量子力学-第04章-1.3.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 力学量用算符表示与表象变换,第一部分 量子力学中的力学量,-,算符,第二部分 表象变换和矩阵表示,1,第四章 第一部分,量子力学中的力学量,-,算符,1,算符的概述,2,力学量算符的概述,3,力学量算符对易的物理含义,4,力学量算符不对易的物理含义,2,经典力学和量子力学中,力学量,的不同,经典力学,态和力学量不分开；,态直接由力学量的数值表示；,力学量有确定值。,量子力学,态和力学量是分开描述的；,态由波函数描述，满足,S,方程；,力学量则由它相应的,算符,表示。,3,4,一、算符的定义,二、算符的运算法则,三、算符的本征方程,四、线性算符和厄米算符,1,算符的概述,5,代表某种运算或变换的符号，作用在任意函数上得到另一函数,1,）,d,/,dx,=,，,d/,dx,就是算符，其作用,是对函数,u,微商，,故称为微商算符。,2,）,x,=,，,x,也是算符。,它对,作用,是使,变成,。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,（一）算符的定义,表示 把函数,变成,，,就是这种变,换的算符。,6,（二）,算符的运算法则,1.,算符相等：,对任意函数,，若,成立，则,2.,算符和与差：,7,3.,算符乘积：,一般讲，,，例如，,泊松括号,算符对易,算符的对易子,讨论两个算符是否对易，一般是将它们作,用在,任意波函数,上，看它们是否相等。,8,而,因为对任意波函数,：,那么,9,4.,算符的幂,10,11,显然,得证,#,（课下证）,12,由于,又由于,所以,上述算符方程两边同左乘以,所以,13,6.,算符的函数,类似地，可,定义,算符的函数,14,例：,不难看出，利用泰劳展开，有,先对算符求,n,次导数,再令算符为,0,求值,15,两个或多个算符的函数可类似地定义,类似于多元函数,16,算符,的复共轭算符,将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。,例 动量算符的复共轭算符,(2),算符的转置,17,利用内积的定义，有,则转置算符的表达式也可以写为,一维粒子,三维粒子,其中对体积元：,18,对任意满足,标准条件,的波函数,、,？,19,显然在坐标表象中,同样可以证明,作业：,1.P87,练习,1,20,按照转置算符,A,的定义，有,则有,即,故对任意态,和,，有,但是,21,（,3,）算符的厄米共轭,22,利用转置的性质，可以证明：,提示：可以首先证两个算符的关系,例如：,23,（三）算符的本征方程,算符作用于一个函数,，其结果等于这个函数乘以一个常数,，即,为 本征值,为对应,的本征函数,。,算符全部本征值的集合，称为,本征谱,24,（四）线性算符和厄米算符,1,、线性算符,如果算符,满足下列条件,则算符,是线性算符,刻画可观测物理量的算符都是线性算符。,25,（通常）,26,2,、厄米算符,（,1,）定义：,满足下列关系的算符是厄米算符,积分形式：,内积形式：,27,例如：,为什么？,28,（,2,）性质,若,+,=,+,=,则,(+),+,=,+,+,+,=(+),29,（已经知道 ）,30,I.,厄米算符的本征值是实数,（,3,）特点,证明：,31,证明：,II.,厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。,设本征值,1,，,2,，,，,n,，,对应的本征函数为,1,，,2,，,，,n,，,本征函数的正交性,本征函数的归一化要求,正交归一式,32,1.,分立谱正,交归一条,件分别为：,2.,连续谱正,交归一条,件表示为：,3.,正交归一系,满足上式的函数系,n,或,称为正交归一（函数）系,以后我们讲到厄米算符的本征函数都是经过处理后的正交归一本征函数,33,III.,在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。,证明：,逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。,在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？,34,因此相应的算符对应于厄米算符,物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数,即,物理可观测量用厄米算符表示,。,而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符,必为厄米算符。,即 厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。,35,前面我们介绍了几个算符的变换：,算符的复共轭,算符的厄米共轭,算符的逆,算符的转置,厄米算符,几种重要的算符：,单位算符,逆算符,厄米算符,36,4.2,力学量算符的概述,一、力学量算符,二、力学量算符的性质,三、力学量算符本征函数的正交完备性,四、力学量算符的本征值和力学量的平均值,37,4.2,力学量算符的概述,1.,力学量算符的引入,一、力学量算符,力学量：,量子力学中的,可观测量,。如能量、角动量等都是可测量或可观测的。,38,2.,力学量与力学量算符的对应,39,量子化法则：,就到得此力学量的算符。,即其他算符的,构成规则为：,然后将其中的,P,换为算符,先写出某一力学量的经典表示式,40,对应于系统的的总能量,41,角动量算符,1,、角动量算符的形式,直角坐标系,经典力学中，若动量为,p,，,相对点,O,的 位置矢量为,r,的粒子绕,O,点的角动量是：,42,分量形式,43,由于角动量和角动量平方算符中含有关于,x,，,y,，,z,偏导数的,交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程,不能分离变量,难于求解,为此我们采用,球坐标,较为方便,角动量平方算符,44,直角坐标与球坐标之间的变换关系,x,z,球 坐 标,r,y,这表明：,r=r(x,y,z),x=x(r,),球坐标,将（,1,）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,将（,2,）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,对于任意函数,f(r,),（,其中，,r,都是,x,y,z,的函数）则有：,将（,3,）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,45,将上面结果,代回原式得：,则角动量算符,在球坐标中的,表达式为：,46,3.,力学量算符的本征方程,量子力学的一个基本原理：,47,本征值方程,加上相应的,数学和物理要求,（边界,条件），构成了量子力学的本征值问题，解此,问题可得力学量的本征值和本征函数。,力学量算符,的本征值,力学量,A,测量的可能值,4.,力学量与力学量算符对应的含义,48,坐标算符,坐标分量,x,的本征方程：,坐标与坐标算符的对应含义：,49,动量算符,动量分量,p,x,的本征方程,动量算符的本征值,上式改写为,其解为,50,若粒子位置不受限制，则,可以取一切实数值。,归一化的平面波,，,与连续的本征值,相应的波函数所表示的是不能,习惯上取,则有,平面波的“归一化”就用,函数的形式表示,了出来。,51,在三维情况下，动量算符的本征值方程是,动量算符的本征值,在直角坐标系中的三个分量,p,x,p,y,和,p,z,均为实数。动量本征值方程的解是,为,的单色平面波。,52,说明：在量子力学中，平面波代表粒子处在动量,一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，,这是一种理想化的模型。它不能用通常的办,法归一化，而是采用,函数的形式,“,归一化,”,。,动量与动量算符的对应含义：,53,一维自由粒子的,Hamiltonian,为,或简写为,54,相应的能量本征值为,问题：,为啥具有相同的本征态？,一维粒子动量与能量算符具有相同的,本征态,发现：,55,举例,解：这是个定轴转动问题，,z,为转轴，变量为,本征值方程为,56,解之得,利用周期性边界条件,57,所以，相应的本征函数为,58,解：,与以上问题的区别,这里求,的是能量的本征值和本征态,考虑绕,z,轴转动的平面转子,(,如右图,),。,式中,I,为转动惯量。,其,Hamiltonian,为,59,其正交归一化的解可取为,L,z,的本征态,相应的本征能量为,简化为,60,能量是二度简并的。,思考：,平面转子的角动量,z,分量本征态和能量本,征态可具有相同的函数形式。,为什么？,61,二、力学量算符的性质,1.,力学量算符为厄米算符,因此力学量算符对应于厄米算符,物理中的力学量是可观测量，因此要求在任何实,际状态下的值应为实数,即,力学量用厄米算符表示,。,在体系的任何状态下，本征值和平均值均为实数,的算符必为厄米算符。,62,2.,力学量算符为线性算符,这是态叠加原理的要求和反映。,量子力学中刻画可观测量的算符都是线性算符,63,力学量对应于线性、厄米算符,力学量算符都是线性厄米算符,结论：,64,三、力学量算符本征函数的正交完备性,1.,正交归一性,1.,分立谱正,交归一条,件分别为：,2.,连续谱正,交归一条,件表示为：,3.,正交归一系,满足上式的函数系,n,或,称为正交归一（函数）系,以后我们讲到厄米算符的本征函数都是经过处理后的正交归一本征函数,定理：力学量算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。,65,（,1,）函数的完备性,有一组函数,n,(x)(n=1,2,.),如果任意函数,(x,),可以按这组函数展开,:,则称这组函数,n,(x),是完备的,2.,力学量算符本征函数的完备性,(2).,力学量算符的本征函数组成完备系,(a),数学中已经证明某些,满足一定条件的厄密算符,其本征函数组成完备系,（参看：梁昆淼，,数学物理方法,P324,；王竹溪、郭敦仁，,特殊函数概论,1.10,用正交函数组展开,P41,）,66,即若：,则,任意函数,(x,),可按,n,(x,),展开：,67,例如：,动量本征函数组成完备系,68,(c),已经证明其他一些力学量算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：,(d),量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都,组成完备系,(b),动量本征函数,构成完备系，任意波函数用动量本征函数展开即为,傅立叶展开,。,69,四、力学量算符的本征值和力学量的平均值,力学量算符的本征值,力学量的平均值,当体系处于任意的,态,时,，测量力学量,A,，可得,到各种不同值，这些值会有一定的几率分布。,平均值,：,就是指多次测量的平均结果，也称,期望值,expectation value,70,该取哪个值？平均值？,71,72,在任一态,(x),中测量某力,学量,A,的平均值可写为：,平均值另一公式：,两种法均要求波函数是已归一化的,！,73,归一化,74,