本科经济计量学第2章(自学)(第3版).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章,*,第一部分概率论与统计学基础第,2,章概率与概率分布,2.1,一些符号,2.2,试验 样本空间 样本点和事件,2.3,随机变量,2.4,概率,2.5,随机变量及,其概率分布,2.6,多元 随机变量的概率密度函数,2.7,总结,2.1,一些符号,或,求和符号：,求和符号的性质：,1.,若,k,为常数，则有：,2.,若,k,为常数，则有：,3.,4.,若,a,b,为常数，则有：,2.2,试验 样本空间 样本点 事件,1.,随机试验,（,random experiment,）,是指至少有两个可能结果，但不确定哪一个结果会出现的过程。,例,2.1,：,抛一枚硬币,掷一颗骰子,从一副纸牌中抽取一张牌,？你还有其它的例子吗？,？抛币,100,次，正面朝上,70,次，你会认为该币均匀吗？,2.,样本空间或总体,（,population or sample space,）：,随机试验所有可能结果的集合。,例,2.2,：,抛两枚同样的均匀硬币。,H,代表正面朝上，,T,代表正面朝下。则有四种结果：,HH,，,HT,，,TH,，,TT,。,样本空间,（,HH,，,HT,，,TH,，,TT,）,例,2.3,：,在一种双回合游戏中,O,1,表示两个回合全部获胜,;O,2,表示第一回合获胜，第二回合失败；,O,3,表示第一回合失败，但第二回合获胜；,O,4,表示两个回合全部失败。,样本空间（,O,1,，,O,2,，,O,3,，,O,4,）,3.,样本点,（,sample point,）,样本空间的每一元素，即每一种结果。,4.,事件（,events,）：,随机试验的可能结果组成的集合。它是样本空间的一个子集。,例,2.4,：,在例,2.2,中，若事件,A,表示一枚硬币正面朝上，一枚硬币正面朝下。则事件,A,由,2,个样本点构成：,HT,、,TH,。即,A=(HT,TH,),。,若考察事件,B,：两枚硬币中至少有一枚正面朝上，则,B,事件由,3,个样本点构成，即,B=(,HH,，,HT,，,TH,),。,！,如果两个事件不能同时发生，则两个事件称为,互斥的（,mutually exclusive,）。,！,如果一个事件的发生与另一个事件发生的可能性相同，则两个事件称为,等可能性的（,equally likely,）。,！,如果可以穷举试验的所有可能结果，事件称为,可能性的穷举事件（,collectively exhaustive,）。,2.3,随机变量,例,2.5,：,再来看例,2.2,，若变量,X,表示抛两枚硬币正面朝上的个数。有如下情况：,第一枚硬币 第二枚硬币 正面朝上的次数,T T 0,T H 1,H T 1,H H 2,随机变量（,stochastic or random variable,）：,取值由随机试验的结果所决定的变量称为随机变量。,X,的取值可能是,0,，也可能是,1,或,2,。其取值与随机试验的结果有关，,X,是一个随机变量,(R.V,或,r.v),。,返回,随机变量可分为：,离散型（,discrete,）随机变量,（随机变量的取值是离散的，只能取有限多个或可列多个）；,连续型（,continuous,）随机变量,（随机变量的取值是在连续区间内，可以取在某一区间的任一值），如某年龄的人的身高、体重等随机变量。,2.4,概率,此定义有两个特征：,*试验的结果有限，且必须互斥,*试验的每一个结果等可能发生,1.,事件概率的古典定义：,如果一个随机试验的,n,种,可能结果是,互斥,的，且每个结果,等可能,发生，事件,A,含有,m,个基本结果，则事件,A,发生的概率,(probability),，即,P(A),就是：,例,2.6,掷一颗均匀骰子，有,6,种可能结果：,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,。这些结果互斥并且等可能发生（为什么）？因而，根据古典概率定义，任何一个数字朝上的概率为,1/6,。这里，,m=1,n=6,？,在一副有,52,张的扑克中，抽一张为,K,的概率为多少,?,返回,？,在此定义中要求试验的结果互斥且等可能发生吗？,2.,概率的频率定义（经验定义）：,如果在,n,次试验（或,n,个观察值）中，,m,次有利于事件,A,，假定试验的次数,n,足够多，那么，事件,A,发生的频率就很好地测度了事件,A,发生的概率,P(A),。即：,例,2.7,下表给出,200,个学生微观经济学的考试成绩分布,(,频率分布,),200,个学生微观经济学的考试成绩分布,分数 区间均值点 频数 频率,0-9 5 0 0,10-19 15 0 0,20-29 2 0 0,30-39 35 10 0.050,40-49 45 20 0.100,50-59 5 35 0.175,60-69 65 50 0.250,70-79 7 45 0.225,80-89 85 30 0.150,90-99 95 10 0.050,总计,200 1,重要性质,1.,事件,A,的概率满足：,0P,（,A,）,12.,若事件,A,，,B,，,C,，,为互斥事件，则,P,（,A+B+C+,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,+P,（,C,）,+,3.,若事件,A,，,B,，,C,，,为互斥事件，且为一完备事件组，则,P,（,A+B+C+,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,+P,（,C,）,+,=1,例,2.8,在,例,2.6,中，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,组成一个完备事件组，则,P(1+2+3+4+5+6),=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6),=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 =1,3.,概率的性质,常用性质,1.,事件,A,，,B,称为相互独立事件，若,P,（,AB,）,=P,（,A,）,P,（,B,）,2.,若事件,A,，,B,不是互斥事件，则有,P,（,A+B,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,-P,（,AB,）,3.,对应任一事件,A,，都有互补事件,A,，并且，,例,2.9,：,在例,2.5,中，两枚正面都朝上的概率是多少？令,A,表示第一枚正面朝上，,B,表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率,P,（,AB,）,P,（,AB,）,=P,（,A,）,P,（,B,）,=1/21/2=1/4,？若事件,A,和,B,互斥，,P,（,AB,）,=0,？,例,2.10,从一副扑克中抽取一张，是红心或是皇后的概率是多少？显然，抽红心和抽皇后不是互斥事件,(Why,？,).,因而有,：,P,(,红心或是皇后,)=P(,红心,)+P(,皇后,)-P(,既是红心又是皇后,),=13/52+4/52-1/52,=4/13,4.,事件,A,的条件概率：,在事件,B,发生的条件下事件,A,发生的概率。用符号,P(,A|B,),表示。有下列公式：,例,2.11,会计入门班有,500,个学生，其中男生,300,人，女生,200,人。在这些学生中，,100,个男生和,60,个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现该学生计划主修会计学。那么，该学生是男生的概率是多少？,令,A,表示学生是男生，,B,表示学生主修会计学，则要求的概率为：,P(A|B),。,可知：,P(AB)=100/500,，,P(B)=160/500,则：,P(A|B)=P(AB)/P(B)=5/8,？,一般地，,P,（,A|B,）是否等于,P,（,A,）？何时相等？,2.5,随机变量及其概率分布,2.5.1,离散型随机变量的概率分布,令随机变量,X,取离散值,函数,f,定义为,称为概率质量函数（,probability mass function,PMF,）或简称为概率函数（,probability function,PF,）。,PMF,有如下性质：,例,2.13,随机变量,X,表示抛两次硬币正面朝上的次数。,X,取,3,个不同的值,：,0,，,1,，,2,X,0 1 2,PF,1,1/2,1/4,概 率 密 度,X,图,2-2“,抛两枚硬币正面朝上”的,PMF,0 1 2,度量连续型随机变量概率分布的函数是概率密度函数。,概率密度函数（,probabiltity,density function,PDF,）度量的是连续随机变量在某一特定范围或区间内的概率。,如,X,代表一连续随机变量,:,身高，我们欲求,“,人的身高,”,在某一区间内,(,如,60,68,英寸,),的概率，图,2-3,中的阴影部分即为该区间的概率。,0 60 68,身高,图,2-3,连续型随机变量的,PDF,概 率 密 度,2.5.2,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的,PDF,也记为,f,(x),，有：,PDF,具有如下一些性质：,连续随机变量取单点值的概率为,0,。,2.5.3,累积分布函数,(cumulative distribution function,CDF),F(x),定义如下：,F(x)=P(Xx),其中，,P(Xx),表示随机变量,X,取小于或等于,x,的概率。,具有如下性质：,例,2.15,抛一均匀硬币,4,次，求随机变量,X,(,正面朝上的次数,),的,PMF,和,CDF,。,PMF CDF,X X,值,f(),X,值,F(),0 0 1/16,0 x,1 1/16,1 1 4/16 1x,2 5/16,2 2 6/16 2x,3 11/16,3 3 4/16 3x,4 15/16,4 4 1/16 4x,1,右图为例,2.15,中随机变量,X,的累积分布函数,P,0 ,1 CDF,图,2-5,连续,R.V,的累积分布函数,F(x,）,1,15/16,11/16,5/16,1/16,0 1 2 3 4 x,图,2-4,离散,R.V,的累积分布函数,X,值,F(),0 x,1 1/16,1x,2 5/16,2x,3 11/16,3x,4 15/16,4x 1,2.6,多元概率密度函数,用,多个随机变量,来描述一个试验的结果，求得的概率密度称为,多元概率密度。,若,X,1,X,2,X,3,X,n,都是随机变量，则,(X,1,X,2,X,3,X,n,),构成一个,n,维的随机向量，也称,n,元随机变量。,常见的是二维随机向量。,例,2.17,一个计算机零售店出售个人电脑和打印机。每天售出的电脑和打印机数量不同，店主记录了过去,200,天每天的销售状况，见表,2-2,。,6 6 4 4 2,4 10 12 4 2,2 4 20 10 10,2 2 10 20 20,2 2 2 10 30,16 24 48 48 64,0,1,2,3,4,总计,出售个人电脑的数量（,X,）,0 1 2 3 4,表,2-2,二元,频数,分布：售出的个人电脑数量,X,和打印机数量,Y,总计,22,32,46,54,46,200,出售打印机的数量,(Y),表,2-3,提供了一个双变量（或联合）概率密度函数，通常用,f,（,X,Y,）表示。表中每值均为联合概率。,一般地，令,X,、,Y,是两个离散型随机变量，那么函数：,f(X,Y)=P(X=x,Y=y),独立性,0.03 0.03 0.02 0.02 0.01,0.02 0.05 0.06 0.02 0.01,0.01 0.02 0.10 0.05 0.05,0.01 0.01 0.05 0.10 0.10,0.01 0.01 0.01 0.05 0.15,0.08 0.12 0.24 0.24 0.32,0,1,2,3,4,总计,f(x),出售个人电脑的数量（,X,）,0 1 2 3 4,表,2-3,个人电脑售出数量,X,和打印机售出数量,Y,的二元概率分布,总计,f(y),0.11,0.16,0.23,0.27,0.27,1.00,出售打印机的数量,(Y),2.6.1,边缘概率密度函数,边缘概率密度函数：,当,X,取一给定值，而无论,Y,取值如何时的概率称为,X,的边缘概率，其概率密度称为,X,的边缘概率密度函数。下表是例,2.14,中随机变量,X,，,Y,的边缘分布。,0 0.08 0 0.11,1 0.12 1 0.16,2 0.24 2 0.23,3 0.24 3 0.27,4 0.32 4 0.23,总计,1.00,总计,1.00,X f(X)Y f(Y),表,2-4,个人电脑售出数量,X,和打印机售出数量,Y,的,边缘分布,2.6.2,条件概率函数,（离散型）,在给定 条件下,Y,取值的概率称为,Y,的条件概率密度函数,计算条件概率密度的方法,？在例,2.17,中，求,P(Y=4|X=4)=,？,类似地，给出,X,的条件概率密度函数：,2.6.3,统计独立性,统计独立性：,两个变量,X,和,Y,称为统计独立的，当且仅当它们的联合分布密度函数可以表示成其边缘密度函数之积。即,例,2.18,一个袋子里放着分别写有,1,，,2,，,3,的小球。现从袋中有放回地随机抽取两球。,X,表示第一次抽取球的数字，,Y,表示第二次抽取球的数字。表,2-5,给出,X,和,Y,的联合概率密度和边缘概率密度。,表,2-5,两随机变量的统计独立性,？例,2.17,中个人电脑和打印机的售出数量是独立随机变量吗？,1 1/9 1/9 1/9 3/9,2 1/9 1/9 1/9 3/9,3 1/9 1/9 1/9 3/9,3/9 3/9 3/9 1,Y,1 2 3,X,2.7,总结,1.,样本空间、样本点、事件,2.,事件的概率,3.,随机变量,4.,随机变量的概率分布,5.,多元概率分布、联合概率分布、边缘概率分布,6.,条件概率分布、独立性,作业：,第,2,章书后习题：,2.9,、,2.12,、,2.13,、,2.14,、,2.17,