小学奥数-逻辑推理精华文件.doc

逻辑推理（一） 数字游戏
◇专 题 知 识 简 述◇
由于数学学科的特点， 通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径 .
为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里
我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。
解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，
排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。
◇例 题 解 析◇
例 1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车 . 每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志 . 每
个司机都知道这五辆车有两辆开往 A市，有三辆开往 B市；并且他们都只能看见在自己前
面的车的标志 . 调度员听说这几位司机都很聪明， 没有直接告诉他们的车是开往何处的， 而
让他们根据已知的情况进行判断 . 他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的 . 这个司机
看看前两辆车的标志，想了想说“不知道” . 第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根
据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道 . 第一个司机也很聪明，他根据第二、三
个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。
请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？
解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往 A市，说明第一、
二辆车不可能都开往 A市. （否则，如果第一、二辆车都开往 A市的，那么第三辆车的司机
立即可以断定他的车一定开往 B市）。
再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往 A市的. （否则，如果第
一辆车开往 A市，则第二辆车即可推断他一定开往 B市）。
运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往 B市。
例 2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双
打比赛. 事先规定. 兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；
第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张
虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
- 1 -
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹 . 王宁的妹妹是小林，
这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，
只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。
例 3 “迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖 . 甲说： “如
果我能获奖，那么乙也能获奖 . ”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖 . ”丙说：“如
果丁没获奖，那么我也不能获奖 . ”实际上，他们之中只有一个人没有获奖 . 并且甲、乙、
丙说的话都是正确的 . 那么没能获奖的同学是 ___。
解：首先根据丙说的话可以推知， 丁必能获奖 . 否则，假设丁没获奖， 那么丙也没获奖，
这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。
其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖；再
根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出 4 个人全都能获奖，不可能 . 因此，只有
甲没有获奖。
例 4 数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一
人得铜牌. 王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌 . ”结果王老师只猜
对了一个. 那么小明得 ___牌，小华得 ___牌，小强得 ___牌。
分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃
不合理的情形，最后得到问题的解答 . 这里以小明所得奖牌进行分析。
解：①若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”
相矛盾，不合题意。
②若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论 . 如果小华得金牌，小强得铜牌，那么
王老师没有猜对一个，不合题意；如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，
也不合题意 .
③若小明得铜牌时，仍以小华得奖情况分别讨论 . 如果小华得金牌，小强得银牌，那么
王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师
猜对了两个，不合题意。
综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。
例 5 有三只盒子，甲盒装了两个 1 克的砝码；乙盒装了两个 2 克的砝码；丙盒装了一个 1
克、一个 2 克的砝码. 每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的 . 聪明的小明只从
一只盒子里取出一个砝码， 放到天平上称了一下， 就把所有标签都改正过来了 . 你知道这是
为什么吗？
分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个 1 克砝码”的盒子，则
该盒的真实内容是“两个 2 克砝码”或“一个 1克砝码，一个 2 克砝码”，当取出的是 2
克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断 . 同样，打开标有“两个 2 克砝码”的盒子时，
也会出现类似的情况 . 所以，应打开标有“一个 1 克砝码，一个 2 克砝码”的盒子 . 而它的
真实内容应该是“两个 1 克砝码”或“两个 2 克砝码”。
- 2 -
①若取出的是 1 克砝码，则该盒一定装有两个 1 克砝码，从而标有“两个 2 克砝码”
的盒子里，不可能是两个 2 克或两个 1 克的砝码，而只能是一个 1 克，一个 2 克的砝码了；
标有“两个 1 克砝码”的盒子自然装有两个 2 克砝码。
②若取出的是 2 克砝码，同理可知，此盒装有两个 2 克砝码；标有“两个 1 克砝码”
的盒子里实际上是一个 1 克和一个 2 克的砝码；标有“两个 2 克砝码”的盒子里实际上是
两个 1 克砝码.
按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。
例 6 四人打桥牌，某人手中有 13 张牌，四种花色样样有；四种花色的张数互不相同 . 红桃
和方块共 5 张；红桃与黑桃共 6 张；有两张将牌（主牌）. 试问这副牌以什么花色的牌为主？
解：①假设红桃为主 . 那么红桃有 2 张；方块有 3 张；黑桃有 4 张，因为共 13张牌，
所以草花有 4 张，这样，黑桃为草花张数相同 . 与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛
盾，即红桃不是主牌。
②假设方块为主牌 . 那么方块有 2 张；红桃有 3张；则黑桃也有 3 张，亦与已知矛盾。
③假设草花为主牌 . 那么草花有 2 张. 并且推得红桃 +方块+黑桃共有 11张牌. 而已知“红
桃和方块共 5 张，红桃与黑桃共 6 张”，即得红桃 +方块+红桃+黑桃共 11 张牌. 由此得到红
桃的张数应为零 . 与已知条件“四种花色样样有”相矛盾 . 说明草花不是主牌。
由以上推理得知，黑桃必为主牌 . 即黑桃有 2 张；红桃有 4 张；方块有 1 张. 那么草花
有 6 张。
例 7 S、B、J、R 四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知
道自己获得的是哪一门获学金 . 他们相互猜测：
S：“R得逻辑学奖”；
B：“J 得英语奖”；
J：“S得不到数学奖”；
R：“B得语文奖”。
最后发现， 数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的， 其他两人都猜错了 . 那么他们
各得哪门学科的奖学金？
分析 假设 S猜对，即 R得逻辑学奖 . 由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的” ，
则 R猜对，那么 B得语文奖，并且 J、B均猜错. 而由 B猜错，可知 J 得数学奖， S只好得
英语奖，这又说明 J 猜“S得不到数学奖”是正确的 . 与前面的推理（ J 猜错）矛盾 . 所以 S
的猜测是错误的。
解：S猜错，即 R得不到逻辑学奖， S不得数学奖且不得逻辑学奖 . 由此可知， J 的猜
测是正确的 . 则 J 得数学或逻辑学奖 . 于是推得，B猜错，故 R猜对，即 B得语文奖， S得英
语奖，所以 R得数学奖， J 得逻辑学奖。
- 3 -
例 8 A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击 6 次，并且都得了 71分. 三人共
18 次的得分情况，从小到大排列为：
1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。
已知 A首先射击两次，共得 22分；C第一次射击只得 3 分，请根据条件判断，是谁击
中了靶心（击中靶心得 50 分）？
解：我们先来推断 A6次射击的情况 . 已知前两次得 22分，6 次共得 71 分，从
71-22＝49
可知，击中靶心的决不会是 A.另一方面，在上面 18 个数中，两数之和等于 22 的只可
能是 20 和 2. 再来推算一下四个数之和等于 49 的可能性. 首先，在这四个数中，如果没有
25，是绝不可能组成 49 的. 其次，由于 49-25=24，则如果没有 20，任何三个数也不能组成
24. 而 24-20=4，剩下的两个数显然只能是 1 和 3 了. 所以 A射击 6 次的得分（不考虑得分
顺序）应该是
20，2，25，20，3，1。
（可在前面 18个数中，划去上述 6 个数）。
再来推断击中靶心的人 6 次得分的情况 . 从
71-50=21
可知，要在前面 12 个未被划去的数中，取 5 个数，使其和是 21. 可以断定，这 5 个数
中，必须包括一个 10，一个 5，一个 3，一个 2，一个 1. 即 6 次得分情况为
50，10，5，3，2，1。
在前面 12个未被划去的数中，划去上面这 6 个数。
剩下的 6 个数
25，20，10，10，5，1
就是第三个人的得分情况了。
从这 6 个数中没有 3，而 C第一次得了 3 分，可知这 6 个数是 B射击的得分数 . 因此 C
是击中靶心的人。
例 9 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话 .
一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗
子？”这四个人的回答如下：
第一个人说：“我们四个人全都是骗子 . ”
第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子 . ”
- 4 -
第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子 . ”
第四个人说：“我是老实人 . ”
请判断一下，第四个人是老实人吗？
解：①四个人当中一定有老实人 . 因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个
人全都是骗子” . 所以第一个人为骗子。
②第二个人为骗子 . 因为如果他是老实人， 说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗
子，则第二、三、四个人都是老实人 . 但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，
故第二个人说的是假话，他是骗子。
下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由①可知，第四个人一定是老实
人；若第三个人是老实人， 那么由他的话知他和第四个人是老实人 . 因而无论第三个人是骗
子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。
所以，第四个人是老实人。
例 10 某医院内科病房， A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班 . 已经知道：
A的夜班比 C的夜班晚一天， D的夜班比 E的夜班的前一天晚三天， B的夜班比 G的夜班早
三天；F 的夜班在 B和 C的夜班的正中间，而且是在星期四 . 问每个护士分别在星期几值夜
班？
解：除 F 以外，可将已知条件归纳如下： CA，E__D，B____G.这里的横线表示空位。
可见 CA不能排在 B____G中间，否则 F 就无法排在 BC的正中间了 . 又 F 必排在三个空
位之一，因此还有两个空位必定是 E__D和 B__G交叉填空 . 于是可排出： EBDFG或BFEGD两
种情况，而 CA只能加在任何一端，那么就有 CAEBDF，GEBDFGC，ACABFEG和D BFEG－D CA四
种排位. 其中只有排位 EBDFGC才A能满足已知条件“ F 在 BC的正中间” . 所以七名护士值班
排序是：E星期一值班， B星期二值班， D星期三值班， F 星期四值班， G星期五值班， C星
期六值班， A星期日值班 .
◇练习巩固◇
1. 有一个珠宝店发生了一起盗窃案， 被盗走了许多珍贵的珠宝 . 经过几个月的侦破， 查明作
案的人肯定是 A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这
样的口供：
A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的 . ”
B：“D是罪犯. ”
C：“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝 . ”
D：“B与我有仇，陷害我 . ”
因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的
是真话. 你知道罪犯是谁吗？
- 5 -
2. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是 2 号，乙是 3 号. ”
钱说：“丙是 4 号，乙是 2 号. ”
孙说：“丁是 2 号，丙是 3 号. ”
李说：“丁是 4 号，甲是 1 号. ”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
3. 对某班同学进行了调查，知道如下情况：
①有哥哥的人没有姐姐；
②没有哥哥的人有弟弟；
③有弟弟的人有妹妹。
试问：
（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？
（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？
（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？
4. 某校办数学竞赛， A、B、C、D.E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜
各人的名次排列情况。
A说：B第三名，C第五名。
B说：E第四名，D第五名。
C说：A第一名，E第四名。
D说：C第一名，B第二名。
E说：A第三名，B第四名。
老师说：每个名次都有人猜对 . 那么，这五名同学的名次是怎样排列的？
◇练习答案◇
1. 根据 B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话 . 假设 B
说真话， 那么 D是罪犯， 而 A也说了真话， 产生了矛盾， 所以只有 D说真话，
其余三人均说假话，则 A偷了珠宝。
- 6 -
2. 直接推理可得，由于每人只说对一半，且只有李提到了 1 号，故甲是 1 号，从而逐
步推出：乙是 3 号，丙是 4 号，丁是 2 号。
3. 根据条件①得到（ 1）是对的；
“有弟弟且有哥哥”并不与①②③矛盾，因此得到（ 2）是不对的；根据条件②③得到
（3）是对的；
4. 名次排列为： C、B、A、E、D解法如第 2 题.
◇教学反思◇
第二十五讲 逻辑推理（二） 数字游戏
月 日 课次
◇专 题 知 识 简 述◇
上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直
接运用正确推理， 解决逻辑问题的 . 这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问
题。
◇例 题 解 析◇
例 11 一次数学考试，共六道判断题 . 考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“× ” .
记分的方法是：答对一题给 2 分；不答的给 1 分；答错的不给分 . 已知 A、B、C、D、E、F、
G七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出 G的得分，并简单说明你的思
路。
分析 由于 E得了 9 分，说明他只答错了一道题 . 先假定答错的是第 1 题，这样就有一
个标准答案，并由此可分析其他人的得分 . 如出现矛盾，再假定 E答错的是第 2 题，, ，直
到判断出 E答错的题号为止 . 有了正确的答案，就可以写出 G的得分。
解：假设 E的第 1 题答错，那么 A至少错 3道题，一题未答，最多得 5 分，与 A得 7
分矛盾. 所以 E第 1 题答对。
假设 E第 2 题答错，可知 A最多得 3 分，矛盾. 所以 E第 2 题答对。
假设 E第 3 题答错，则 B最多得 3 分，矛盾. 所以 E第 3 题答对。
- 7 -
假设 E第 6 题答错，则 D最多得 3 分，矛盾. 所以 E第 6 题答对。
由于 E得 9 分，因此 E只答错一题，因此 E第 4 题答错，于是 A的第 2、4 两题对，3、
6 两题错. 而A得 7 分，说明 A的第 5 题是对的 . 由 A、E两人的答案，可得一标准答案如下
表：
按此标准评分，与题中所给 A、B、C、D、E、F 得分相符合，所以 E的第 4 题确实答错
了. 上表的答案是正确的 . 故可知 G得 8 分。
例 12 李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的
选手，并分别获得一、二、三等奖 . 现在知道：
①李英不是金城的选手；
②赵林不是沙市的选手；
③金城的选手不是一等奖；
④沙市的选手得二等奖；
⑤赵林不是三等奖。
根据上述情况，王红是 __的选手，他得的是 __等奖。
解：为了便于分析，我们画表帮助思考 .
根据条件①②，在相应的格中打上“× ”。
由条件④得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件③可知：金城选手 不是一等奖，只能是三等奖 . 又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖 . 这与条件⑤矛 盾. 所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖 . 这样金城的选手只能是王
红，他得三等奖。
例 13 李云和他哥哥参加一次集会， 同时出席的还有其他两对兄弟 . 见面后有的人握手问候，
没有人和自己的兄弟问候， 也没有人和同一个人握两次手 . 事后李云发现除自己外每个人握
手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？
解：设除李云（用 0 表示）之外的五个人分别是 A、B、C、D、E，他们握手的次数分
别是 0 次、1 次、2 次、3 次、4 次，那么他们的握手情况可以用右图来表示，其中一条连
线表示握过手一次，没有连线即表示没握过手。
- 8 -
从图中很容易看出：李云握手 2 次。
那么，谁是李云的哥哥呢？因为 A是唯一没有和 E握过手的人，所以 A、E是一对兄弟 .D
只和 A、B没握过手，而 A已经是 E的兄弟了，所以 B、D也是一对兄弟 . 这样只剩下 C是李
云的哥哥，他握手的次数也为 2 次.
例 14 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，
有 A、B、C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。
A猜：第二包是紫的，第三包是黄的；
B猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
C猜：第一包是红的，第五包是白的；
D猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
E猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
猜完后， 打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包， 并且每包只有一人猜对 . 请你判断
他们各猜对了哪一包？
解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了。
根据已知条件，每一包都只有一人猜对，而第一包只有 C猜，所以 C猜对了第一包，
是红的；又根据每人只猜对了一种，所以 C猜第五包是白的，猜错了；第五包只有 C、E两 人猜，所以 E猜第五包是紫的，猜对了；那么 E猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，
只有 A、E两人猜，那么 A猜第二包是紫的，猜错了；第二包有 A、B、E三人猜，其中 A、 E都猜错了，所以 B猜第二包是蓝的，猜对了；那么 B猜第四包是红的，猜错了； D 猜第三 包是蓝的，也猜错了；所以 A猜对的是第三包，是黄的； D猜对的是第四包，是白的。
总结以上推理判断， A猜对了第三包是黄的， B猜对了第二包是蓝的， C猜对了第一包
是红的，D猜对了第四包是白的， E猜对了第五包是紫的。
- 9 -
注如果题中只给了一个条件：“每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包
吗？
例 15 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是： A有一场踢平，共进球 2
个，失球 8 个；B两战两胜，共失球 2 个；C共进球 4 个，失球 5 个，请你写出每队比赛的
比分。
分析 解决本题首先要明白两点常识：
①一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队的总进球数应等于总失球数；
②两个队踢平，显然该场球的进、失球的总数应相等。
根据已知条件，可以列成表格如下：
解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球 .B 是两战两胜，显然一场胜 A，另一场
胜 C；A踢平一场无疑是与 C比赛的这场球。
由总进球数等于总失球数，则 B队的进球数应为 9 个。
因为 A与 C两队进球总数是 6 个，那么除去 A、C对 B的那两场球赛中，踢进 B 队的那
2 球外，剩下的 4 个球便是 A与C踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此 A
与 C踢成 2 比 2。
现在从 C的进球数分析，由于 C进球 4 个，除去与 A两平外，另外进的两个球是对 B
比赛进的球数；再从 C的失球数分析，因为 C对 A失两球，表中 C共失了 5 个球，因此另
外失的 3 个球就是对 B失的球数. 所以 C对 B是 2 比 3。
再因为 B进球共 9 个，除去对 C进的 3 个球，那么对 A就进了 6 个球，A对 B没有进
球，所以 B对 A是 6 比 0。
例 16 北京至福州列车里坐着 6 位旅客：A、B、C、D、E、F. 分别来自北京、天津、上海、
扬州、南京和杭州，已知
①A和北京人是医生； E和天津人是教师； C和上海人是工程师。
②A、B、F 和扬州人参过军，而上海人从未参军。
③南京人比 A岁数大；杭州人比 B岁数大；F 最年轻。
④B和北京人一起去扬州； C和南京人一起去广州。
试根据已知条件确定每位旅客的住址和职业。
- 10 -
分析 由于职业可由住址确定，所以只需考虑确定旅客的住址。
解：下面我们利用表格进行推理 . 表格中记号“√”表示这个人是来自这个城市；记号
“× ”表示这个人不来自这个城市。
由①可知，A、C、E既不是北京人，也不是天津、上海人；由②可知， A、B、F 不是上
海人，也不是扬州人 . 于是得到 D是上海人. 那么他不是其他城市的人 . 如图（a）。
由③知，A和F 不是南京人，那么 A一定是杭州人 . 而其他旅客都不是杭州人 . 如下图
（b）。
由④可知， B不是北京人，也不是南京人； C不是南京人，那么 B是天津人， C 是扬州
人；故 F 是北京人， E是南京人. 如下图（c）。
综合上述推理，我们得到：
A是医生，来自杭州； B是教师，来自天津；
C是工程师，来自扬州； D是工程师，来自上海；
E是教师，来自南京； F 是医生，来自北京。
例 17 甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学 . 已知
①甲不在北京；
②乙不在天津；
③在北京的人不教化学；
- 11 -
④在天津的人教数学；
⑤乙不教物理。
根据以上情况判断，甲、乙、丙三人分别在何处教何课程？
分析 根据已知条件，我们把人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内 . 规定：两
者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线连接 . 这样把问题转化为用图进行推理（如图
（a））. 据此，下面的结果是显然的：①如果某一点用虚线连接某一个集合的两个点，则 这点与这一集合内的第三个点应连实线；②如果在以不同集合内的点为顶点的三角形中两
条边是实线，则第三条边也应该是实线 . 这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边为
实线，则第三条边一定为虚线 . 这两条结论是解题的依据 . 解题的关键是找到三个以实线为
边的三角形。
解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙与物理、北京与化学之间连虚线；天津与数
学之间连实线（如上图（ b））. 这样，根据上面的结论，乙与数学应连虚线，乙与化学应
连实线。
从而天津与化学连虚线，上海与化学连实线，乙与上海连实线（如下页图（ c）），即
乙在上海教化学 . 由图（c）进一步可以看出，甲与上海应连虚线，甲与天津连实线 . 因而甲
与数学连实线（如下页图（ d））. 由此得出：甲在天津教数学，而余下就是丙在北京教物
理.
◇练习巩固◇
1.A、B、C、D四位同学参加 60 米赛跑的决赛 . 赛前，四位同学对比赛结果各说了如下的一
句话：
A说：“我会得第一名 . ”
B说：“A、C都不会取得第一名 . ”
- 12 -
C说：“A或 B会得第一名 . ”
D说：“B会得第一名 . ”
结果有两位同学说对了 . 试问：谁会获得这次决赛的第一名？
2.A、B、C、D四人同住一间寝室，其中一人在修指甲，一人在洗头，一人在画画，另
一人在看书，已知：
①A不在修指甲，也不在看书；
②B不在画画，也不在修指甲；
③若 A不在画画，则 D不在修指甲；
④C既不在看书，也不在修指甲；
⑤D不在看书，也不在画画。
请问：他们各自在干什么？
3. 张、王、李三人分别出生在北京、上海和武汉，他们分别是歌唱演员、相声演员和
舞蹈演员. 已知：①小王不是歌唱演员，小李不是相声演员；②歌唱演员不出生在上海；③
相声演员出生在北京；④小李不出生在武汉 . 试分别确定他们的出生地和职业。
4. 有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师
和医生. 如果已知：
①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第四层；
②医生住在教师的楼上，在工人的楼下，工程师住最低层。
试问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？
◇练习答案◇
1. 利用图表可得 A是第一名。
2. 方法 1：由①②③④⑤知，既不是 A、B在修指甲，也不是 C在修指甲，以及 A、C.D
不在看书，所以 B在看书，修指甲的是 D.但“D修指甲”与③的有条件的结论矛盾 . 所以③
的条件是不成立的 . 这就得到 A在画画. 由④知 C在洗头。
方法 2：可用图表法进行推理。
3. 小李是上海人，舞蹈演员；小王是北京人，相声演员；
小张是武汉人，歌唱演员。
- 13 -
4. 甲：教师，住二层；乙：工程师，住一层；丙：医生，住三层；丁：工人，住四层 .
◇教学反思◇
8-1 智巧趣题
知识点说明
智巧趣题顾名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套” 。要想
正确地解答这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；三是需
要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴
趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。
智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或圆周
形状的报数问题。
【例 1】 用数字 1，1，2，2，3，3 拼凑出一个六位数，使两个 1 之间有 1 个数字，两个 2 之间有 2 个数字，
两个 3 之间有 3 个数字。
【巩固】 把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？
【例 2】 12345679 999999999
【例 3】 有 10 张， 卡片分别标有从 2 开始的 10 个连续偶数。 如果将它们分成 5 组， 每组两张， 计算同组中两
个偶数和分别得到① 34，②22，③ 16，④30，⑤ 8。那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？
【例 4】 售货员把 29 个乒乓球分装在 5 个盒子里， 使得只要顾客所买的乒乓个数小于 30，他总可以恰好把其
中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这 5 个盒子里分别装着多少个乒乓球？
【例 5】 一口井深 10 米，一只蜗牛从井底白天往上爬 2 米，晚上又往下滑 1 米，请问要多长时间，这只蜗牛
能爬出这口井？
【巩固】 蜗牛沿着 9 米高的柱子往上爬，白天它向上爬 5 米，而晚上又下降 4 米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几
夜？
【巩固】 青蛙沿着 10 米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳出井
外？
- 14 -
【巩固】 一只树蛙爬树，每次往上爬 5 厘米，又往下滑 2 厘米，这只青蛙这样上下了 5 次，实际往上爬了多少
厘米？
【例 6】 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有 6 枚和 8 枚硬币， 并且两衣袋中硬币的总钱数相等。 当任意从左边
衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多 2 分，
要么比原来的钱数少 2 分，那么两个衣袋中共有多少分钱？
【例 7】 甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距 100 里，甲每小时走 6 里，乙每小时走 4 里。
如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时 10 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇
到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？
【巩固】 孙小空和猪坚强一道坐火车从北京去天津玩，玩了两天后，他们又结伴回北京。非常巧的是，他们往
返所坐的火车都是中午十二点整发车的，而途中所用的时间也都是半个小时。坐在火车上，两个人看
着窗外的风景，突然，猪坚强说： “小空，我们在来回的路上，一定在同一个时间看到了相同地方的
景色。”小空摇了摇头： “哪会这么巧？你又在骗我吧？”猪坚强向小空解释了理由，小空一听，原来
真是这样。那么同学们，你们能想明白，为什么这个看起来很不可思议的结论能成立么？
【例 8】 如图，这是用 24 根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的 4 根火柴，使它变成两个完全相同的
正方形。
【例 9】 请将 16 个棋子分放在边长 30 厘米、 20 厘米、 10 厘米的 3 个盒子里，使大盒子里的棋子数是中盒子
里棋子数的 2 倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的 2 倍。问应当如何放置？
【例 10】 吝 啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计， 他只给伙计两个分别为 5 升和 3 升的盛酒杯， 要求满足所有顾客
的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒） ，这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个聪明的放牛
娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？
【巩固】 某人有 12 升啤酒一瓶，想从中倒出 6 升．但是他没有 6 升的容器，只有一个 8 升的容器和一个 5 升
的容器．怎样的倒法才能使 8 升的容器中恰好装好了 6 升啤酒？
【巩固】 卖牛奶人有两桶 10 升装的牛奶．两个顾客各带容器去买 2 升牛奶．一个带的是 5 升的容器，另一个
带的是 4 升的容器．这位卖牛奶人如何解决问题？
- 15 -
【例 11】 一 个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、
白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？
【例 12】 有 一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩子们
的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长， 8 分钟；母亲则一直坚持劳作，动作
还算敏捷， 过桥要 6 分钟； 两个孩子中姐姐需要 3 分钟， 弟弟只要 1 分钟． 当时正是初一夜晚又是阴
天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有
两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他们焦急万分，该怎样过
桥呢？
【巩固】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒塌．过
桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒． 4 个人的行走速度不同：小强用 1 分
种就可以过桥， 中强要 2 分中， 大强要 5 分中， 最慢的太强需要 10 分中．17 分钟后桥就要倒塌了． 请
问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？
【巩固】 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边， 河岸边只有
一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要 2 分钟，小八路划船需要 3 分钟，负伤的红军战士划船
需要 5 分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？
【例 13】37 个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载 5 人的小船 ( 无船工 ) ．他们要全部渡过河去，至少要使
用这只小船渡河多少次？
【巩固】 38 个同学要坐船过河， 渡口处只有一只能载 4 人的小船 ( 无船工 ) ．他们要全部渡过河去， 至少要使用
这只小船渡河多少次？
【例 14】 有 两堆火柴，一堆 3 根，另一堆 7 根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，
也可以同时从两堆中取相同数目的火柴． 每次至少要取走一根火柴． 谁取得最后一根火柴谁胜． 如果
都采用最佳方法，那么谁将获胜？
【例 15】 黑 板上写着一排相连的自然数 1，2，3，, ， 51．甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数．规定在谁划过
之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？
【例 16】 两个人从 1 开始按自然数顺序轮流依次报数， 每人每次只能报 1～5 个数， 谁先报到 50 谁获胜． 你选
择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
- 16 -
【巩固】 1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～7 个
格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
【巩固】 桌子上放着 55 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～3 根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双
方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
【例 17】有 11 根火柴， 两人轮流从中拿取， 每次至少取 1 根．先取者第一次取得数目不限 （但不能全部取走） ，
以后每人取得数目不得超过另一人上次取得数目的 2 倍规定取得最后一根者为胜． 先取者的获胜策略
是什么？
【巩固】 有一堆火柴，甲先乙后轮流每次取走 1～3 根．取完全部火柴后，如果甲取得火柴总数是偶数，那么
甲获胜，否则乙获胜．试分析这堆火柴的根数在 1～11 根时，谁将获．
【例 18】今有 101 枚硬币， 其中有 100 枚同样的真币和 1 枚伪币， 伪币与真币和重量不同。 现需弄清楚伪币究
竟比真币轻， 还是比真币重， 但只有一架没有砝码的天平。 那么怎样利用这架天平称两次， 来达到目
的？
【例 19】 有大、中、小 3 个瓶子，最多分别可发装入水 1000 克、700 克和 300 克。现在大瓶中装满水，希望
通过水在 3 个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装 100 克水的刻度线，问最少要倒几次水？
【例 20】把 123，124，125 三个数分别写在下图所示的 A，B，C 三个小圆圈中，然后按下面的规则修改这三
个数。第一步，把 B 中的数改成 A 中的数与 B 中的数之和；第二步，把 C中的数改成 B 中（已改过）
的数与 C中的数之和； 第三步， 把 A中的数改成 C中（已改过） 的数与 A 中的数之和； 再回到第一步，
循环做下去。如果在某一步做完之后， A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运
算几步，那么 124 应填在哪个圆圈中？
【例 21】 （ 可以当作故事给学生出题） 0 国王带着 1、3、5 、7 、9 、11六位大臣去旅游。晚上大家要