无穷积分收敛的判别方法(北工大).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 无穷积分收敛的,判别方法,定理,1,（柯西收敛准则）,与,有,一、无穷积分的性质,推论,1,若无穷积分,收敛，则,无穷积分 收敛,无穷积分,也收敛。,推论,2,若无穷积分,收敛，,则无穷积分 也收敛。,推论,3,无穷积分,收敛，,定理,2,若无穷积分 收敛,则无穷,积分 也收敛,其中 是常数,定理,3,若无穷积分,与,都,收敛，则无穷积分,且,无穷积分的分步积分与换元积分,定理,4,设,有,c,是正常数。,收敛，则无穷积分,若无穷积分,二、无穷积分的敛散性判别法,发散，则无穷积分,2.,若无穷积分,也发散,.,也收敛,.,证明,1,）根据定理,1,，,有,由不等式,有,无穷积分 收敛,.,2,）用反证法，根据,1,）可以得到矛盾。,则无穷积分,也收敛,.,推论,4,函数,且,极限,1.,若,则无穷积分,收敛；,则无穷积分,发散。,2.,若,（,1,）,证明,1),由,(1),式，,有,则,当 时，无穷积分 收敛。,则无穷积分 收敛。,2,）当 时，由,(1),式，,有,或,已知,无穷积分 发散，则,发散。,当,由,(1),式，,有,或,已知,无穷积分 发散，则,发散。,例,1,判别无穷积分 的敛散性,.,例,2,判别无穷积分 的敛散性,.,例,3,判别无穷积分 的敛散性,.,例,4,判别无穷积分,(,是参数,),的敛散性,.,三,.,绝对收敛,条件收敛的定义,定义,1,若无穷积分,收敛，则,称无穷积分,绝对收敛,。,定义,2,若无穷积分,收敛，而,发散，则称无穷积分,条件收敛。,定理,5,（狄利克雷判别法）,设函数 与 在区间 有定义，,在任何有穷区间都可积，若,),积分 为 的有界,函数，,即有,）函数 是单调的，且,则无穷积分 收敛,证明,由柯西收敛准则和积分第二中值定理,由条件,2),有,与,存在 有,又因为 有界,有,则,即无穷积分 收敛,.,定理,6,（阿贝尔判别法）,设函数 与 在区间有定义，,在任何闭子区间都可积，若,）函数 在 单调并且有界,）无穷积分收敛,则无穷积分 收敛,证明,因为函数 在 单调且,有界,所以它存在有穷极限,设,则,即函数 单调减少地趋于零,.,无穷积分,也收敛,.,已知 收敛,即证,.,例,5,证明：无穷积分 条件收敛,例,6,讨论无穷积分 与,的敛散性,注,:,1.,对于级数 收敛,对于无穷积分 收敛,2.,对于定积分,若 在,a,b,可积,在,a,b,也可积,反之不成立,加上什么条件可以推出此结论,?,对于无穷积分,若 在 收敛,在 也收敛,.,反之不成立,.,总结,:,判断无穷积分收敛的方法,1.,利用定积分的计算方法,求出积分,.,2.,用柯西收敛准则,.,3.,用比较法,.,4.,用狄利克雷和阿贝尔判别法,.,练习,1.,讨论无穷积分的收敛性,.,