初三数学圆的复习课件 人教版 课件.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,知识体系,圆,基本性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的,位置关系,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,切线的性质,切线的判定,切线的作图,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,正多边形和圆,位置分类,性质,公切线的作图,关系定理,有关计算,圆的有关性质,圆的定义（运动观点）,在,一个平面,内，线段,OA,绕它,固定的一个端点,O,旋转一周，另一个,端点,A,随之,旋转,所形成的图形叫做圆。,固定的端点,O,叫做,圆心,，线段,OA,叫做,半径,，以点,O,为圆心的圆，记作,O,，,读作,“,圆,O,”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？,圆必须在一个平面内,以,3cm,为半径画圆，能画多少个？,以点,O,为圆心画圆，能画多少个？,由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？,半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置,圆是“圆周”还是“圆面”？,圆是一条封闭曲线,圆周上的点与圆心有什么关系？,圆的定义（集合观点）,圆是,到定点的距离,等于定长,的,点的集合,。,圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；,到定点的距离等于定长的点都在圆上。,一个圆把平面内的所有点分成了多少类？,你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？,点与圆的位置关系,圆,是到定点（圆心）的距离,等于,定长（半径）的点的集合。,圆的内部,是到圆心的距离,小于,半径的点的集合。,圆的外部,是到圆心的距离,大于,半径的点的集合。,由此，你发现,点与圆的位置关系,是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为,r,，,点到圆心的距离为,d,，,则：,点在圆上,d=r,点在圆内,dr,与圆有关的概念,弦,和,直径,什么是弦？什么是直径？,直径是弦吗？弦是直径吗？,弧,与,半圆,什么是圆弧（弧）？怎样表示？,弧分成哪几类？,半圆是弧吗？弧是半圆吗？,弓形,是什么？,同心圆,、同圆、等圆和,等弧,怎样的两个圆叫同心圆？,怎样的两个圆叫等圆？,同圆和等圆有什么性质？,什么叫等弧？,点的轨迹,把,符合某一条件,的,所有的点,所组成的,图形,，叫做符合这个条件的,点的轨迹,。,图形上的任何一点都符合条件；,符合条件的任何一点都在图形上。,圆是什么点的轨迹？,垂直平分线是什么点的轨迹？,角平分线是什么点的轨迹？,圆的有关性质,过三点的圆,思考,：确定一条直线的条件是什么？,类比联想,：是否也存在由几个点确定一个圆呢？,讨论,：经过一个点，能作出多少个圆？,经过两个点，如何作圆，能作多少个？,经过三个点，如何作圆，能作多少个？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆,，,外接圆的圆心叫做三角形的,外心,，,三角形叫做圆的,内接三角形,。,问题,1,：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？,问题,2,：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC,是锐角三角形,ABC,是钝角三角形,垂直于弦的直径,及其推论,从特殊到一般,想一想,：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？,性质：,圆是,轴对称图形,，任何一条,直径,所在的直线都是它的,对称轴,。,观察右图，有什么等量关系？,垂直于弦的直径,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC,弧BC,AEBE,。,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径,平分,这条,弦,，并且,平分,弦所对的两条,弧,。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,练习,O,A,B,E,若圆心到弦的距离用,d,表示，半径用,r,表示，弦长用,a,表示，这三者之间有怎样的关系？,变式,1,：,AC,、,BD,有什么关系？,变式,2,：,AC,BD,依然成立吗,？,变式,3,：,EA,_,EC=_,。,FD,FB,变式,4,：,_ AC=BD.,OA=OB,变式,5,：,_ AC=BD.,OC=OD,变式练习,如图，,P,为,O,的弦,BA,延长线上一点，,PA,AB,2,，,PO,5,，求,O,的半径。,M,A,P,B,O,辅助线,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦长,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。,题设,结论,直线,CD,经过圆心,O,直线,CD,垂直弦,AB,直线,CD,平分弦,AB,直线,CD,平分弧,ACB,直线,CD,平分弧,AB,想一想：如果将题设和结论中的,5,个条件适当互换，情况会怎样？,（,1,）,平分弦,（不是直径）,的直径,垂直于弦,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（,2,）,弦的垂直平分线,经过圆心,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（,3,）,平分弦所对的一条弧的直径,，,垂直平分弦,并且,平分弦所对的另一条弧,。,推论1,如图,，,CD,为,O,的直径,，,ABCD,，,EFCD,，,你能得到什么结论？,推论2,弧,AE,弧,BF,圆的两条,平行弦,所夹的弧相等,。,F,O,B,A,E,C,D,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。,圆是以圆心为对称中心的,中心对称图形,。,圆还具有,旋转不变性,，即圆绕圆心旋转任意一个角度,，,都能与原来的图形重合。,圆心角,：顶点在圆心的角。,（如：,AOB,）,C,弦心距,：从圆心到弦的距离。,（如：,OC,）,O,A,B,相关定义,猜想与证明,如图,，,AOB,AOB,，,OCAB,，,OCAB,。,猜想：,弧,AB,与弧,AB,，,AB,与,AB,，,OC,与,OC,之间的关系，并证明你的猜想。,定理,相等的圆心角,所对的,弧,相等，所对的,弦,相等，所对的弦的,弦心距,相等。,在同圆或等圆中，,O,A,B,C,A,B,C,圆心角所对的弧相等，,圆心角,所对的弦相等，,圆心角,所对弦的弦心距相等。,推论,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、两条弧、,两条弦或两条弦的弦心距中有,一组量相等，那么它们所对应,的其余各组量都分别相等,。,题设,结论,在同圆或等圆中,(,前提,),圆心角相等,（条件）,定理推论,1,圆心角,1,弧,C,D,n,圆心角,n,弧,把顶点在圆心的周角等分成,360,份时，每一份的圆心角是,1,的角。,1,的圆心角所对的弧叫做,1,的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，,n,的圆心角对着,n,的弧。,弧的度数,圆周角,C,D,F,圆心角：如,BOA,圆内角：如,BCA,圆周角：如,BDA,圆外角：如,BFA,角的顶点在圆心,角的顶点在圆周上,是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢,?,动起来!,圆周角：,顶点在圆上,，并且,两边都和圆相交,的角。,圆心角,:,顶点在圆心,的角,.,看清要点,画图,:,同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系,?,大胆猜想,回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。,猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之间有什么关系？,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,定理,化归,化归,圆周角定理,分类讨论,完全归纳法,数学思想,1,、,已知,AOB,75,，,求,：,ACB,2,、,已知,AOB,120,，,求,：,ACB,3,、,已知,ACD,30,，,求,：,AOB,4,、,已知,AOB,110,，,求,：,ACB,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。,也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,O,B,A,D,E,C,如图，比较,ACB,、,ADB,、,AEB,的大小,同弧所对的圆周角相等,如图，如果弧,AB,弧,CD,，,那么,E,和,F,是什么关系？反过来呢？,D,C,E,B,F,A,O,等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等,D,C,E,O,1,B,F,A,O,2,如图，,O,1,和,O,2,是等圆，如果弧,AB,弧,CD,，,那么,E,和,F,是什么关系？反过来呢？,等圆也成立,推论,1,同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：,1,、“同圆或等圆”的条件能否去掉？,2,、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个,圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个,圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的,其余各组量也相等。,F,E,D,关于等积式的证明,如图，已知,AB,是,O,的弦，半径,OPAB,，弦,PD,交,AB,于,C,，,求证：,PA,2,PCPD,C,D,P,B,A,O,经验：,证明等积式，通常利用相似；,找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；,推论,2,半圆（或直径）所对的圆周角是,90,；,90,的圆周角所对的弦是直径。,推论,3,如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,已知：点,O,是,ABC,的外心，,BOC,130,，求,A,的度数。,直线和圆的位置关系,重点内容,直线和圆的位置关系,位置关系,相交,相切,相离,公共点个数,d,与,r,的关系,公共点名称,直线名称,2,个,1,个,无,dr,dr,dr,交点,切点,割线,切线,有且仅有,注意：,“,”,，即“等价于”,熟记,直线和圆的位置关系,d,与,r,的关系,位置关系,交点个数,图形,2,个,1,个,无,dr,dr,dr,相交,相离,相切,熟记,切线的判定,重点内容,判断一条直线是不是圆的切线,使用定义：直线和圆有唯一的公共点,圆心到直线的距离,d,等于半径,r,时，直线和圆相切,说说看：以上两种判断办法是否方便应用呢？,操作：画,O,，在,O,上任取一点,A,，,连结,OA,，过,A,点作直线,lOA,直线,l,是否与,O,相切呢？,从作图过程看，这条切线,l,满足哪些条件？,l,经过半径外端,l,垂直于这条半径,穷则思变,切线的判定定理：,经过半径的外端,并且,垂直于,这条,半径,的直线是圆的,切线,。,已知：直线,AB,经过,O,上的点,C,，,并且,OA,OB,，,CA,CB,。,求证：直线,AB,是,O,的切线。,O,C,B,A,已知：,OA,OB,5,厘米,，,AB,8,厘米，,O,的直径,6,厘米。求证：,AB,与,O,相切。,以上两题辅助线的作法是否相同？你分析出了什么结论？,辅助线技巧,证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。,若,直线过圆上某一点,，则,连结圆心和公共点,，再,证明,直线与半径,垂直,若直线与圆的,公共点没有确定,，则,过圆心向直线作垂线,，再,证明,圆心到直线的,距离等于半径,。,O,B,A,练兵,切线判定的方法,利用切线定义,利用圆心到直线的距离等于半径,利用切线判断定理,辅助线技巧：,若,直线过圆上某一点,，则,连结圆心和公共点,，再,证明,直线与半径,垂直,若直线与圆的,公共点没有确定,，则,过圆心向直线作垂线,，再,证明,圆心到直线的,距离等于半径,。,Review,切线的性质,重点内容,切线判定：,直线,l,：,过半径外端,垂直于半径,切线性质：,切线,l,，,A,为切点：,OA,l,理解记忆,类比猜想,切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。,推论：,1,、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,2,、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,切线判定与性质典型例题,已知：,AB,是,O,的直径，,BC,是,O,的切线，切点为,B,，,OC,平行于弦,AD,。,求证：,DC,是,O,的切线。,体会规律,如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,和,CD,相等，且,AB,与小圆相切于点,E,，,求证：,CD,与小圆相切。,D,C,O,B,A,F,D,C,B,A,E,O,切线性质定理的推广,性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径,推,1,：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,推,2,：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,浓缩提炼,你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗？,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个,：（,1,）垂直于切线；（,2,）过切点；（,3,）过圆心。,切线的判定和性质,判定切线的三种方法：,和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线,过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线,Review,定义,本质一样,表达不同,定理,过圆心,过切点,垂直于切线，随便知两个就可推出第三个,切线的主要性质：,切线和圆只有一个公共点,切线和圆心的距离等于半径,切线垂直于过切点的半径,经过圆心垂直于切线的直线必过切点,经过切点垂直于切线的直线必过圆心,主要辅助线：,利用切线性质时，常作过切点的半径,证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什么时候“作垂线”,三角形的内切圆,重点内容,问题,如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？,思考,定义,和三角形各边都相切的圆叫做,三角形的内切圆,；内切圆的圆心叫做,三角形的内心,；这个三角形叫做,圆的外切三角形,。,三角形的内心是三角形内角平分线的交点。,三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。,记忆,在,ABC,中，,ABC,50,，,ACB,75,，求,BOC,的度数。,（,1,）,点,O,是三角形的内心,（,2,）,点,O,是三角形的外心,ABC,中，,E,是内心，,A,的平分线和,ABC,的外接圆相交于点,D,。,求证：,DE,DB,。,A,B,C,O,D,A,B,C,E,练习,关于三角形内心的辅助线：连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。,三角形的各种心,Hearts of Triangle,垂心,重心,外心,内心,交点,性质,位置,三条高线的交点,三条角平分线的交点,三边垂直平分线的交点,三条中线的交点,在形内、形外或直角顶点,在形内、形外或斜边中点,在形内,在形内,到三角形各顶点距离相等,到三角形三边距离相等,把中线分成了,2,:,1,两部分,已知,ABC,的内切圆半径为,r,，,求证：,ABC,的面积,S,ABC,sr,。（,s,为,ABC,的半周长）,A,B,C,O,三角形的外接圆：,三角形的内切圆：,A,B,C,I,O,I,特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：,R=,c,2,r=,a+b-c,2,A,B,C,a,b,c,直角三角形外接圆、内切圆半径的求法,等边三角形外接圆、内切圆半径的求法,基本思路：,构造三角形,BOD,，,BO,为外接圆半径，,DO,为内切圆半径。,A,B,C,O,D,R,r,圆的内接四边形,定理：,圆的内接四边形的,对角互补,，并且任何一个,外角,都,等于,它的,内对角,。,C,B,A,D,O,E,F,DB180,AC180,EABBCD,FCBBAD,对角,外角,内对角,又一种重要的辅助线,F,E,D,C,B,A,O,2,O,1,如图，,O,1,和,O,2,都经过,A,、,B,两点，经过,A,点的直线,CD,与,O,1,交于点,C,，与,O,2,交于点,D,，,经过,B,点的直线,EF,与,O,1,交于点,E,，与,O,2,交于点,F,。,求证：,CEDF,有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。,此图形是一个考试热门图形。,思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？,E,C,B,A,O,2,O,1,F,D,切线长定理,切线长的定义以及定理,切线与切线长的区别：,切线是直线，不能度量。,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA=PB,OPA=OPB,切线长定理：,题设：从圆外一点引圆 的两条切线,结论：,切线长相等，,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,几何表述：,P,B,A,O,D,C,P,B,A,O,如图，,PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,、,B,是切点，直线,OP,交,O,于点,D,，交,AB,于点,C,。,写出图中所有的垂直关系,写出图中所有的全等三角形,写出图中所有的相似三角形,写出图中所有的等腰三角形,若,PA,4cm,，,PD,2cm,，,求半径,OA,的长,若,O,的半径为,3cm,，点,P,和圆心,O,的距离为,6cm,，,求切线长及这两条切线的夹角度数,P,A,B,O,C,PO,平分,AOB,PO,垂直平分,AB,PO,平分弧,AB,PA,PB,PO,平分,APB,推广,切线长定理,圆的外切四边形的重要性质,四边形,ABCD,的边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,和,O,分别相交相切于点,L,、,M,、,N,、,P,。,观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。,C,B,A,D,P,L,M,N,O,圆的外切四边形的两组对边的和相等,AB,CD,AD,BC,弦切角,弦切角的定义,弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。,要点：,顶点在圆上,一边和圆相交,一边和圆相切,判断下列各图形中的,A,是不是弦切角，并说明理由。,还记得什么是分类讨论吗？,还记得什么是化归吗？,还记得什么是完全归纳法吗？,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。,定,如图，,DE,切,O,于,A,，,AB,，,AC,是,O,的弦，若弧,AB,弧,AC,，,那么,DAB,和,EAC,是否相等？为什么？,推论,若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。,等腰梯形各边都与,O,相切，,O,的直径为,6cm,，,等腰梯形的腰等于,8cm,，,则梯形的面积为,_,。,圆的外切四边形的两组对边的和相等,AB,CD,AD,BC,8,6,8,C,B,A,D,P,L,M,N,O,与圆有关的比例线段,相交弦定理,圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,P,O,C,D,A,B,PAPB=PCPD,切割线定理,从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。,PT,2,=PAPB,A,O,P,B,T,如图，,CD,是弦，,AB,是直径，,CDAB,，,垂足为,P,。,求证：,PC,2,PAPB,演变与一题多解,A,C,D,B,P,O,你能用,两种,不同的原理证明吗？,相交弦定理推论,如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。,PC,2,=PAPB,如图，,PAB,和,PCD,是,O,的两条割线。求证：,PAPB,PC,PD,演变与一题多解,你能用,多种,不同的原理证明吗？,切割线定理推论（割线定理）,从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。,PAPB,PC,PD,A,O,P,B,C,D,(1),经过,O,内或外一点,P,作两条直线交,O,于,A,B,C,D,四点,得到了如图所示的六种不同情况,.,在六种情况下,PA,PB,PC,PD,四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示,.,请先写出这个式子，然后只就图,给予证明；,(2),已知,O,的半径为一定值,r,，,若点,P,是不在,O,上的一个定点，请你过,P,任作一直线交,O,于不重合的两点,E,、,F,，,PEPF,的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。,结论：过不在圆上的一个定点,P,的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值。（,等于点,P,到圆心的距离与半径的平方差的绝对值,）,运动观点看本质,切线长定理,相交弦定理,相交弦定理推论,切割线定理,割线定理,本质一样,圆幂定理,圆和圆的位置关系,外离,内含,两个圆没有公共点，,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆没有公共点，,并且每个圆上的点都在另一个圆的内部。,dR+r,dR-r,d,R,r,O1,O2,d,R,r,O1,O2,外切,内切,两个圆有唯一公共点，,并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆有唯一公共点，,并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部。,d=R+r,d=R-r,d,R,r,O1,O2,d,R,r,O1,O2,相交,两个圆有两个公共点。,R-rdr,）,内含,相交,外离,R,r,外切,R,r,内切,相切两圆、相交两圆的性质,对称性,单一个圆是轴对称图象，那么由两个圆组成的图形是否有轴对称性质呢？有若，说出对称轴，若没有，说明理由,由上述性质，你可以推导出相切两圆、相交两圆分别有什么性质吗？说明理由。,如果两圆相切，那么,切点在连心线上,。,相切两圆的性质,生活中的公切线,公切线的相关概念,公切线：和两圆都相切的直线。,O,1,O,2,两圆在公切线的,同旁,外公切线,O,1,O,2,两圆在公切线的,两旁,内公切线,思考：,两个圆是否一定有公切线？,若有，那么会有多少条公切线？,位置关系,图形,外公切线数,内公切线数,公切线总数,外离,2,2,4,外切,2,1,3,相交,2,0,2,内切,1,0,1,内含,0,0,0,公切线数量,&,两圆位置关系,公切线的性质,切线,类比联想,公切线,什么是切线长？什么是公切线的长？,切线长有什么定理？你猜想公切线的长相应有什么性质？写出结论并证明。,重点：关于公切线长的计算,公切线的长的计算,思想：构造直角三角形，利用勾股定理,计算式：,联想：,通常构造直角三角形的知识点：垂径定理、切线长定理、公切线,思考：,两圆内切时，内（外）公切线的长怎样？,两圆外切时，内公切线的长怎样？此时，外公切线长是两圆直径的比例中项，怎样证明？,辅助线：构造,Rt,要做一个如图那样的,V,形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为,200mm,和,80mm,，求,V,形角,的度数。,从边长分别为,a,、,b,（,ab,）,的矩形纸片上剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪下的圆的直径。,计算题：,两圆外切，通常辅助线的添法是,连结两圆圆心，平移外公切线，构成直角三角形,，利用勾股定理计算。,M,a,b,C,B,A,D,O,1,O,2,b,a,辅助线：作公切线,如图，,O,1,和,O,2,内切于,P,，,大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D,。,求证：,APC,BPD,。,如图，,O,1,和,O,2,外切于,A,，,BC,是,O,1,和,O,2,的公切线，,B,、,C,为切点。求证：,ABAC,D,C,O,1,P,O,2,A,B,M,N,B,O,1,O,2,A,C,Q,重要结论：切点三角形,如图，,O,1,和,O,2,外切于点,A,、,BC,为两圆外公切线，,B,、,C,为切点，,AD,为,O,1,直径，求证：,ACBD,。,B,O,1,O,2,A,C,D,重要结论：切点三角形,如图，,O,1,和,O,2,外切于,A,，,两圆的外公切线,BC,切,O,1,于点,B,，切,O,2,于,C,连结,AB,、,AC,；,CA,的延长线交,O,1,于,D,。,求证：,（,1,）,ABAC,；（,2,）,BD,2,DADC,。,相交两圆的,连心线,垂直平分,公共弦,。,相交两圆的性质,O,1,、,O,2,的半径分别为,4cm,、,3cm,。两圆交于,A,、,B,两点，,AB,4.8cm,，求,O,1,O,2,的长。,1,、在圆和圆的位置关系中经常要解直角三角形。,2,、注意几何的分类讨论题,C,B,A,O,1,O,2,C,B,A,O,2,O,1,正多边形和圆,圆的内接正,n,边形,&,圆的外切正,n,边形,正多边形：,各边相等,，,各角也相等,的多边形叫做正多边形。,正,n,边形：,如果一个正多边形有,n,条边，那么这个正多边形叫做正,n,边形。,三条边相等，三个角也相等（,60,度）,四条边都相等，四个角也相等（,90,度）,类比联想,怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？,怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？,怎样找圆的内接正,n,边形？怎样找圆的外切正,n,边形？,E,F,G,H,A,B,C,D,A,B,C,D,把圆分成,n,（,n3,）,等份,：,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的,内接正多边形,；,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的,外切正多边形,。,定理,正多边形和圆,正,n,边形的外接圆,&,正,n,边形的内切圆,类比联想,正三角形,有没有外接圆和内切圆？,怎样作出这两个圆？,这两个圆有什么位置关系？,正方形,有没有外接圆和内切圆？,怎样作出这两个圆？,这两个圆有什么位置关系？,那么，正,n,边形呢？,定理,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。,正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正,n,边形的每个中心角都等于,360,/n,。,正多边形的性质,正多边形是轴对称图形，正,n,边形有,n,条对称轴。,若,n,为偶数，则其为中心对称图形。,正多边形的性质,各边相等，各角相等,圆的内接正,n,边形的各个顶点把圆分成,n,等分,圆的外切正,n,边形的各边与圆的,n,个切点把圆分成,n,等分,每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心,正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形,正,n,边形的中心角和它的每个外角都等于,360/n,，每个内角都等于,(n-2),180/n,边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比平方,求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。,求证：各角相等的圆外切多边形是正多边形。,思考：,各边相等的圆外切多边形是否是正多边形？,各角相等的圆内接多边形是否是正多边形？,正多边形的有关计算,思考,什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？,正,n,边形的内角和、外角和分别是多少？它的每一个内角、外角、中心角分别是多少？,作一个正五边形，作出它的半径、中心角、边心距，观察它们之间有何关系？,若正多边形的边数为,n,时，它的边长、半径、中心角、边心距之间的关系如何？怎样做有关的计算？,正,n,边形的半径和边心距把正,n,边形分成,2n,个全等的直角三角形。,定理,练习,已知正六边形,ABCDEF,的半径为,R,，求这个正六边形的边长,a,6,、周长,P,6,和面积,S,6,。,已知圆的半径为,R,，求它的内接正三角形、内接正方形的边长、边心距和面积。,画正多边形,思想：,画半径为,R,的正,n,边形，只要把半径为,R,的圆,n,等分。,用尺规等分圆,正四边形,正八边形,正六边形,正三角形,正十二边形,圆周长、弧长,圆周长,圆周长,C,与半径,R,之间的关系：,C,2R,弧长计算公式,公式中,n,和,180,都不要带单位,“,度,”,圆心角的单位必须化为,“,度,”,题中没有标明精确度，结果用,表示,皮带轮模型,如图，两个皮带轮的中心的距离为,2.1m,，,直径分别为,0.65m,和,0.24m,。（,1,）,求皮带长（保留三个有效数字）；（,2,）如果小轮每分钟,750,转，求大轮每分钟约多少转？,如果两个轮是等圆呢？,圆、扇形、弓形的面积,一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形,扇形,回忆弧长计算公式的推导过程，你能否相应地推出扇形面积的计算公式呢？,扇形面积,观察扇形面积公式，你发现它和弧长公式之间有什么关系？,怎样才能牢固地记忆这两个公式呢？,已知正三角形的边长为,a,，,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。,圆环面积,把上题中的正三角形改为正方形，结果会怎样？,猜想：正五边形、正六边形时又会怎样？,用文字表达你得到的结论。,求不规则图形面积时，要认真观察图形，准确分解与组合，化归为常见的基本图形。,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形,弓形面积,S,弓形,=,S,扇形,-S,AOB,S,弓形,=,S,扇形,+S,AOB,S,弓形,=S,半圆,水平放着的圆柱形水管的截面半径是,0.6m,，,其中水面高是,0.3m,。,求截面上有水的弓形的面积（精确到,0.01m,2,）,如图，,O,的半径为,R,，,直径,ABCD,，以,B,为圆心，以,BC,为半径作弧,CED,。,求弧,CED,与弧,CAD,围成的新月形,ACED,的面积,S,。,如图，,O,1,与,O,2,外切于,C,，,AB,为两圆公切线，,A,、,B,为切点，若,O,1,、,O,2,半径为,3R,、,R,。,求：,（,1,）,AB,的长；（,2,）阴影部分面积。,如图，已知,A,为,O,外一点，连结,OA,交,O,于,P,，,AB,为,O,的切线，,B,为切点，,AP,5cm,，,AB,cm,，,则劣弧,BP,与,AB,、,AP,围成的阴影部分面积为多少？,若把两个圆心角相等的扇形看作有一条曲边的三角形，则这两个扇形“相似”，由类比法可以得出一些有趣的性质：,相似扇形的弧长比等于半径比,相似扇形非曲边上的高之比及中线之比都等于扇形半径之比,相似扇形的外接圆半径之比和内切圆半径之比都等于扇形半径之比,相似扇形周长之比等于扇形半径之比,相似扇形面积之比等于扇形半径之比的平分,曲边三角形,扇形,曲边三角形,扇环,？,由此猜想扇环还可以怎样计算呢？,有能力的话，你能推导吗？,看看课本,181,页,11,题,扇环面积,圆柱和圆锥,侧面展开图,思考题,在一个圆锥形的雪糕壳的表面上,A,处有一只蚂蚁，它发现雪糕壳表明上的,B,处有一滴残留的雪糕，那么请你为这只蚂蚁设计一条最短的路线，使它最快爬到,B,处。,把一个圆柱侧面展开，是什么图形？,把一个圆锥侧面展开，是什么图形？,圆柱与圆锥的有关概念,圆柱,圆柱的高,圆柱的运动定义,圆柱的轴,圆柱的母线,圆锥,圆锥的高,圆锥的运动定义,圆锥的轴,圆锥的母线,O,圆柱的基本性质,两个底面是两个等圆,两个底面平行,母线平行与轴,轴通过上、下底面的圆心,母线长都相等并等于高,侧面展开图是矩形,矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长,另一边长是底面圆的周长,圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高,圆锥的基本性质,底面一个圆,轴通过底面的圆心,轴垂直于底面,母线长都相等,侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面圆的周长,圆锥的侧面积等于扇形的面积,提高练习,从一个底面半径为,40cm,，高,60cm,的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底，下底圆心为顶点的圆锥，如图，得到一个几何体，求这个几何体的表面积。,