内蒙古兴安盟地区两旗一县2026年中考最后冲刺模拟（一）数学试题含解析.doc

内蒙古兴安盟地区两旗一县2026年中考最后冲刺模拟（一）数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，平行四边形 ABCD 中， E为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG，若 ，，则 的度数是

A． B． C． D．
3．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（ ）

A．7 B． C． D．9
4．a的倒数是3，则a的值是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是 （ ）

A． B． C．6 D．4
6．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）

A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．
8．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为( )
A．13×kg B．0.13×kg C．1.3×kg D．1.3×kg
9．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )

A． B． C． D．
10．如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（ ）

A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，AB=AC，AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠DAC=__________．

12．为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m）分别为：2.21，2.12，2.1，2.39，2.1，2.40，2.1．这组数据的中位数和众数分别是_____．
13．分解因式：a3﹣a=_____．
14．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
15．分解因式：m2n﹣2mn+n= ．
16．如图，已知点E是菱形ABCD的AD边上的一点，连接BE、CE，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，若∠A=60°，AB=4，则四边形BCNM的面积为_____．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）（阅读）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h1．连接AM．
∵ ∴

（思考）在上述问题中，h1，h1与h的数量关系为： ．
（探究）如图1，当点M在BC延长线上时，h1、h1、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由．
（应用）如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l1：y=－3x+3，若l1上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和，双曲线经过点B．
（1）求直线和双曲线的函数表达式；
（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD，
①当点C在双曲线上时，求t的值；
②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值；
③当时，请直接写出t的值．

19．（8分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、1．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．

20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由若AD=2，AC=，求⊙O的半径．

21．（8分）如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔项C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，=1.73，精确到0.1m）

22．（10分）计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|
23．（12分）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=1．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1经过点A(﹣4，0)、B(﹣1，0)，其顶点为．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1绕点B旋转180°，得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式；
（3）再将抛物线C2沿x轴向右平移得到抛物线C3，设抛物线C3与x轴分别交于点E、F(E在F左侧)，顶点为G，连接AG、DF、AD、GF，若四边形ADFG为矩形，求点E的坐标．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S1．
【详解】
∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S1=4+4-1×1=2．
故选D．
2、A
【解析】
分析：首先求出∠AEB，再利用三角形内角和定理求出∠B，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题．
详解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，
∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故选A．
点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3、B
【解析】
作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=．
【详解】
解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，弧AD=弧BD，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG．
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，（也可以：设AF=BG=x，BC=8，AC=6，得8-x=6+x，解x=1）
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）．
∴CD=．
故选B．
4、A
【解析】
根据倒数的定义进行解答即可．
【详解】
∵a的倒数是3，∴3a=1，解得：a=．
故选A．
本题考查的是倒数的定义，即乘积为1的两个数叫互为倒数．
5、C
【解析】
由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=1．
故选C．
6、A
【解析】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
【详解】
③中含原三角形的两角及夹边，根据ASA公理，能够唯一确定三角形.其它两个不行.
故选：A.
此题主要考查全等三角形的运用，熟练掌握，即可解题.
7、B
【解析】
根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.
【详解】
∠ACB=90°，∠A=30°，
BC=AB.
BC=2,
AB=2BC=22=4,
D是AB的中点,
CD=AB= 4=2.
E,F分别为AC,AD的中点,
EF是△ACD的中位线.
EF=CD= 2=1.
故答案选B.
本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.
8、D
【解析】
试题分析：科学计数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一.
9、D
【解析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：

故选D．
本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.
10、A
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．
解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．

设OA=a，BF=b，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a， a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=a2=12，
解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．
∴AM=8，OM=1．
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA，
∴∠FBN=∠AOB．
在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，
∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，
∴点F的坐标为（10+b，b）．
∵点F在反比例函数y=的图象上，
∴（10+b）×b=12，
S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10
故选A．
“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、50°
【解析】
根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠B=∠C=（180°﹣80°）÷2=50°；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=50°，
故答案为50°．
本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
12、2.40，2.1．
【解析】
∵把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.1，2.1，2.1．
∴它们的中位数为2.40，众数为2.1．
故答案为2.40，2.1．
点睛:本题考查了中位数和众数的求法，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数.
13、a（a+1）（a﹣1）
【解析】
解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
14、等
【解析】
根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．
【详解】
解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，
例如：.
此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.
15、n（m﹣1）1．
【解析】
先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可
【详解】
m1n﹣1mn+n=n（m1﹣1m+1）=n（m﹣1）1．
故答案为n（m﹣1）1．
16、3
【解析】
如图，连接BD．首先证明△BCD是等边三角形，推出S△EBC=S△DBC=×42=4，再证明△EMN∽△EBC，可得=（）2=，推出S△EMN=，由此即可解决问题.
【详解】
解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴S△EBC=S△DBC=×42=4，
∵EM=MB，EN=NC，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴△EMN∽△EBC，
∴=（）2=，
∴S△EMN=，
∴S阴=4-=3，
故答案为3．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（共8题，共72分）
17、【思考】h1+h1=h；【探究】h1－h1=h．理由见解析；【应用】所求点M的坐标为（，1）或（－，4）．
【解析】
思考：根据等腰三角形的性质，把代数式化简可得.
探究：当点M在BC延长线上时，连接，可得，化简可得.
应用：先证明，△ABC为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M在BC边上和在CB延长线上两种情况讨论，第一种有1+My=OB，第二种为My－1=OB，解得的纵坐标，再分别代入的解析式即可求解.
【详解】
思考

即

h1+h1=h．
探究
h1－h1=h．
理由．连接,
∵
∴
∴h1－h1=h．
应用
在中，令x=0得y=3；
令y=0得x=－4，则：
A（－4，0），B（0，3）
同理求得C（1，0），
，
又因为AC=5，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，
由h1+h1=h得：
1+My=OB，My=3－1=1，
把它代入y=－3x+3中求得：
，
∴；
②当点M在CB延长线上时，
由h1－h1=h得：
My－1=OB，My=3+1=4，
把它代入y=－3x+3中求得：
，
∴，
综上，所求点M的坐标为或．
本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进是解答的关键.
18、（1）直线的表达式为，双曲线的表达式为；（2）①；②当时，的大小不发生变化，的值为；③t的值为或．
【解析】
（1）由点利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；
（2）①先求出点C的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C的纵坐标，从而即可得出t的值；
②如图1（见解析），设直线AB交y轴于M，则，取CD的中点K，连接AK、BK．利用直角三角形的性质证明A、D、B、C四点共圆，再根据圆周角定理可得，从而得出，即可解决问题；
③如图2（见解析），过点B作于M，先求出点D与点M重合的临界位置时t的值，据此分和两种情况讨论：根据三点坐标求出的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM的长，最后在中，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）∵直线经过点和
∴将点代入得
解得
故直线的表达式为
将点代入直线的表达式得
解得

∵双曲线经过点
，解得
故双曲线的表达式为；
（2）①轴，点A的坐标为
∴点C的横坐标为12
将其代入双曲线的表达式得
∴C的纵坐标为，即
由题意得，解得
故当点C在双曲线上时，t的值为；
②当时，的大小不发生变化，求解过程如下：
若点D与点A重合
由题意知，点C坐标为
由两点距离公式得：

由勾股定理得，即
解得
因此，在范围内，点D与点A不重合，且在点A左侧
如图1，设直线AB交y轴于M，取CD的中点K，连接AK、BK
由（1）知，直线AB的表达式为
令得，则，即
点K为CD的中点，
（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
同理可得：

A、D、B、C四点共圆，点K为圆心
（圆周角定理）
；

③过点B作于M
由题意和②可知，点D在点A左侧，与点M重合是一个临界位置
此时，四边形ACBD是矩形，则，即
因此，分以下2种情况讨论：
如图2，当时，过点C作于N

又

，即

由勾股定理得
即
解得或（不符题设，舍去）
当时，同理可得：
解得或（不符题设，舍去）
综上所述，t的值为或．

本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
19、（1）；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为．
【解析】
（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，再计算概率.
【详解】
解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为；
（2）列表如下：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．
本题考核知识点：求概率. 解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式.
20、（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.1．
【解析】
（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；
（2）连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==2．
∴半径为1.1

21、通信塔CD的高度约为15.9cm．
【解析】
过点A作AE⊥CD于E，设CE=xm，解直角三角形求出AE，解直角三角形求出BM、DM，即可得出关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】
过点A作AE⊥CD于E，

则四边形ABDE是矩形，
设CE=xcm，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，
所以AE=xcm，
在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，
DM=cm，
在Rt△ABM中，BM=cm，
∵AE=BD，
∴，
解得：x=+3，
∴CD=CE+ED=+9≈15.9（cm），
答：通信塔CD的高度约为15.9cm．
本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键．
22、
【解析】
先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．
【详解】
原式＝
=
=
本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．
23、x1=，x2=
【解析】
试题分析：方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
试题解析：解：方程化为，，，．
＞1．
．
即，．
24、（1）y；（2）；（3）E(，0)．
【解析】
（1）根据抛物线C1的顶点坐标可设顶点式将点B坐标代入求解即可；
（2）由抛物线C1绕点B旋转180°得到抛物线C2知抛物线C2的顶点坐标，可设抛物线C2的顶点式，根据旋转后抛物线C2开口朝下，且形状不变即可确定其表达式；
（3）作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H，由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，结合矩形的性质利用两组对应角分别相等的两个三角形相似可证△AGK∽△GFK，由其对应线段成比例的性质可知AK长，结合A、B点坐标可知BK、BE、OE长，可得点E坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线C1的顶点为，
∴可设抛物线C1的表达式为y，
将B(﹣1，0)代入抛物线解析式得：，
∴，
解得：a，
∴抛物线C1的表达式为y，即y．
（2）设抛物线C2的顶点坐标为
∵抛物线C1绕点B旋转180°，得到抛物线C2，即点与点关于点B(﹣1，0)对称

∴抛物线C2的顶点坐标为()
可设抛物线C2的表达式为y
∵抛物线C2开口朝下，且形状不变

∴抛物线C2的表达式为y，即．
（3）如图，作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H．

由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，
∵四边形AGFD是矩形，
∴∠AGF=∠GKF=90°，
∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，
∴∠AGK=∠GFK．
∵∠AKG=∠FKG=90°，
∴△AGK∽△GFK，
∴，
∴，
∴AK=6，
，
∴BE=BK﹣EK=3，
∴OE，
∴E(，0)．
本题考查了二次函数与几何的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质，灵活的利用待定系数法求二次函数解析式是解前两问的关键，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解（3）的关键.