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七年级数学上册知识点汇总
1.有理数：
(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；
(2)有理数的分类: ① ②
(3)自然数Û 0和正整数； a＞0 Û a是正数； a＜0 Û a是负数；
a≥0 Û a是正数或0 （ a是非负数）； a≤ 0 Û a是负数或0（a是非正数）.
（4）最大的负整数是-1，最小的正整数是1
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；如1.5的相反数是-1.5，-12的相反数是12，a的相反数是-a,0的相反数还是0；
(2)注意：3.14-p 的相反数是p-3.14；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
(3)相反数的和为0， 即： a+b=0 Û a、b互为相反数.
(4)相反数的商为-1（除0外）. (5）相反数的绝对值相等。
4.绝对值：
(1)正数的绝对值等于它本身，例如：|5|=5， |p-3.14|=p-3.14
0的绝对值是0，
负数的绝对值等于它的相反数；例如： |-5|=5， |3.14-p|=-(3.14-p)
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为： 或 ；
(3) ； ； (4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；
5.有理数比大小：
（1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数；
（3）两个负数，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
6.倒数：
乘积为1的两个数互为倒数；例如：1.2的倒数是5/6，-4/7的倒数是-7/4
注意：0没有倒数； 若ab=1Û a、b互为倒数；
等于本身的数汇总： （1）相反数等于本身的数：0
（2）倒数等于本身的数：1，-1 （3）绝对值等于本身的数：正数和0
（4）平方等于本身的数：0,1 （5）立方等于本身的数：0,1，-1.
7. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；例如：-2-1=-3，（-2-1可理解为+号省略读作-2，-1的和，也可读作-2减1 ）
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
例如：-1+2=1， -2+1=-1, 7-9=-2（7-9读为7与-9的和）
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
8．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；例如4-（-5）=4+5.
10 有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个不为零因数连乘，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。4×（-6）×（-8）×12×（-9）=-4×6×8×12×9
11 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算）
12．有理数除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数；例如:7÷(-4/5)=7×（-5/4）
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非零数都得0。（注意：零不能做除数，）
13．有理数的乘方：
（1）求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方；即an=a.a.....a
（2）乘方中，相同的因数a叫做底数，相同因数的个数n叫做指数，乘方的结果叫做幂；
（3）|a|,a2是非负数，即|a|，a2≥0；若(a-2)2+|b+4|=0 Û a-2=0,b+4=0(即a=2,b=-4)；
（4）正数的任何次幂都是正数；例如:1n =1
（5）负数的奇次幂是负数； 例如:（-1）2n+1=-1 负数的偶次幂是正数；(-1)2n=1
（6）（-3）2 与-32的区别： （-3）2=（-3）×（-3）=9； -32=-3×3.=-9
14．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
15.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位例如：23.4精确到0.1或精确到十分位，5.78×104（5.78万）精确到百位。
16.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到末位数字止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.例如：0.0403有三个有效数字：4,0,3.
17.混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号,先算括号,同一级运算,从左到右进行. 注意：不省过程，不跳步骤。
18.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。
整式的加减
19．单项式：表示数与字母的乘积的式子，单独的一个数或字母也叫单项式。
例如：单项式：3xy, a, -3ab/2, 0, -7, 不是单项式：a/c, (m+n)/2, ab+ac
20．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数；例如：-32xy, a, -3ab/2, pa2b的系数分别是-32，1，-3/2，p
单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 例如：-32xy, a, pa2b的次数分别是2,1,3
21．多项式：几个单项式的和叫多项式.
22．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；例如：-x2y+5xy-2x-1是三次四项式，其中，三次项是-x2y，三次项系数是-1 ，二次项是5xy，二次项系数是5，一次项是-2x， 一次项系数是-2， 常数项是-1
23．单项式与多项式统称整式 .
24．同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
25．合并同类项法则： 系数相加，字母与字母的指数不变.不是同类项不能合并。
26．去（添）括号法则：把括号和括号前面的符号去掉
若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；+（a-b+c）=a-b+c
若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. -（a-b+c）=-a+b-c
27．整式的加减：一找（同类项）：（划线）；二加（系数相加）三合（字母部分不变）
28.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.
经典例题透析
类型一：用字母表示数量关系
　　1．填空题：
　　(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价____________元。
　　(2)温度由5℃上升t℃后是__________℃。
　　(3)每台电脑售价x元，降价10％后每台售价为____________元。
　　(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________。
　　思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。

　举一反三：
　　[变式] 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费______________元。

类型二：整式的概念
　　2．指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。
　　(1)x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)S＝πR2；(5)；(6)

　　总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。
　　举一反三：
　　[变式]把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。
　　x2y， a－b， x＋y2－5， ， －29， 2ax＋9b－5， 600xz， axy， xyz－1， 。
　　分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。
　　答案：单项式有：x2y，－，－29,600xz，axy
　　　　　多项式有：a－b，x＋y2－5,2ax＋9b－5，xyz－1
　　　　　整式有：x2y，a－b，x＋y2－5，－，－29，2ax＋9b－5,600xz，axy，xyz－1。

类型三：同类项
　　3．若与是同类项，那么a,b的值分别是（ ）
　　（A）a=2, b=－1。 　　　　　（B）a=2, b=1。
　　（C）a=－2, b=－1。 　　　　（D）a=－2, b=1。
　　思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。
　　解析：由同类项的定义可得：a－1=－b,且 2a+b=3，
　　　　　解得 a=2, b=－1，
　　　　　故选A。
　　举一反三：
　　[变式]在下面的语句中，正确的有(　　)
　　①－a2b3与a3b2是同类项；　　②x2yz与－zx2y是同类项；　　③－1与是同类项；
　　④字母相同的项是同类项。
　　A、1个　　　　B、2个　　　　C、3个　　　　D、4个
　　解析：①中－a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；②中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与－zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，③正确，根据①可知④不正确。故选B。

类型四：整式的加减
　　4．化简m－n－（m+n）的结果是（ ）
　　（A）0。 　　　　　（B）2m。
　　（C）－2n。　　　　（D）2m－2n。
　　思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
　　解析： 原式=m－n－m－n=－2n，故选（C）。
　　举一反三：
　　[变式] 计算：2xy+3xy=_________。
　　分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。
　　答案：5xy。

　　5．（化简代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代数式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－2xy2)
　　思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。
　　解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy
　　　　　当x＝－，y＝－时，原式＝－5×。
　　总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。
　　举一反三：
　　[变式1] 当x＝0，x＝，x＝-2时，分别求代数式的2x2－x＋1的值。
　　解：当x＝0时，2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；
　　　　当x＝时，2x2－x＋1＝2×；
　　　　当x＝-2时，2x2－x＋1＝2×（-2）2－（-2）＋1＝2×4+2＋1＝11。
　　总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。

　　[变式2] 先化简，再求值。
　　3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)，其中x＝，y＝－1。
　　解： 3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)＝(6x2y－9xy2)－xy2＋3x2y
　　　　　＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。
　　　　　∴当x＝，y＝－1时，原式＝9××(－1)－10××(－1)2＝－。
　　总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y－10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。

　　[变式3] 求下列各式的值。
　　(1)(2x2－x－1)－，其中x＝
　　(2)2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)，其中m＋n＝2，mn＝－3。
　　解析：(1) (2x2－x－1)－
　　　　　　　＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4
　　　　　　　当x＝时，原式＝4×－4＝9－4＝5。
　　　　　(2) 2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)
　　　　　　　＝2mn－6m－6n＋3mn
　　　　　　　＝5mn－6(m＋n)
　　　　　　　当m＋n＝2，mn＝－3时
　　　　　　　原式＝5×(－3)－6×2＝－27。

类型五：整体思想的应用
　　6．已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。
　　思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。
　　解析：由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。
　　总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。
　　举一反三：
　　[变式1] 已知x2＋x－1＝0，求代数式x3＋2x2－7的值。
　　分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。
　　解析：∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，
　　　　　∴x3＋2x2－7＝x(1－x)＋2(1－x)－7＝x－x2＋2－2x－7
　　　　　＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6 =－6。

　　[变式2] 当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2003，则当x＝－1时，代数式px3＋qx＋1的值为( )
　　A、－2001　　　　B、－2002　　　　C、－2003　　　　D、2001
　　分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。
　　解析：当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做一个整体，由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002，于是－p－q＝－(p＋q)＝－2002，所以原式＝－2002＋1＝－2001。故选A。

　　[变式3] 已知A＝3x3－2x＋1，B＝3x2－2x＋1，C＝2x2＋1，则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是( )
　　A、A＋B＋2C　　　　B、A＋B－2C　　　　C、A－B－2C　　　　D、A－B＋2C
　　分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：A－B－2C＝3x3－2x＋1－(3x2－2x＋1)－2(2x2＋1)＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。故选C。
　　答案：C

　　[变式4] 化简求值。
　　(1)3(a＋b－c)＋8(a－b－c)－7(a＋b－c)－4(a－b－c)，其中b＝2
　　(2)已知a－b＝2，求2(a－b)－a＋b＋9的值。
　　分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a＋b－c，a－b－c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视a－b为一个“整体”。
　　解析：(1)原式＝3(a＋b－c)－7(a＋b－c)＋8(a－b－c)－4(a－b－c)
　　　　　　　　 ＝－4(a＋b－c)＋4(a－b－c)
　　　　　　　　 ＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。
　　　　　　 因为b＝2，所以原式＝－8×2＝－16。
　　　　　(2)原式＝2(a－b)－(a－b)＋9
　　　　　　 　　＝(a－b)＋9
　　　　　　 因为a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。

类型六：综合应用
　　7．已知多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值与x无关，试求5a2－2(a2－3a＋4)的值。
　　思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.
　　解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。
　　　　　因为原式的值与x无关，故3a－9＝0，所以a＝3。
　　　　　又因为5a2－2(a2－3a＋4)＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8，
　　　　　所以当a＝3时，原式＝3×32＋6×3－8＝37。
　　总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。
　　举一反三：
　　[变式1]当a(x≠0)为何值时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等为4。
　　解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。
　　　　　因为(3a－9)x2＋4＝4，所以(3a－9)x2＝0。又因为x≠0，故有3a－9＝0。即a＝3，
　　　　　所以当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等于4。

　　[变式2]当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值为多少？
　　解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7
　　　　　＝(3a－9)x2＋4，当a＝3时，原式＝(3×3－9)x2＋4＝4。

　　8．已知关于x的多项式(a－1)x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三项式，则a＝____，b＝____。
　　分析：由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4。
　　答案：1，－4
　　举一反三：
　　[变式]若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m，n的值
　　答案：m=5，n=-1

一元一次方程
29．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
30．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式如：若a=b，则a±c=b±c
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
如：若a=b，则am=bm 或a/m=b/m (m≠0)
31．方程：含未知数的等式，叫方程.
32．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意“方程的解就能代入”
33．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
34．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
35．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
36．一元一次方程解法的一般步骤：
（1）化简方程---分子分母同乘以10或100....分数基本性质
（2）去 分母--—等式两边同乘（不漏乘）最简公分母
（3）去 括号----注意符号变化与不变的两种情况。
（4）移 项----移动的项要变号（留下靠前）
（5）合并同类项----合并后符号
（6）系数化为1-----除最前面的数
37．列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
38．列方程解应用题的常用公式：
（1）数字问题：表示一个三位数，则有
（2）行程问题： 距离=速度·时间 ；
（3）工程问题： 工作量=工效·工时 ；
工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量
（4）顺水逆水问题：
顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程
（5）商品利润问题： 售价=定价× ， ；
利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润
（6）配套问题：
（7）分配问题：
39.列方程解应用题解题步骤：
①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，
②设出未知数（注意单位），
③根据相等关系列出方程，
④解这个方程，
⑤检验并写出答案（包括单位名称）.
⑵一些固定模型中的等量关系：
40.思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.
⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.
⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.
⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.
典型例题
例1. 已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m= .
解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3
所以m=4或m=3
警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）.
例2. 已知是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.
解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解
∴将x=－2代入方程，
得 a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0
化简，得 4a+4a－6+5=0
∴ a=
点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了.
例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）.
解：去括号，得 2x+2－12x+9=9－9x，
移项，得 2+9－9=12x－2x－9x.
合并同类项，得 2=x，即x=2.
点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式.
例4. 解方程 .
解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得
同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得
方程两边乘以4，再移项合并同类项，得
方程两边乘以2，再移项合并同类项，得x=3.
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程.
解析：方程可以化为
整理，得
去括号移项合并同类项，得 －7x=11，所以x=.
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以2，第二个分数分子分母都乘以5，第三个分数分子分母都乘以10.
例6. 解方程
解析：原方程可化为
方程即为
所以有
再来解之，就能很快得到答案： x=3.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便.
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是（ ）
住院医疗费（元）
报销率（%）
不超过500的部分
0
超过500～1000的部分
60
超过1000～3000的部分
80
……
…
 A. 2600元 B. 2200元 C. 2575元 D. 2525元
解析：设此人的实际医疗费为x元，根据题意列方程，得
500×0+500×60%+（x－500－500） ×80%=1260.
解之，得x=2200，即此人的实际医疗费是2200元. 故选B.
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的. 因为500×60%＜1260＜2000×80%，所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算.
例8. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某户居民今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为__________立方米.
解析：由于1×7＜17，所以该户居民今年5月的用水量超标.
设这户居民5月的用水量为x立方米，可得方程：7×1+2（x－7）=17，
解得x=12.
所以，这户居民5月的用水量为12立方米.
例9. 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：
⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
⑵这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
⑶通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
解析：⑴设这个球队胜了x场，则平了（8－1－x）场，根据题意，得
3x+（8－1－x）=17. 解得x=5.
所以，前8场比赛中，这个球队共胜了5场.
⑵打满14场比赛最高能得17+（14－8）×3=35分.
⑶由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可.
∴胜不少于4场，一定能达到预期目标. 而胜了3场，平3场，正好达到预期目标. 所以在以后的比赛中，这个球队至少要胜3场.
例10. 国家为了鼓励青少年成才，特别是贫困家庭的孩子能上得起大学，设置了教育储蓄，其优惠在于，目前暂不征收利息税. 为了准备小雷5年后上大学的学费6000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，小雷和他父母讨论了以下两种方案：
⑴先存一个2年期，2年后将本息和再转存一个3年期；
⑵直接存入一个5年期.
你认为以上两种方案，哪种开始存入的本金较少?
[教育储蓄（整存整取）年利率一年：2. 25%；二年：2. 27%；三年：3. 24%；五年：3. 60%. ]
解析：了解储蓄的有关知识，掌握利息的计算方法，是解决这类问题的关键，对于此题，我们可以设小雷父母开始存入x元. 然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少.
⑴2年后，本息和为x（1+2. 70%×2）=1. 054x；
再存3年后，本息和要达到6000元，则1. 054x（1+3. 24%×3）=6000.
解得 x≈5188.
⑵按第二种方案，可得方程 x（1+3. 60%×5）=6000.
解得 x≈5085.
所以，按他们讨论的第二种方案，开始存入的本金比较少.
例11. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多4，求这种药品包装盒的体积.

分析：从展开图上的数据可以看出，展开图中两高与两宽和为14cm，所以一个宽与一个高的和为7cm，如果设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（7－x）cm，因为长比宽多4cm，所以长为（x+4）cm，根据展开图可知一个长与两个高的和为13cm，由此可列出方程.
解：设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（7－x）cm，长为（x+4）cm.
根据题意，得（x+4）+2（7－x）=13，
解得 x=5，所以7－x=2，x+4=9.
故长为9cm，宽为5cm，高为2cm.
所以这种药品包装盒的体积为：9×5×2=90（cm3）.
例12. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率.
解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得
（1＋x）（1－5%）=1＋14% 解得x=20%
答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.
点评：本题是一道增长率的应用题. 本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用，也就是本月的石油进口量乘以本月的价格. 设出未知数，分别表示出每一个数量，列出方程进行求解. 列方程解应用题的关键是找对等量关系，然用代数式表示出其中的量，列方程解答.
例13. 某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为78分，其中参赛的男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手的平均分数高10%，那么女选手的平均分数为____________.
解析：总平均分数和参赛选手的人数及其得分有关. 因此，必须增设男选手或女选手的人数为辅助未知数. 不妨设男选手的平均分数为x分，女选手的人数为a 人，那么女选手的平均分数为1. 1x分，男选手的人数为1. 5a人，从而可列出方程，解得x=75，所以1. 1x=82. 5. 即女选手的平均分数为82. 5分.
四、数学思想方法的学习
1. 解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题.
2. 寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等. 3. 列方程解应用题的检验包括两个方面：⑴检验求得的结果是不是方程的解；⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.
一元一次方程应用题分类讲评

事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
  1.行程问题
 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。
 可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。
 航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
 例１．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？
 讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。
 在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：
                    3x－1.5x=450    ∴x=300     
 在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：    3y+1.5y=450    ∴y=100
 故往返共需的时间为  x+y=300+100=400（秒）
 例2 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B 两地的距离。
 讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。本题中，设A、B两地的路程为x km，速度为40 km/小时，则时间为小时；速度为45 km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有
            － = 1           ∴　x = 360

　　例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。
 讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km，则顺流速度为km/小时，逆流速度为km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：
 －２=  +2                ∴ x = 96
　　2.工程问题
 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：①工作量=工作效率×工作时间。②工作时间=，③工作效率=。
 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

例4． 加工某种工件，甲单独作要2