个三角形ABC、ADC，则，则S ABC与与S ADC的大小关系为的大小关系为 。(2)平行四边形平行四边形ABCD的边的边AD上有一点上有一点E，连结，连结EB、EC，则，则S EBC与与S平行四边形平行四边形ABCD的关系为的关系为 。4.已知直线已知直线a b，点，点M、N为为b上两点，点上两点，点A、B为为a上两点，连上两点，连结结AM、AN、BM、BN，则，则S AMN 与与S BMN的大小关系为的大小关系为 。25SABD=SACDSABC=SADCSABD=1/2S平行四边形ABCDSAMN=SBMN用面积法解几何问题常用到下列性质：n全等三角形的面积相等；全等三角形的面积相等；n三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；n平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分；平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分；n三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积的一半；三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积的一半；n同底（或等底）等高的三角形面积相等。同底（或等底）等高的三角形面积相等。例题讲解n证线段相等证线段相等例例1.已知：已知：ABC中，中，A为锐角，为锐角，AB=AC，BDAC于于D，CEAB于于E，求证：，求证：BD=CE.ABCDE分析：此题运用三角形全等可以解决，但考虑到有“高”，不妨用面积法来试试，可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD来完成。证明：证明：ABC中，中，BDAC于于D，CEAB于于E S ABC=1/2ABCE=1/2ACBD又又AB=ACBD=CE用面积法好简单哟！变式训练1.已知：等腰已知：等腰ABC中，中，AB=AC，D为底边为底边BC的中点，的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E、F.求证：求证：DE=DF.ABCDFE分析：此题用三角形全等可完成，但题中出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接AD，则SABD=SACD，由AB=AC，可得DE=DF.2.平行四边形平行四边形ABCD中，中，BEAC于于E，DFAC于于F，求证：，求证：BE=DF变式训练ABCDEF分析：此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，根据S平行四边形ABCD=2S ABC=2SADC可得证。n证线段的和差关系证线段的和差关系例例2.（1）已知：）已知：ABC中，中，AB=AC，P为底边为底边BC上一点，上一点，PDAB于于D，PEAC于于E，BFAC于于F，求证：，求证：PD+PE=BF.ABCPFED分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接AP，根据SABC=SABP+SACP，结合AB=AC，可得证。证明：证明：BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD，SACP=1/2ACPE S ABC=S ABP+SACP1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPEAB=AC PD+PE=BF（2）若）若P为为 ABC的底边的底边BC的延长线上一点，其他条件不变，则（的延长线上一点，其他条件不变，则（1）中）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。论，并证明。ABCPFDE分析：虽然题目条件发生了变化，但思路不变，方法不变，还是用面积法。连接AP，根据SABC=SABP-SACP，结合AB=AC，可得到正确的结论:PD-PE=BF。证明：证明：BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD，SACP=1/2ACPE S ABC=S ABPSACP1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPEAB=AC PDPE=BF3.（1）已知等边）已知等边ABC内有一点内有一点P，PDAB，PEBC，PFCA，垂足，垂足分别为分别为D、E、F，又，又AH为为ABC的高，求证：的高，求证：PD+PE+PF=AH.变式训练AHEFDBCP分析：考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”，可尝试面积法。连结PA、PB、PC，根据SABC=SABP+SBCP+SACP，由AB=BC=AC，可得证PD+PE+PF=AH（2）若）若P是等边是等边ABC外部一点，其他条件不变，（外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。明理由。ABCFDEHP分析：此题的条件虽然发生了变化，但是思路、方法不变，还是应用面积法。连结PA、PB、PC，根据SABC=SABP+SACPSBCP，由AB=BC=AC，可得正确结论：PD+PFPE=AHn证角相等证角相等例例3.点点C是线段是线段AB上一点，分别以上一点，分别以AC、BC为边在为边在AB同侧作等边同侧作等边ACD和等和等边边BCE，连接，连接BD、AE交于交于O点，再连接点，再连接OC，求证：，求证：AOC=BOC.ABCDEO分析：要证AOC=BOC，可证点C到AO、BO的距离相等，如此就要过C点作CPAE于P，CQBD于Q，证CP=CQ，可考虑面积法，证ACEDCB,则有 SACE=SDCB 且AE=BD，可得CP=CQ。PQ证明：过点证明：过点C C作作CPAECPAE于于P P，CQBDCQBD于于Q Q，ACDACD、BCEBCE是等边三角形是等边三角形 AC=DCAC=DC，EC=BCEC=BC，ACD=ECB=60 ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACEDCB ACE=DCB=120 ACEDCB SSACEACE=S=SDCBDCB ，AE=BDAE=BD CP=CQ OCCP=CQ OC平分平分 AOBAOB，即即 AOC=BOC.AOC=BOC.变式训练4.在平行四边形在平行四边形ABCD的两边的两边AD、CD上各取一点上各取一点E、F，使，使AF=CE，且，且AF与与CE交于点交于点P，连接，连接BP，求证：，求证：BP平分平分APC分析：要证BP平分APC，可证点B到AP、CP的距离相等，故过B作BGAF于G，BHCE于H，连接BF、BE。由于AF=CE，只要SABF=SBCE即可，而SABF=SBCE=1/2S平行四边形ABCD，所以BG=BH，命题得证。ABCDFEGH课堂小结n面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法；面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法；n使用面积法的前提是：题中要有使用面积法的前提是：题中要有“垂线段垂线段”，若没有，若没有“垂线段垂线段”，则，则要结合角平分线的性质或判定构造要结合角平分线的性质或判定构造“垂线段垂线段”；n使用面积法解题的关键在于：抓住图形之间的面积关系，进而利用面使用面积法解题的关键在于：抓住图形之间的面积关系，进而利用面积公式转化为线段关系。积公式转化为线段关系。要记住哟！要记住哟！课后练习1.RtABC中，中，BAC=90，AB=3，M为边为边BC上一点，连接上一点，连接AM，若将，若将ABM沿直线沿直线AM翻折后，点翻折后，点B恰好落在边恰好落在边AC的中点的中点B处，那么点处，那么点M到到AC的距离是的距离是 。2.ABC中，中，AB=AC，A=120，BC=6，PE AB于于E，PF AC于于F，则，则PE+PF=。ABCMB第1题CPBAEF第2题3.ABC中，中，ABAC，BD和和CE分别为分别为AC、AB上的高，求证：上的高，求证：BDCE.4.以以ABC的边的边AB、AC为边长，在为边长，在BC的同侧作正方形的同侧作正方形ABEF和正方形和正方形ACGH，连接，连接FH，过点，过点A作作AD BC于于D，延长，延长DA交交FH于点于点M，求证：，求证：FM=HM.ABCDE第3题ABCEFGHMD第4题5.设设E是是ABC的角平分线的角平分线AD上一点，连接上一点，连接EB、EC，过，过C作作CF BE交交AB的延长线于的延长线于F，过，过B作作BG EC交交AC的延长线于的延长线于G，求证：，求证：BF=CG.（提示：（提示：S BEF=S BEC=S CEG）AFGBCDE第5题6.在在ABC中，中，AD是是BAC的平分线，求证：的平分线，求证：ABAC=BDCD.（提示：（提示：ABAC=S ABDS ACD）7.Rt ABC中，中，ACB=90，CD AB于于D，已知，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证：，求证：1/a2+1/b2=1/h2（提示：（提示：a2+b2=c2）ABCD第6题CABD第7题