奥数知识系列(4)-方法与原理.ppt

方法与原理计数的方法与原理1、枚举法枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。枚举法常用到加法原理。2、加法原理如果完成一件事情有N类方法，而每一类方法中分别有 种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事，那么要完成这件事情方法总数共有：用10个1分、5个2分、2个5分的硬币组成1角的币值，共有多少种不同方法？3、乘法原理如果完成一件事必须分n个步骤，而每一个步骤分别有种方法，那么完成这件事的方法总数共有乘法原理和加法原理被称为计数的基本原理，应该注意两者的区别，并注意二者的联合使用。一台晚会上有6个演唱节目和四个舞蹈节目。求（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目顺序？解（1）先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，7！5404种方法。第二步再排4个节目，有4！24种方法。根据乘法原理，共有504024种。（2）首先将6个节目排成一列，如图中的，一共有6！720种方法。第二步，再将4个舞蹈节目排在头尾或中间（即的位置），相当于从7个中选4个来排，一共有7654840种方法。4、对应法如果两类对象彼此有一对一的关系，那么可以通过对一类较易计数的对象计数，而得出具有相同数目的另一类难于计数的对象个数。在88的方格棋盘中，取出一个由3个小方格组成的L形片段（如图），一共有多少种不同的方法？AA5、容斥原理用A表示A类元素的个数，用B表示B类元素的个数。容斥原理1：容斥原理2：在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的自然数，占这100个自然数的百分之几？6、归纳法对于比较复杂的问题，可以先观察其简单情况，归纳出其中带规律的东西，然后再来解决较复杂的问题。10个三角形最多将平面分成几个部份？解：设n个三角形最多将平面分成个部份。n1时，2n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236个交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部份分成2个部分，从而平面也增加了6个部份，即：n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312个交点，从而平面也增加了12个部份，即：可知，第n个三角形与前面（n-1）个三角形最多有2(n-1)3个交点，从而平面也增加了2(n-1)3个部分，故：奇偶分析奇偶分析下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，能做到吗？为什么？1 3 5 7 91 3 5 7 91 3 5 7 9有98个孩子，每个人胸前有一个号码，号码人1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答加1分，答错一道扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？设标有A、B、C、D、E、F、G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开头，现在A，B，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮，小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？抽屉原理原理1：将n+1个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。原理1：将mn+1个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有m+1个苹果。应用抽屉原理解题的一般步骤：（1）分析题意，将实际问题转化成抽屉原理所反应的典型形式，即指出“抽屉”和“苹果”。（2）设计“抽屉”的具体形式，构造“苹果”。（3）运用原理，得出某个抽屉中“苹果”的个数，最终回归到原题的结论上。1、构造“抽屉”在构造抽屉时，要有意识的将题中的结论结合相应的整数的知识构造抽屉，以利用抽屉原理的结果，最终得到题目的结论。制造抽屉常用方法：分类造抽屉和利用余数分类造抽屉。从自然数1至25中任取7个数，则其中必有两个数，它们的比值在2/3至3/2之间（包括2/3，3/2）抽屉(1)(2,3)(4,5,6)(7,8,9,10)(11,12,13,14,15,16)(17,18,19,20,21,22,23,24,25)2、构造“苹果”从任意10个整数（其中没有10的倍数）中总能找到n个数，使得它们的和是10的倍数，这是为什么？解：将任意的10个数记为构造10个抽屉：被10除余0、1、2、3、9构造10个苹果：（1）如10个苹果中有一个在余数为0的抽屉中，那么这几个数的和就能被10整除，即为10的倍数，所以存在n个数的和为10的倍数。（2）如余数为0的抽屉中没有苹果，那么10个苹果被放入其余个抽屉中，由抽屉原理知，必有两个苹果被放在同一个抽屉中，即被10除同余。假设这两个数为和那么：而也是10个苹果中的一个，且这个数被10整除，所以，任意10个数中，必有若干个数的和是10的倍数。从上题可以看出：（1）利用余数分类造抽屉的方法是解决与整除有关问题的一种常用方法。（2）应用抽屉原理时，不仅需要考虑构造抽屉，如何构造苹果也是需要重视的问题。例如本题中的苹果并不是直接将10个数作苹果，而是将10个和数作为苹果。（3）在较复杂的问题中，构造出的苹果和抽屉的数目有时不符全抽屉原理中的“m+1”和”m”的数量关系，这时需要对各种情况进行分类考虑，最终转化成符合其数量关系的形式，如本题中的两种情况。3、苹果的放置在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的，那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到”苹果的具体放置方法，由此可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间都有19个筹码。抽屉(1,21,41,61,81)(2,22,42,62,82)(20,40,60,80,100)将41个红筹码看作苹果，放入20个抽屉中。则至少有一个抽屉中有3个苹果。即有一组5个筹码中有3个红筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看作两两等距，那么3个红筹码中必有两个相邻，即有两个红筹码之间有19个筹码。