2026届山东省济南市名校高三最后一模数学试题含解析.doc

2026届山东省济南市名校高三最后一模数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）

A． B． C． D．
2．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．在中，角所对的边分别为，已知，．当变化时，若存在最大值，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的常数项为( )
A．－60 B．240 C．－80 D．180
6．已知为锐角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
9．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）

A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月
11．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．
14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
15．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.
16．直线过圆的圆心，则的最小值是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.
(1)求的长；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.
18．（12分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知数列满足：对一切成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（12分）在中，角的对边分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值.
21．（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．
22．（10分）已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
2．C
【解析】
由,再运用三点共线时和最小，即可求解.
【详解】
.
故选：C
本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．
3．C
【解析】
因为，，所以根据正弦定理可得，所以，，所以
，其中，，
因为存在最大值，所以由，可得，
所以，所以，解得，所以正数的取值范围为，故选C．
4．A
【解析】
首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，
但合并计算时会有重复，重复数量为，
事件的样本点数为：个．
故不同的样本点数为8个，.
故选：A
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
5．D
【解析】
求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.
【详解】
由题意，中常数项为，
中项为，
所以的展开式中的常数项为：
.
故选：D
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故选：C.
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
7．C
【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
A：为非奇非偶函数，不符合题意；
B：在上不单调，不符合题意；
C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
D：为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
8．B
【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.
【详解】
抛物线，则焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可得，
圆，圆心为，半径为，
点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，
则的周长为，
所以，
故选：B.
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
9．C
【解析】
设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．
【详解】
若直线与曲线切于点，则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．C
【解析】
根据图形，计算出，然后解不等式即可.
【详解】
解：，
点在直线上
，

令

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，
故选：C
考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.
11．D
【解析】
由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.
【详解】
因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.
故选：D

此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
12．B
【解析】
由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解
【详解】
由题意得，
因为，，
所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.
【详解】
①2（sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°），
②，，
∴，
∴．
故答案为：．
此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.
14．
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.
故答案为：.
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
15．
【解析】
本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
故答案为：.
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.
16．
【解析】
直线mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圆心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【详解】
∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圆心（1，﹣1），
∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.
∴（）（m+n）＝22+2＝4，当且仅当m＝n时取等号.
∴则的最小值是4.
故答案为：4.
本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） ;（2）.
【解析】
（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得的长；
（2）将的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得的坐标，再根据两点间距离公式即可求得.
【详解】
（1）直线的参数方程为(为参数)，
化为直角坐标方程为，即
直线与曲线交于两点.
则圆心坐标为，半径为1，
则由点到直线距离公式可知，
所以.
（2）点的极坐标为，化为直角坐标可得，
直线的方程与曲线的方程联立，化简可得，
解得，所以两点坐标为，
所以，
由两点间距离公式可得.
本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.
18．（1）（2）存在；常数，定值
【解析】
（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.
【详解】
（1）解析：（1）设，，
由题可得
，解得
又，即，
消去得：
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
设，
由可得：
由点到的距离为定值可得（为常数）即
得：

即
，
又

为定值时，，此时，且符合
当直线的斜率不存在时，设直线方程为
由题可得，时，，经检验，符合条件
综上可知，存在常数，且定值
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；
（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.
【详解】
（1）①，
当时，，
，
当时，②，
①②得：，
，
适合，
故；
（2），

　　.
本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
20．（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理化简等式可得，即；
（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值.
【详解】
（1），由正弦定理得：
在中，，则，
即，
，即
.
（2）在中，
又，则为等边三角形，
又，
-
当时，四边形的面积取最大值，最大值为.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；
（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．
如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，所以平面ABC．
所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为
．
而斜三棱柱的体积为．
所以剩余部分的体积为．

本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.
22．（1）（2）函数有两个零点和
【解析】
试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。
解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，
所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]
函数的对称轴为．
①，即时，，
即，解之得，解集为空集；
②，即时，
即，解之得，所以
③，即时，
即，解之得，所以
综上所述，当 函数在区间 上单调递增．
（2）∵有两个极值点，
∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．
∵
∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减
∵，∴是函数的一个零点．
由题意知：
∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的两个根，
∴，,
∴
∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴当时，，当时，当时，
∴函数有两个零点和．