数列知识点及常用结论.pdf

1数列知识点及常用结论数列知识点及常用结论一、等差数列一、等差数列（1）等差数列的基本公式）等差数列的基本公式通项公式：通项公式：（从第 1 项开始为等差）1(1)naand1a （从第 m 项开始为等差）()nmaanm dma ()nmnmnmaandaanm daadnm前前项和公式：项和公式：n11()(1)22nnn aan nSnad（2）证明等差数列的法方）证明等差数列的法方定义法：定义法：对任意的 n，都有（d 为常数）为等差数列1nnaadna等差中项法：等差中项法：（n）为等差数列122nnnaaa*Nna通项公式法：通项公式法：=pn+q (p，q 为常数且 p0)为等差数列nana 即：即：通项公式位 n 的一次函数，公差，首项dp1apq前前项和公式法：项和公式法：(p，q 为常数)为等差数列n2nSpnqnna 即：即：关于 n 的不含常数项的二次函数（3 3）常用结论）常用结论若数列，为等差数列，则数列，na nbnaknk agnnabnkab(k，b 为非零常数)均为等差数列.若 m+n=p+q(m，n，p，q)，则=.*Nnmaapqaa特别的，当 n+m=2k 时，得=nmaa2ka在等差数列中，每隔 k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍na*N为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：，仍为公差为 3d 的等差数1a4a7a10a列)2若数列为等差数列，则记，na12kkSaaa，则，2122kkkkkSSaaa3221223kkkkkSSaaakS2kkSS仍成等差数列，且公差为d32kkSS2k若为等差数列的前 n 项和，则数列也为等差数列.nSnanSn 此性质对任何一种数列都适用此性质对任何一种数列都适用11,(1),(2)nnnSnaSSn求求最值的方法：最值的方法：nSI I:若0，公差 d0，则当时，则有最大值,且最大；1a100kkaanSkS 若0，则当时，则有最小值，且最小；1a100kkaanSkSIIII：求前项和的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数，n2nSpnqnk当 时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断。nkkSnS二、等比数列二、等比数列（1）等比数列的基本公式）等比数列的基本公式通项公式：通项公式：（从第 1 项开始为等比）11nnaa q1a （从第 m 项开始为等差）n mnmaa qma前前项和公式：项和公式：，n1(1),(1)1nnaqSqq1,(1)nSnaq（2）证明等比数列的法方）证明等比数列的法方定义法：定义法：对任意的 n，都有(q0)为等比数列1(0)nnnaqa a1nnaqana等比中项法：等比中项法：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaana3通项公式法：通项公式法：为等比数列1(,0nnaaqa q是不为的常数)na（3 3）常用结论）常用结论若数列，为等比数列，则数列，na nb1nank ag2na21nanna bnnab(k 为非零常数)均为等比数列.若 m+n=p+q(m，n，p，q)，则=.*Nnma agpqaag特别的，当 n+m=2k 时，得=nma ag2ka在等比数列中，每隔 k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为na*N等比数列，且公比为(例如：，仍为公比的等比数列)1kq1a4a7a10a3q若数列为等差数列，则记na，12kkSaaa2122kkkkkSSaaa3221223kkkkkSSaaa则，仍成等比数列，且公差为kS2kkSS32kkSSkq4三、求任意数列通项公式三、求任意数列通项公式的方法的方法na（1）累加法：）累加法：若满足 an+1=an+f(n)利用累加法求：nana12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa例题：例题：若，且，求：11a12nnaanna练习题：练习题：若数列满足，且na1120nnnaa10a5（2）累乘法：）累乘法：若满足利用累乘法求：na1()nnaf nana 32411231()()()()nnnaaaaaaaaaaggggg例题：例题：在数列an中，求：.1111,2nnnaaanna练习题：练习题：在数列an中，且，求：（提示：）11a 1nnanana1 2 3.!nn 6（3 3）递推公式中既有递推公式中既有，又有，又有，用逐差法，用逐差法nSna 特别注意：该公式对一切数列都成立。11nnnSaSSn=1n27（4 4）若）若满足满足，则两边加：，在提公因式 P，构na1,()nnapaqpq1qxp造出一个等比数列，再出求：na例题：已知数列例题：已知数列，满足：，且，求：na121nnaa11ana习题习题 1 1：已知数列满足：且，求：na131nnaa11ana习题习题 2 2：已知数列满足：，且，求：na12a nnSanna8（5 5）若）若满足满足，则两边同时除以：，则两边同时除以：，构造出一个等差数列，构造出一个等差数列，na1n knnapap1np再求出：再求出：na例题：已知满足：，求：na11a1122nnnaana 解：，既有：111122222nnnnnnnaaaa11222nnnnaa 所以：是首项为：，公差的等差数列2nna1122a12d 所以：11(1)2222nnann1222nnnnan习题 1：已知且，求：1133nnnaa11ana习题 2：已知且，求：1123 2nnnaa 11a na9（六）待定系数法：（六）待定系数法：若满足以下关系：na 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：1nnakaf n温馨提示：温馨提示：提，对待定系数k()f n例题例题 1 1：已知数列满足，求数列的通项公式.na1123 56nnnaaa，na 解：解：，与原式对应得，11152(5)235nnnnnnnaxaxaax1 x 1111552(5)25nnnnnnnnaaaa所以：是首项，公比的等比数列5nna1151a2q 既有：115252nnnnnnaa例题例题 2 2：已知数列满足，求数列的通项公式.na1135 241nnnaaa，na 解：，11123(2)322nnnnnnnaxyaxyaaxy与原式对应得：5,2xy 11115 225 223(5 22)35 22 nnnnnnnnaaaa 所以：是首项为：，公比的等比数列5 22 nna115 2213 a3q既有：115 2213 313 35 22 nnnnnnaa10（七）颠倒法：（七）颠倒法：若满足：，用颠倒法；na1nnnC aaaC 11111nnnnnnnnnnC aaCaCaaCaC aC aC aCa所以：，所以：是以首项为：，公差的等差数列1111nnaaC1na11a1dC例题例题 1：已知：已知，且，求：122nnnaaa12a na例题 2：已知，且，求：1133nnnnaaaa11a na11（八）倒数换元法：（八）倒数换元法：若数列满足：，则颠倒变成 na1nnnA aaB aC111nnnnB aCCBaA aA aA然后再用两边加：或者待定系数法既可求出，再颠倒就可得到：1qp1na na例题：若数列满足：，且，求：na123nnnaaa11ana解：，两边加：1 得：1121311322nnnnnaaaaa11313122 nnaa，111113131(1)1221 nnnnaaaa所以：是首项为：，公比：的等比数列；11na1112 a32q既有：122121213132212()2232 nnnnnnnnnnaaa若用待定系数法：若用待定系数法：11121311131()3222nnnnnnnaaxxaaaaa 与原式子对应得，然后的方1113 1313 112222nnnnxxxaaaa1x法同上；习题：习题：已知且，求：1132nnnnaaaa11a na12四、求前四、求前 n n 项和项和 S Sn n的方法的方法（1）错位相减求和）错位相减求和 主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n 项和；或者是等差与等比的商的前 n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设为等差数列，为等比数列，求：或的前 n 项和常用此方法（都转变nanbnnabnnabnnab为乘积形式）例题例题 1 1：已知数列，数列的前项和，求数列的2nna nbn22nSnnnnab前项和nnT例题例题 2 2：求数列：求数列的的前项和312nnnannabnnS13习题 1：求：231 24 272.(32)2nnSn 习题 2：设数列，求的前 n 项和1(21)3nnnananS14（2）裂项相消求和）裂项相消求和 适用于的形式，变形为：1()nannk11 11()()nannkk nnk例题：求数列的前 n 项和1(1)nan nnS习题 1：求数列的前 n 项和 1(2)nan nnS习题 2：求数列的前 n 项和.,11,321,211nn15（3）、分组法求和、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求的前和？321nnannnS习题 1：已知是一个递增的等差数列且，前 n 项和为na241545,14aaaananS数列的前 n 项和为，求数列的前 n 项和212nnbnS2nnncabnT16（3）、倒序求和、倒序求和：若，则的前前 n 项和用倒序求和1()kn kaaf k nanS【角标之和为，可以为一个常数，能用倒序求和的，1n()f n一定是可求的】(1)(2).()fff n例题 1：若数列，求的前前 n 项和12mmnmaa nanS习题 2：若数列，求的前前 n 项和13kn kaka nanS