第3章——平面问题的直角坐标解答.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面问题的直角坐标解答,3-4,简支梁受均布载荷,设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图,3-5,所示。取,单位宽度的梁,来考虑，可视为平面应力问题。,图,3-5,解,:,用半逆解法。,由于 将由,q,引起,而,q,又随,x,不变化,因此可假设 只是,y,的函数：,则：,对 积分，得：,再积分，得：,其中，、是,y,的任意函数，即待定函数。,（a）,（b）,图,3-5,现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：,将以上结果代入相容方程：,相容条件要求此二次方程有无数的根,(,全梁内的,x,值都应该满足它,),所以它的系数和自由项都必须等于零。即：,前面两个方程要求：,（c）,第三个方程可得：,（d）,将式（,c,）,和（,d,）,代入式（,b,），,得应力函数：,（e）,（b）,相应的应力分量为：,（f）,（g）,（h）,（e）,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数,A,、,B,、,C,等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。,因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于,yz,面。,这样，和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数,。于是由式（,f,）,和（,h,）,可见：,图,3-5,代入上式应力分量表达式，三个应力分量变为：,（i）,整理得,：,（,一）考察上下两边的边界条件,图,3-5,由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：,将上面所得常数代入应力分量表达式（,i,），,得：,（k）,（l）,（j）,图,3-5,（,二）考察左右两边的边界条件,由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑,右边界,：,（m）,（n）,将式（,j,）,代入式（,m,），,得：,图,3-5,积分，得：,将式（,j,）,代入式（,n,），,得：,积分，得：,图,3-5,将式（,l,）,代入，上式自然满足：,另一方面，在梁的右边剪应力应满足：,将,H,和,K,代入式（,j,），,得：,（p）,图,3-5,将式（,p,）、（,k,）、（,l,）,整理，得应力分量：,（q）,图,3-5,将材料力学中的相关值求出后,上式（,q,）,可以改写为：,在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。,对于较深的梁，则需注意修正项,。,的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。,和材料力学里完全一样,。,各应力分量沿铅直方向的变化大致如图,3-6,所示。,图,3-6,O,y,l,x,例题,1,如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。,1,h,O,y,l,x,1,h,解,：,1,、由满足相容方程确定系数,A,与,B,的关系：,2,、含待定系数的应力分量为,O,y,l,x,3,、由边界条件确定待定系数：,O,y,l,x,(3),由,以上式子可求得：,O,y,l,x,O,y,l,x,再考虑左边界,:,由此可解得：,4,、应力分量为,例题,2,设有矩形截面的竖柱，其密度为,，在一边侧面上受均布剪力,q,，如图,1,，试求应力分量。,解,：,1.,采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程：,图1,图1,y,取任意值时，上式都应成立，因而有：,式中，中略去了常数项，中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。,2.,含待定常数的应力分量为：,（,2,）,（,1,）,3.,利用边界条件确定常数，并求出应力解答：,能自然满足：,能自然满足：,（,3,）,图1,不能精确满足，只能近似满足：,由式（,3,）、（,4,）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：,（,4,）,图1,可得应力分量：,