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*,第一节,定积分,的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义,小结 思考题 作业,定 积 分,定积分的性质,*,*,*,definite integral,1,1.,曲边梯形的面积,求由连续曲线,一、,定积分问题举例,定积分的概念与性质,2,用,矩形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,以直代曲,定积分的概念与性质,近似取代曲边梯形面积,3,采取下列四个步骤来求面积,A,.,(1),分割,(2),取近似,定积分的概念与性质,长度为,为高的小矩形,近似代替,4,(3),求和,(4),求极限,为了得到,A,的精确值,取极限,形的面积,:,定积分的概念与性质,极限值就是曲边梯,5,2,.,求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程,.,思路,把整段时间分割成若干小段,速度看作不变,路程相加,得到路程的近似值,对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,定积分的概念与性质,6,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,路程的精确值,(2),取近似,定积分的概念与性质,表示在时间区间,内走过的路程,.,某时刻的速度,7,二、定积分的定义,设,函数,f,(,x,),在,a,b,上有界,在,a,b,中任意插入,定义,若干个分点,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并,作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),定积分的概念与性质,8,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和,S,总趋于确定的,极限,I,称这个极限,I,为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的,定,积分,.,定积分的概念与性质,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,9,(2),和上、下限,.,定积分是一个数,.,被积函数,定积分的概念与性质,有关,;,注,无关,.,10,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.,几何意义,定积分的概念与性质,三、定积分的几何意义,11,几何意义,定积分的概念与性质,各部分面积的代数和,.,取负号,.,介于,x,轴、函数,f,(,x,),的图形及两条,直线,x,=,a,x,=,b,的,在,x,轴上方的面积取正号,;,在,x,轴下方的面积,12,例,1,解,2.,物理意义,o,x,y,定积分的概念与性质,定积分,13,定理,1,定理,2,或,记为,黎曼 德国数学家,(18261866),定积分的概念与性质,四、,关于函数的可积性,可积,.,且只有有限个间,可积,.,可积,.,黎曼可积,断点,充分条件,14,解,例,2,用定义计算由抛物线,定积分的概念与性质,和,x,轴所围成的曲边梯形面积,.,直线,小区间,的长度,取,15,定积分的概念与性质,当,n,取不同值时,近似值精度不同,.,16,补充规定,说明,定积分的概念与性质,五、定积分的性质,假定定积分都存在,不考虑积分上下限的大小,性质,1,性质,2,性质,1,和性质,2,称为,线性性质,.,17,补充,例,则,性质,3,(,区间可加性,),定积分的概念与性质,假设,的相对位置如何,总成立,.,不论,18,证,性质,4,性质,5,(,保号性,),定积分的概念与性质,则,19,定积分的概念与性质,解,令,于是,比较积分值,和,的大小,.,例,3,20,推论,1,定积分的概念与性质,如果在区间,则,性质,5,则,证,推论,2,由,推论,1,21,例,4,推论,2,证,夹逼定理,即得,定积分的概念与性质,22,证,性质,6,(,估值,),定积分的概念与性质,分别是函数,最大值及最小值,.,则,23,解,定积分的概念与性质,估计积分,例,5,24,证,由介值定理,:,性质,7(,定积分中值定理）,定积分的概念与性质,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立,:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,25,注,定积分的概念与性质,平均值公式,几何解释,至少存在一点,在区间,曲边梯形的面积,=,26,例,6,证,由,积分中值定理,有,(,a,为常数,),定积分的概念与性质,27,3.,定积分的性质,(,估值性质、积分中值定理的应用,),4.,典型问题,(1),估计积分值,;,(2),不计算定积分比较积分大小,.over,定积分的概念与性质,六、小结,1.,定积分的实质,:,特殊和式的极限,.,2.,定积分的思想和方法,:,以直代曲、以匀代变,.,四步曲,:,分割、,取近似、,求和、,取极限,.,思想,方法,28,第二节 微积分基本公式,问题的提出,积分上限函数及其导数,牛顿,莱布尼茨公式,小结 思考题 作业,(,v,(,t,),和,s,(,t,),的关系),fundamental formula of calculus,第五章 定积分,29,例,路程为,这段路程可表示为,(,v,(,t,),和,s,(,t,),的关系),物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求在这段时间内所经过的路程,.,是时间间隔,微积分基本公式,一、问题的提出,其中,运算,启发,30,定积分,积分上限函数,注,一定要分清函数的,设,f,(,x,),在,a,b,中可积,则对任,一点,与,自变量,x,积分变量,t,.,微积分基本公式,二、积分上限函数及其导数,31,几何意义,是如图,红色部分,的面积函数,.,微积分基本公式,32,证,定理,1,(,原函数存在定理,),因为,从而,微积分基本公式,33,积分中值定理,定积分性质,3,故,微积分基本公式,34,定理,1,指出：（定理,）,连续函数,f,(,x,),一定有原函数,就是,f,(,x,),的一个原函数,.,函数,微积分基本公式,35,推论,微积分基本公式,36,例,1,解,例,2,解,微积分基本公式,37,例,3,解,微积分基本公式,38,例,4,解,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,微积分基本公式,39,例,5,解,求极限,2002,年考研数学,(,三,)5,分,微积分基本公式,40,证,微积分基本公式,例,6,证明函数,为单调增加函数,.,41,微积分基本公式,为单调增加函数,.,故,42,证,令,微积分基本公式,为单调增加函数,.,证明,:,只有一个解,.,例,7,所以原方程,只有一个解,.,或,43,牛顿,(,英,)16421727,莱布尼茨,(,德,)16461716,微积分基本公式,三、牛顿,莱布尼茨公式,证明,F,(,x,),和,(,x,),都是,f,(,x,),的原函数,故存在,C,使,F,(,x,),(,x,),C,.,由,F,(,a,),(,a,),C,及,(,a,),0,得,C,F,(,a,),F,(,x,),(,x,),F,(,a,),.,由,F,(,b,),(,b,),F,(,a,),得,(,b,),F,(,b,),F,(,a,),即,若,F,(,x,),是连续函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的一个原函数,则,44,注意：,求定积分问题,转化为,求原函数的问题,!,注,45,例,8,原式,解,面积,例,9,解,平面图形的面积,.,所围成的,微积分基本公式,46,例,10,解,微积分基本公式,47,例,11,解,由图形可知,微积分基本公式,48,微积分基本公式,积分上限函数,(,变上限积分,),积分上限函数的导数,微积分基本公式,四、小结,注意,其推论,.,49,解,此极限实为一,积分和的极限,.,微积分基本公式,练习1,50,练习2,解,微积分基本公式,51,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可,.,解,对所给积分方程两边关于,x,求导,得,练习3,需先求出,即,微积分基本公式,52,已知函数,求积分上限的函数,解,分段函数,微积分基本公式,错,!,练习4,53,已知函数,求积分上限的函数,微积分基本公式,正确做法,54,第,三节 定积分的换元法,和分部积分法,定积分的换元法,小结 思考题 作业,定积分的,分部积分,法,definite integral by parts,definite integral by substitution,第五章 定积分,55,定理,1,则有,定积分换元公式,假设函数,定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,函数,满足条件,:,(1),(2),具有连续导数,且其值域,definite integral by substitution,56,注,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代,;,(1),仍成立,;,(2),改变,定积分的换元法和分部积分法,57,例,1,解,写出,下限,.,定积分的上、,新的变量,t,注,定积分的换元法和分部积分法,58,或,定积分的换元法和分部积分法,59,解,例,2,提示：,60,提示：,解,例,3,61,难 例,4,解,原式,定积分的换元法和分部积分法,62,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子,.,例,5,证,由于,定积分的换元法和分部积分法,作,变换,63,例,6,：计算,:,则,定积分的换元法和分部积分法,64,可得,:,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,定积分的换元法和分部积分法,65,例,7,：计算,定积分的换元法和分部积分法,奇,偶,66,证,(1),三角函数的定积分公式,例,8,由此计算,设,定积分的换元法和分部积分法,证毕,.,67,定积分的换元法和分部积分法,设,自证,由此计算,68,周期函数的定积分公式,(,自证,),定积分的换元法和分部积分法,69,例,9,解,定积分的换元法和分部积分法,70,解,作换元变换,则,定积分的换元法和分部积分法,例,10,71,定积分的分部积分公式,定积分的换元法和分部积分法,二、定积分的,分部积分,法,设,有,连续的导数,则,definite integral by parts,定理,2,72,例,11,解,解,例,12,73,例,13,解,定积分的换元法和分部积分法,74,例,14,证明定积分公式,n,为正偶数,n,为大于,1,的正奇数,J.Wallis,公式,定积分的换元法和分部积分法,计算,75,定积分的分部积分公式,定积分的换元法和分部积分法,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,76,思考题,解答,定积分的换元法和分部积分法,77,思考题,试检查下面运算是否正确,?,定积分的换元法和分部积分法,解答,注意,必定大于零,.,问题在于引进的变换,不满足换元法则的前提条件,.,78,解,定积分的换元法和分部积分法,1990,年考研数学,(,一,),计算,5,分,原,式,=,练习1,79,练习2,解,用定积分的分部积分公式,定积分的换元法和分部积分法,80,小结 作业,平面图形的面积,体 积,平面曲线的弧长,第四节 定积分在几何学上的应用,第六章 定积分的应用,定积分的元素法,81,结合曲边梯形面积的计算,定积分的元素法,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,两个特点,:,(1),所求量,I,即与,a,b,有关,;,(2),I,在,a,b,上具有可加性,.,一 定积分的元素法,82,按定义建立积分式有,四步曲,:,“分割、,定积分的元素法,得到,是所求量,I,的微分,于是,称,为量,I,的,微元,或,元素,.,取近似、,求和、,取极限”,83,定积分的元素法,元素法,或,微元法,.,简化步骤,84,面积元素,得,定积分的元素法,85,二、平面图形的面积,回忆,的几何意义,:,启示,一般曲线围成区域的面积也可以,用定积分来计算,.,定积分在几何学上的应用,定积分,下面曲线均假定是,连续,曲线,.,注,86,求这两条,曲线,及直线,所围成的区域的,面积,A.,的,面积元素,d,A,为,它对应,(1),定积分在几何学上的应用,1,.,直角坐标系中图形的面积,小区间,87,(2),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积,A.,的,面积元素,d,A,为,它对应,定积分在几何学上的应用,小区间,88,例,1,计算抛物线,y,2,x,与,y,x,2,所围成的图形的面积,.,解,(2),确定在,x,轴上的投影区间,:,(4),计算积分,0,1,;,(1),画图,;,y,问：是否只可以选,x,为积分变量？,0,1,;,(3),确定上下曲线,:,左右曲线,:,),(,),(,2,=,=,y,y,y,右,左,j,j,左,=,右,=,x,x,y,2,),(,),(,x,x,f,x,x,f,=,=,下,上,.,上,=,y,下,=,y,-,=,1,0,2,),(,dy,y,y,S,1,答：否。,89,例,2,计算抛物线,y,2,2,x,与直线,y,x,4,所围成的图形的面积,.,(2),确定在,y,轴上的投影区间,:,(4),计算积分,(3),确定左右曲线,:,-,2,4,.,解,(1),画图,;,问：是否只可以选,y,为积分变量？,答：否。,90,例,3,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组,:,交点,面积元素,法一,选 为积分变量,定积分在几何学上的应用,确定积分限,91,法二,选,y,为积分变量,面积元素,法三,定积分在几何学上的应用,92,分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别,(3),一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以,算出每块的面积再相加即可,.,(2),(1),(1),(2),定积分在几何学上的应用,93,例,4,解,两曲线交点为,由于图形关于,y,轴对称,故,定积分在几何学上的应用,94,解,曲线的参数方程为,由对称性,作变量代,换,例,5,其中,总面积等于,4,倍第一象限部分面积,不易积分,.,一般地,当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理,.,定积分在几何学上的应用,95,面积元素,曲边扇形的面积,2,.,极坐标下平面图形的面积,由,极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积,A,.,定积分在几何学上的应用,和射线,曲边扇形,96,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,例,6,求双纽线,所围平面图形的面积,.,定积分在几何学上的应用,97,解,利用,对称性,知,定积分在几何学上的应用,98,圆柱,圆锥,圆台,三、体 积,旋转体,这直线叫做,旋转轴,一个平面图形绕,这平面内一条直线,旋转一周而成的立体,1.,旋转体的体积,定积分在几何学上的应用,99,3),旋转体的体积,采用元素法,由连续曲线,直线,及,x,轴所围成的,曲边梯形绕,x,轴旋转一周而成的立体,体积为多少,?(X-,型,),1),取积分变量为,x,为底的,小曲边梯形,绕,x,轴,旋转而,成的薄片的,体积元素,(1),定积分在几何学上的应用,100,解,体积元素,例,1,取,积分变量为,x,o,x,y,定积分在几何学上的应用,101,由连续曲线,及,y,轴所围成的,曲边梯形绕,y,轴旋转一周而成的立体,体积为多少,?(Y-,型,),(2),直线,体积元素,旋转体的体积,定积分在几何学上的应用,102,解,两曲线的交点为,绕,y,轴旋转,定积分在几何学上的应用,例,2,103,解,例,3,求摆线,的,一拱,与,y,=0,所围成的,图形分别绕,x,轴、,y,轴旋转而成的旋转体的体积,.,绕,x,轴,旋转的旋转体体积,变量代换,定积分在几何学上的应用,104,绕,y,轴,可看作平面图,OABC,与,OBC,分别绕,y,轴,旋转构成的旋转体的体积之差,.,摆线,定积分在几何学上的应用,令,105,2.,平行截面面积为已知的立体的体积,上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积,该立体,的体积也可用定积分来计算,.,那么,这个立体,表示过点,x,且垂直于,x,轴的,截面面积,采用元素法,体积元素,定积分在几何学上的应用,106,解,取坐标系如图,底圆方程,例,4,一平面经过半径为,R,的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积,.,垂直于,x,轴的截面为直角三角形,.,底,高,截面面积,立体体积,定积分在几何学上的应用,107,作一下垂直于,y,轴,的截面是,截面长为,宽为,矩形,截面面积,定积分在几何学上的应用,可否选择,y,作积分变量,?,此时截面面积函数是什么,?,如何用定积分表示体积,?,思考,108,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直于,x,轴的截面为等腰三角形,例,5,定积分在几何学上的应用,求以,半径为,R,的圆为底、平行且等于底圆直径,的线段为顶、高为,h,的正劈锥体的体积,.,109,四、平面曲线的弧长,在弧上,插入分点,此折线的长,的,极限存在,则称,此极限,为曲线弧,AB,的弧长,.,1.,平面曲线弧长的概念,定积分在几何学上的应用,定理,光滑曲线弧是可求长,.,110,弧长元素,弧长,2.,直角坐标情形,小切线段的长,以,对应小,切线段的长代,替小线段的长,取积分变量为,x,任取小区间,定积分在几何学上的应用,111,曲线弧为,弧长,3.,参数方程情形,其中,具有连续导数,.,定积分在几何学上的应用,112,曲线弧为,弧长,4.,极坐标情形,其中,具有连续导数,.,定积分在几何学上的应用,113,证,设,正弦线的弧长等于,设,椭圆的周长为,定积分在几何学上的应用,证明正弦线,例,6,的弧长等于,椭圆,的周长,.,椭圆的,对称性,114,1.,求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形,（注意恰当的,选择积分变量,),分横条,(X,型,),分竖条,(Y,型,),分成扇形,分成圆环,.,定积分在几何学上的应用,的面积,.,四、小结,2.,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕,x,轴旋转一周,绕,y,轴旋转一周,直角坐标系下,极坐标系下,3.,求弧长的公式,参数方程情形下,115,定积分在几何学上的应用,练习,所围成的,平面区域,;,所围成的,平面区域,;,其中,(1),试求,D,1,绕,x,轴旋转而成的旋转体体积,V,1,;,试求,D,2,绕,y,轴旋转而成的旋转体体积,V,2,;,(2),问当,a,为何值时,V,1,+,V,2,取得最大值,?,试求此最大值,.,2002,年考研数学,(,三,)7,分,直线,解,(1),(2),(,唯一驻点,),最大值,116,解,定积分在几何学上的应用,思考题,1,117,定积分在几何学上的应用,思考题,2,位置无关,.,设,分别表示,从点,向抛物线,引出的两条切线的切点,.,在点,的切线方程,:,即,又,解,118,定积分在几何学上的应用,于是切线,的方程分别为,所围图形的,面积为,可见,无关,位置无关,.,119,思考题,3,定积分在几何学上的应用,解答,仅仅有曲线连续还不够,不一定,.,必须保证曲线光滑才可求长,.,闭区间,a,b,上的连续曲线,y,=,f,(,x,),是否,一定可求长,?,120,变力沿直线所作的功,水压力,引 力,函数的平均值和均方根,第五节 定积分在物理学上的应用,第六章 定积分的应用,121,一、变力沿直线所作的功,如果一,常力,F,作用于一物体使其沿直线移动了距离,s,那么就说力对这一物体作了功,且所作功,积分得到总功的表达式,.,如果计算功时,力或距离是变化,的,则需要,在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定,定积分在物理学上的应用,122,设物体在变力,F,(,x,),作用下沿,x,轴从,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所,做的功,.,在,上任取小区间,在其上所作的,功元素,因此变力,F,(,x,),在区间,上所作的功为,定积分在物理学上的应用,123,例,1,定积分在物理学上的应用,取任一小区间,取,r,为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷,a,处移动到,b,处,(,a,b,),求电场力所作的功,.,解,当单位正电荷距离原点,时,一个,电场力为,功元素,所求功,说明,处的电位为,电场在,库仑定律,在一个带,+,q,电荷所产生的电场作用下,124,二、水压力,在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力,.,如,水坝或闸门的压力,.,当压强为常数时,压力,=,压强,面积,当物,体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是,故往往需要用定积分计算液体对表面,因而采用“元素法”思想,.,的侧压力,.,定积分在物理学上的应用,不同的,125,解,在端面,建立坐标系,.,取,x,为积分变量,取任一小,区间,小矩形片上各处的压强,近似相等,小矩形片的面积为,定积分在物理学上的应用,一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例,2,设桶的底半径为,R,水的比重为,计算桶的一端面,上所受的压力,.,如图,小矩形片的压力元素为,端面上所受的,压力,桶内盛满水,?,126,质量分别为,的质点,二者间的引力,:,大小,方向,沿两质点的连线,三、引力,定积分在物理学上的应用,相距,则要用定积分计算,.,采用,“元素法”,思想,.,如果要计算,一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能,用上述公式计算,.,127,解,建立坐标系,.,x,o,m,.,x,x+,d,x,引力元素,是否可建立其它坐标系,?,想一想,例,3,法一,定积分在物理学上的应用,128,例,.,引力元素,法二,法三,.,引力元素,定积分在物理学上的应用,129,例,法四,.,引力元素,定积分在物理学上的应用,130,四、函数的平均值和均方根,平均值的公式,247,均方根的公式,248,131,和引力等物理问题,(,注意熟悉相关的物理知识,),四、小结,利用,“,元素法,”,的,思想,求变力沿直线作功、,水压力,定积分在物理学上的应用,132,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,小结 思考题 作业,第六节 反常积分,(,广义积分,),improper integral,第五章 定积分,133,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,反 常 积 分,反常积分,推广,134,定义1,即,当,极限存在时,称反常积分,当,极限不存在时,称反常积分,如果极限,存在,反 常 积 分,则称这个极限值,反常积分,(1),收敛,;,发散,.,一、无穷限的反常积分,135,即,当,极限存在时,称反常积分,当,极限不存在时,称反常积分,存在,如果极限,反 常 积 分,则称这个极限值,反常积分,(2),收敛,;,发散,.,136,如果反常积分,和,都,收敛,则称上述两反常积分之和为函数,称反常积分,反 常 积 分,上的,反常积分,即,收敛,;,记作,发散,.,否则称反常积分,(3),137,注,规定,:,N-L,公式,反 常 积 分,138,例,1,计算反常积分,解,反 常 积 分,反常积分的积分,值,的,几何意义,139,例,2,计算反常积分,解,反 常 积 分,140,证,反 常 积 分,例,3,证明反常积分,收敛,发散,.,141,证,因此,收敛,其值为,发散,.,反 常 积 分,例,4,证明反常积分,*,142,反 常 积 分,练习,1.,计算,2002,年考研数学,(,一,),填空,3,分,解,2.,位于曲线,下方,x,轴,上方的,无界图形的面积是,解,2002,年考研数学,(,二,),填空,3,分,143,定义,2,即,当极限不存在,时,称,反常积分,则称此,极限为,仍然记为,如极限,存在,也称,反常积分,函数,反 常 积 分,二、无界函数的反常积分,(,瑕积分,),反常积分,收敛,;,发散,.,瑕点,(1),144,否则,则,定义,如极限,存在,反 常 积 分,(2),瑕点,称,反常积分,发散,.,145,若等号右边两个反常积分,如果,则,定义,否则,就称反常积分,发散,.,都收敛,反 常 积 分,(3),瑕点,反常积分,注,如瑕点在区间内部,讨论各段瑕点积分,.,通常,用瑕点将区间分开,146,注,反 常 积 分,由,NL,公式,则,反常积分,规定,:,147,例,5,计算反常积分,解,反 常 积 分,为,瑕点,这个反常积分值的,直线,x,=,0,与,x,=,a,位于曲线,x,轴,之上,之间的图形面积,.,几何意义,?,之下,148,例,6,计算反常积分,解,故原反常积分发散,.,反 常 积 分,149,证,反常积分收敛,其值为,反常积分发散,.,反 常 积 分,例,7,证明反常积分,*,150,例,8,求,解,反 常 积 分,发散,.,也发散,.,注,错误的做法,:,151,例,9,下面是,练习,发散,无穷区间,上,无界函数,的,反常积分,发散,发散,.,发散,.,反 常 积 分,152,例,10,解,表示,反 常 积 分,153,无界函数的,反常,积分,(,瑕积分,),无穷限的反常积分,反 常 积 分,三、小结,1.,不要与常义积分混淆,;,2.,不能忽略内部的瑕点,.,154,反 常 积 分,思考题,1,(,选择题,),解答,恒等于常数,.,155,思考题,2,积分 的瑕点是哪几点？,解答,积分,不是瑕点,的瑕点是,可能,的瑕点是,又,反 常 积 分,156,