辽宁省沈阳市2026年高三下学期网上模拟考试数学试题含解析.doc

辽宁省沈阳市2026年高三下学期网上模拟考试数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C．2 D．
3．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
7．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．7
10．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．
11．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
12．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.
14．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，其中，，则的值为_______________．
15．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.

16．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；
（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.
18．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.
19．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
20．（12分）已知函数
（1）求函数在处的切线方程
（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，
是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.
不等式等价于，
等价于，注意到，
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选：A
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.
2．A
【解析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
3．C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
4．C
【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.
【详解】
有1个零点
等价于与的图象有1个交点．

记，则过原点作的切线，
设切点为，
则切线方程为，
又切线过原点，即，
将，

代入解得．
所以切线斜率为，
所以或．
故选：C
本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
5．C
【解析】
由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.
【详解】
，且，，.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
6．B
【解析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
7．C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列，所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
8．B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
9．B
【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.
【详解】
在等差数列的前项和为，则
则
故选：B
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.
10．A
【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】
设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．B
【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】
，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.
故选:B.

本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.
12．B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设，判断 为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.
【详解】
设，
则在是偶函数，
当时，，
由得，
记，
，，
故函数在增，而，
所以在减，在增，，
当时，，当时，，
因此的图象为

因此实数的取值范围是.
本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.
14．
【解析】
根据题意，判断出，根据等比数列的性质可得，再令数列中的，，，根据等差数列的性质，列出等式，求出和的值即可.
【详解】
解：由，其中，，
可得，则，令，，
可得.①
又令数列中的，，，
根据等差数列的性质，可得，
所以.②
根据①②得出，.
所以.
故答案为.
本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.
15．11
【解析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】
（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个： ，
3个，2个：，
1个，4个：，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3个：，
1个，2个：，
综上，一共有（种）.
故答案为：11.
本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
16．
【解析】
先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.
【详解】
由等面积法可得，依题意可得，，
所以.
故答案为：
本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.
（2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到
，故，得到答案.
【详解】
（1），所以，，化简得，
所以，，所以方程为；
（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，
所以由，得，
所以，
由，得，代入，
化简得：，
由于，所以，同理可得，
所以，所以当时，最小为
本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．见解析
【解析】
已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.
【详解】
，
.
由柯西不等式得，
.
.
.
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
19．另一个特征值为，对应的一个特征向量
【解析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.
【详解】
矩阵的特征多项式为：
，
是方程的一个根，
，解得，即
方程即，，
可得另一个特征值为：，
设对应的一个特征向量为：
则由，得得，
令，则，
所以矩阵另一个特征值为，
对应的一个特征向量
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.
20．（1）；（2）
【解析】
（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.
【详解】
（1）由于，
此时切点坐标为
所以切线方程为.
（2）由已知，
故.
由于，故，
设由于在单调递增
同时时，，时，，
故存在使得
且当时，当时，
所以当时，当时，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
故
由于，
所以，
.
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21．（1）；（2）①；②.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．
【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵ ， ∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且

，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
22．（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【详解】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．