数列知识点总结及题型归纳.pdf

1 数列数列一、数列的概念一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个na位置的叫第 2 项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；nnna数列的一般形式：，简记作。1a2a3ana na（2）通项公式的定义：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式na就叫这个数列的通项公式。例如：1，2，3，4，5，：514131211，说明：表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；nananna f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，=；na(1)n1,21()1,2nkkZnk 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从 1N()f nn开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是(1),(2),(3),fff()f nna f n一群孤立点一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,a,（5）数列的前项和与通项的关系：nannSna11(1)(2)nnnSnaSSn二、等差数列二、等差数列(一一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这2个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为d或或1(2)nnaad n1(1)nnaad n例：等差数列，12 nan1nnaa(二二)、等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：；1(1)naand说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为递增数列，为常数列，为常数列，为递减数列为递减数列。A Pd00d 0d 例例：1.已知等差数列中，等于（）na12497116aaaa，则，A15 B30 C31 D642.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于na11a 3d 2005na n（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列，则为 为 （填“递增数列”或12,12nbnannnanb2 “递减数列”）(三三)、等差中项的概念：定义：如果定义：如果，成等差数列，那么成等差数列，那么叫做叫做与与的等差中项。其中的等差中项。其中 aAbAab2abA ，成等差数列 即：（）aAb2abA212nnnaaamnmnnaaa2例：1（全国 I）设是公差为正数的等差数列，若，则（na12315aaa12380a a a 111213aaa）A B C D1201059075(四四)、等差数列的性质：（1 1）在等差数列）在等差数列中，从第中，从第 2 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na（2 2）在等差数列）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；na（3 3）在等差数列）在等差数列中，对任意中，对任意，；namnN()nmaanm dnmaadnm()mn（4 4）在等差数列）在等差数列中，若中，若，且且，则，则；namnpqNmnpqmnpqaaaa(五五)、等差数列的前和的求和公式：。(n11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112是等差数列是等差数列 ),(2为常数BABnAnSn na递推公式：递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn 例：1.如果等差数列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（湖南卷文）设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A13 B35 C49 D 63 3.（全国卷）设等差数列 na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5.已知等差数列的前项和为，若 nannS118521221aaaaS，则6.（全国卷）设等差数列 na的前n项和为nS，若535aa则95SS 7.已知数列是等差数列，其前 10 项的和，则其公差等于()na1010a7010Sd C.D.3132BA31328.（陕西卷文）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na 3 9（全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn。(六六).).对于一个等差数列：对于一个等差数列：（1 1）若项数为偶数，设共有）若项数为偶数，设共有项，则项，则偶偶奇奇；2nSSnd1nnSaSa奇偶（2 2）若项数为奇数，设共有）若项数为奇数，设共有项，则项，则奇奇偶偶；。21nSSnaa中1SnSn奇偶1.一个等差数列共 2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比_2.一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比 1：2，求公差 d3.一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_225(七七).对与一个等差数列，对与一个等差数列，仍成等差数列。仍成等差数列。nnnnnSSSSS232,例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为 48，前 2项的和为 60，则前 3项的和为 。nnn3已知等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 na4.设为等差数列的前项和，=nS nan971043014SSSS，则，5（全国 II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则36SS13612SSA B C D310131819(八八)判断或证明一个数列是等差数列的方法：判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：定义法：是等差数列是等差数列）常数）（Nndaann(1 na中项法：中项法：是等差数列是等差数列)221Nnaaannn（na通项公式法：通项公式法：是等差数列是等差数列),(为常数bkbknan na前前项和公式法：项和公式法：n是等差数列是等差数列),(2为常数BABnAnSn na例：例：1.已知数列满足，则数列为（）na21nnaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为，则数列为（）na52 nannaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（）na422 nsnnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（）na22nsnna4 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（）na0212nnnaaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列满足=8，（）na1a022124nnnaaaa，且 Nn 求数列的通项公式；na7（天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九九).数列最值（1 1），时，时，有最大值；有最大值；，时，时，有最小值；有最小值；10a 0d nS10a 0d nS（2 2）最值的求法：最值的求法：若已知若已知，nS的最值可求二次函数的最值可求二次函数2nSanbn的最值；的最值；nSnS可用二次函数最值的求法（可用二次函数最值的求法（）；或者求出或者求出 na中的正、负分界项，即：中的正、负分界项，即：nN若已知若已知，则，则最值时最值时的值（的值（）可如下确定）可如下确定或或。nanSnnN100nnaa100nnaa 例：1等差数列中，则前 项的和最大。na12910SSa，2设等差数列的前项和为，已知 nannS 001213123SSa，求出公差的范围，d 指出中哪一个值最大，并说明理由。1221SSS，3（上海）设an（nN N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值4已知数列的通项（），则数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 na9998nn Nn na5.已知是等差数列，其中，公差。na131a 8d （1）数列从哪一项开始小于 0？na（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值nann(十十).).利用利用求通项求通项11(1)(2)nnnSnaSSn5 1.数列的前项和（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出nan21nSnna数列的通项公式吗？na 2.设数列的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列的通项公式；nana3.（安徽文）设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A）15 (B)16 (C)49 （D）644、北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列113nnaSan的通项公式 三、等比数列三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：q(0)q 1na(0)naq q(一一)、递推关系与通项公式、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列中,，则 na2,41qana2 在等比数列中,则 na3712,2aq19_.a3.（07 重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比 q 为（）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列中，则=na22a545a8a5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为 21，则（）na13a 345aaaA 33 B 72 C 84 D 189(二二)、等比中项：若三个数、等比中项：若三个数成等比数列，则称成等比数列，则称为为的等比中项，且为的等比中项，且为是是cba,bca与acbacb2，注：成等比数列的必要而不充分条件成等比数列的必要而不充分条件.例：例：1.和的等比中项为()2323 ()1A()1B()1C()2D6 2.（重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=（）A2744nn B2533nn C2324nnD2nn(三三)、等比数列的基本性质，、等比数列的基本性质，1.1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.na（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.na na例：1在等比数列中,和是方程的两个根,则()na1a10a22510 xx 47aa 5()2A 2()2B1()2C 1()2D2.在等比数列，已知，则=na51a100109aa18a3.等比数列的各项为正数，且（）na5647313231018,loglogloga aa aaaa则 A12 B10 C8 D2+3log 5 4.（广东卷）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa （）A.(21)nn B.2(1)n C.2n D.2(1)n(四四)、等比数列的前、等比数列的前 n n 项和，项和，)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前 n 项和 na51a2qnS2（北京卷）设，则等于（）4710310()22222()nf nnN()f nAB C D2(81)7n12(81)7n32(81)7n42(81)7n3（全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；(五五).).等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质7 若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成等比数列.nanS*Nk kSkkSS2kkSS23例：1.（辽宁卷）设等比数列 na的前 n 项和为nS，若 63SS=3，则 69SS=A.2 B.73 C.83 D.32.一个等比数列前项的和为 48，前 2项的和为 60，则前 3项的和为（）nnnA83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列，且 nammmSSS323010，则，(六六)、等比数列的判定法（1）定义法：为等比数列；（常数）qaann 1 na（2）中项法：为等比数列；)0(221nnnnaaaa na（3）通项公式法：为等比数列；为常数）qkqkann,(na（4）前项和法：为等比数列。n为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na例：1.已知数列的通项为，则数列为（）nanna2naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足，则数列为（）na)0(221nnnnaaaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和，则数列为（）na1n22nsnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法四、求数列通项公式方法（1 1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列满足：，求；na26,7753aaana2.等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式na13221 aa62239aaana3.已知数列满足（），求数列的通项公式；na2122142nnnaaaaa且，Nn na4.已知数列满足且（），求数列的通项公式；na，21a1152(5)nnnnaa Nn na8 5.数列已知数列满足则数列的通项公式=na111,41(1).2nnaaan na（2 2）累加法累加法1、累加法、累加法 适用于：适用于：1()nnaaf n若，则 1()nnaaf n(2)n 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。na141,21211naaannna2.已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na3.已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313nnnaaa，na（3）累乘法）累乘法适用于：适用于：1()nnaf n a若，则1()nnaf na31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa，na2.已知数列满足，求。na321annanna11na9 3.已知，求。31annanna23131)1(nna（4 4）待定系数法待定系数法 适用于适用于1()nnaqaf n例：例：1.已知数列中，求数列的通项公式。na111,21(2)nnaaan na2.（重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_ na111,23(1)nnaaanna3.已知数列满足求数列的通项公式；na*111,21().nnaaanN na（5）递推公式中既有）递推公式中既有nS 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。11,1,2nnnS naSSn nanS1.（北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数113nnaS列an的通项公式 2.（山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列 na15,a nnS*15()nnSSnnN是等比数列1na(6)取倒数法。10 五、数列求和五、数列求和1 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2)1(2)(11 )1(1)1()1(11qqqaqnaSnn 公比含字母时一定要讨论公比含字母时一定要讨论2 2错位相减法求和：如：错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例：1求和21123nnSxxnx 2.求和：nnanaaaS323213 3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn )121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn )2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn !)!1(!nnnn )!1(1!1)!1(nnnn 数列是等差数列，数列的前项和 na11nnaan例：1.数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于（）A1 B56 C16 D1302.已知数列的通项公式为，求前项的和；na1(1)nan nn4.已知数列的通项公式为，设，求nana12n13242111nnnTa aaaaanT11 5求。)(,32114321132112111*Nnn3.已知等差数列满足,.na02a1086 aa(1)求数列的通项公式及 nanS（2）求数列的前 n 项和21nna7.已知等差数列满足：，的前 n 项和na26,7753aaananS（1）求及nanS（2）令（），求数列前 n 项和112nnab NnnbnT