吉林省吉化一中学2025-2026学年高考数学试题模拟试卷（8）数学试题含解析.doc

吉林省吉化一中学2025-2026学年高考数学试题模拟试卷（8）数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5 B．3 C． D．2
3．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
4．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A． B．
C． D．
5．已知函数，，且，则（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．5或8
6．若复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知i是虚数单位，则（　 ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）
A． B． C． D．
10．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）
A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i
11．若向量，，则与共线的向量可以是（　　）
A． B． C． D．
12．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．72种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．

15．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．
16．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.

（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体的体积.
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
19．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
20．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
21．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
22．（10分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．

（1）若，求证：⊥；
（2）若二面角的大小为，求线段的长．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
2．D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
3．D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
5．B
【解析】
根据函数的对称轴以及函数值，可得结果.
【详解】
函数，
若，则的图象关于对称，
又，所以或，
所以的值是7或3.
故选：B.
本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题
6．D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.
【详解】
解：由题意知，，
，
∴，
故选：D.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
7．D
【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】

故选
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
8．C
【解析】
根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有
.
故选：C
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力
9．C
【解析】
分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.
详解：由题得.
当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.
当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.
所以
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
即
令，
所以
所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，
所以，
所以当1≤a<e时，满足题意.
当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间内的任意实数，都有，
所以,
故1+1，
所以
故
综上所述，a∈.
故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.
10．D
【解析】
两边同乘-i，化简即可得出答案．
【详解】
i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.
的共轭复数为
11．B
【解析】
先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.
【详解】

故选B
本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.
12．C
【解析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.
【详解】
不同分配方法总数为种.
故选：C
此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.
【详解】
由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.

故答案为：
本题考查随机事件的概率，是基础题.
14．6 12π﹣9
【解析】
过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积.
【详解】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．

本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
15．
【解析】
总事件数为，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；
所以目标事件共20中，所以。
16．1
【解析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.
【详解】
①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有种；
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种；
综上，共有种.
故答案为：1．
本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）平行，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知，，则平面，在利用锥体的体积公式即可．
【详解】
（1）证明：因翻折后、、重合，
∴应是的一条中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵，，
∴面
且，，
，
又，
．
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题．
18．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用平行四边形的方法，证明平面.
（2）通过证明平面，由此证得.
【详解】
（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.
【详解】
（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，
又，得，
所以，即椭圆方程为.
（Ⅱ）证明： 由，得，
由，得，
由韦达定理可得，，
设的中点为，得，即，
，
的中垂线方程为，即，
故得中垂线恒过点.
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出，
【详解】
（1）由题意得，，.
又因为，，所以椭圆的方程为；
（2）由，得.
设、，所以，，
依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以.
即，将其整理为.
因为，所以，.
所以，即.
本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.
21．
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
22．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．
试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．
因为PA＝AB＝，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
由＝，得N，
由＝，得M，
所以，＝(－1，－1，0)．
因为＝0，所以MN⊥AD
(2) 解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．
所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．
设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，
由，得
其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．
因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，
所以cos＝，即＝，解得λ＝，
从而M，N，
所以MN＝＝．
考点：用空间向量法证垂直、求二面角．