河北省行唐县第一中学2026年高三5月学情检测试题数学试题含解析.doc

河北省行唐县第一中学2026年高三5月学情检测试题数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A． B． C． D．
2．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
3．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）
A．30 B． C． D．62
5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )
A．60 B．80 C．90 D．120
7．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．
9．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A． B．
C． D．
11．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
14．已知x，y满足约束条件，则的最小值为___
15．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．
16．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
(1)求的值；
(2)令在上最小值为，证明：.
18．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，

（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
19．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．
21．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.
22．（10分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
2．B
【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；
将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种
本题正确选项：
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.
3．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
4．B
【解析】
根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，
因此.
故选：B
本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
5．D
【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
【详解】
由余弦定理得：，
整理可得：，.
故选：.
本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.
6．B
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，故表示直线与截距的倍，
根据图像知：当时，的最大值为，故.
展开式的通项为：，
取得到项的系数为：.
故选：.

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
7．A
【解析】
将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：，所以所对应的点为在第一象限.
故选:A.
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.
8．B
【解析】
由，则输出为300，即可得出判断框的答案
【详解】
由，则输出的值为300，，故判断框中应填？
故选：．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
10．C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
11．B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
12．B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.
【详解】
若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
故选:B
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.
【详解】
解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，

必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
14．
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.
【详解】

x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求.
点A（，），
z在点A处有最小值：z＝2，
故答案为：.
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
15．
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.
【详解】
解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,,
设, ,
,
即点的坐标为,
则,,,
所以

故答案为:
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
16．
【解析】
试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)；(2)见解析．
【解析】
(1)将转化为对任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；
(2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出．
【详解】
函数的定义域为，因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
又，所以当时，，不符合题意；
当时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以要使在时恒成立，则只需，即，
令，，
所以，
当时，；当时，，
所以在 单调递减，在上单调递增，所以，
即，又，所以，
故满足条件的的值只有
(2)由(1)知，所以，
令，则，
当，时，即在上单调递增；
又，，所以，使得，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，且
所以，
即，所以，即．
本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题．
18．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【详解】
（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，
所以由,即存在点E为PC中点.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，
，设， ，，由
，得，
即存在点E为PC中点.

（2）由（1）知，，，
，， ，
设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为
由的法向量为得，得，
同理求得
所以，
故所求二面角P－AE－D的余弦值为.
本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（1）（2）
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），
由得或或；
解得.故所求解集为.
（2）
，
即.
由（1）知，
所以，即.
∴，∴.
本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
20．（1）（2）函数有两个零点和
【解析】
试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。
解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，
所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]
函数的对称轴为．
①，即时，，
即，解之得，解集为空集；
②，即时，
即，解之得，所以
③，即时，
即，解之得，所以
综上所述，当 函数在区间 上单调递增．
（2）∵有两个极值点，
∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．
∵
∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减
∵，∴是函数的一个零点．
由题意知：
∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的两个根，
∴，,
∴
∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴当时，，当时，当时，
∴函数有两个零点和．
21．（1）；（2）
【解析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.
【详解】
（1）直线的参数方程为（为参数），
消去；得
曲线的极坐标方程为.
由，，，
可得，即曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，
可得，，
设，是点对应的参数值，
，，则.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
22．（1）（2）当时，；当时，.
【解析】
（1）利用数列与的关系，求得；
（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比数列的前项和公式求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，

，
因为适合上式，
所以.
（2）由（1）得，，
设等比数列的公比为，则，解得，
当时，，
当时，.
本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考
查运算求解能力.
.