第2章 测量误差和测量结果处理.ppt

,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 测量误差和测量结果处理,2.1,测量误差的基本概念,一、误差,1,真值,A,0,一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或测量仪器进行无误差的测量。由此可推断，物理量的真值实际上是无法测得的。这首先因为，“理想”量具或测量仪器即测量过程的参考比较标准,(,或叫计量标准,),只是一个纯理论值，,例如电流的计量标准安培，按国际计量委员会和第九届国际计量大会的决议，,定义,为“安培是一恒定电流，若保持在处于真空中相距,l,米的两根无限长而圆截面可忽略的平行直导线内，则此两导线之间产生的力为每米长度上等于,2l0,-7,牛顿”，显然这样的电流计量标准是一个理想的而实际上无法实现的理论值，因而，某电流的真值我们无法实际测得，因为没有符合定义的可供实际使用的测量参考标准，尽管随着科技水平的提高，可供实际使用的测量参考标准可以愈来愈逼近理想的理论定义值。其次，在测量过程中由于各种主观、客观因素的影响，做到无误差的测量也是不可能的。,2,约定真值,A,s,由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准,(,或基准,),，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的,指定值,，指定值也叫约定真值。例如指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量,原器,的质量为,1kg,，,指定国家天文台保存的铯钟组所产生的特定条件下铯,l33,原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的,9192 63l 770,个周期的持续时间为,1s(,秒,),等。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。约定真值也叫,最佳估计值,，一般就用来代替真值。,3,实际值,A,实际测量中，不可能都直接与国家基准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量 标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具 上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际 值，也叫作,相对真值,，比如如果更高一级测量器具的误差为本级测量器具误差的,1,3,到,l,l0,，,就可以认为,更高一级测量器具的测得值,(,示值,),为真值。在后面的叙述中，大多,不再 对实际值和真值加以区别,。,4.,标称值,测量器具上标定的数值称为标称值。如标准砝码上标出的,l k8,，,标准电阻上标出的,1,，,标准电池上标出来的电动势,1.018 6V,，,标准信号发生器度盘上标出的输出正弦波的 频率土,00kHz,等。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定等于 它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级,.,5,示值,由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或,测量值,，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。例如以,l00,分度表示,50mA,的电流表，当指针指在刻度盘上的,50,处时，读数是,50,，而值是,25mA.,为便于核查测量结果，在记录测量数据时，一般应,记录仪表量程、读数和示值,(,当然还要记载测量方法，连接图，测量环境，测量用仪器及编号及测量者姓名、测量日期等,),，对于数字显示仪表，通常示值和读数是统一的。,6,测量误差,在实际测量中，由于测量器具不准确，测量手段不完善，环境影响，测量操作不熟及工作疏忽等，都会导致测量结果与被测量真值不同。测量仪器仪表的测量值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。,测量误差的存在具有必然性和普遍性，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定范围内而不可能完全加以消除。人们进行测量的目的，通常是为了获得尽可能接近真值的测量结果。因此，人们不得不认真对待测量误差，研究误差产生的原因，误差的性质，减小误差的方法以及对测量结果的处理等,.,7,单次测量和多次测量,单次,(,一次,),测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。显然，为了得知某一量的大小，必须至少进行一次测量。在测量精度要求不高的场合，可以只进行单次测量。单次测量不能反映测量结果的精密度，一般只能给出一个量的大致概念和规律。,多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对校准等。,8,等精度测量和非等精度测量,在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样的可靠性。,如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变,(,比如，改变了测量方法，或更换了测量仪器，或改变了联接方式，或测量环境发生了变化，或前后不是一个操作者，或同一操作者按不同的过程进行操作，或操作过程中由于疲劳等原因而影响了细心专致程度等,),，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。等精度测量和非等精度测量在测量实践中部存在，相比较而言，等精度测量意义更为普遍，有时为了验证某些结果或结论，研究新的测量方法、检定不同的测量仪器时也要进行非等精度测量。,二、误差的表示方法,1,绝对误差,绝对误差定义为,(2.1-1),式中,x,为绝对误差，,x,为测得值，,x,0,为被测量真值。前面已提到，真值一般无法得到，所以用实际值,A,代替真值，因而绝对误差更有实际意义的定义是,(2.1-2),对于绝对误差，应注意下面几个特点：,绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同,.,绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值,.,测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。,对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误差定义为,(2.1-3),式中,A,为实际值，,x,为供给量的指示值,(,标称值,).,如果没有特殊说明，本书涉及的绝对误差，按式,(2.12),定义计算。,与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号,c,表示,(2.1-4),测量仪器的,修正值,，可通过,检定,，由上一级标准给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值,(2.1-5),例如由某电流表测得的电流示值为,0.83,mA,，,查该电流表检定证书，得知该电流表在,0.8mA,及其附近的修正值部为,0.02mA,，,那么被测电流的实际值为,智能仪器的优点之一就是可利用内部的微处理器，,存贮和处理修正值，直接给出经过修正的实际值。,2,相对误差,相对误差用来说明测量精度的高低，又可分为：,(1),实际相对误差,实际相对误差定义为,(2.1-6),(2),示值相对误差,示值相对误差也叫标称相对误差，定义为,(2.1-7),如果测量误差不大，可用示值相对误差 代替实际误差 ，但若 和 相差较大，两者 应加以区别。,(3),满度相对误差（,引用误差,）,满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差,与测量仪器满度值,(,量程上限值,),的百分比值,(2.1-8),例,某电压表,s,1.5,，,试算出它在,0V,100V,量程中测量,30V,电压时的最大绝对误差、相对误差。,解：在,0V,l00V,量程内上限值,x,m,100V,，,由式,(2,，,l9),，,得到绝对误差,相对误差,满度相对误差也叫作满度误差和,引用误差,。由式,(2,，,l8),可以看出，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内,绝对误差的最大值,一般讲，测量仪器在同量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于,x,m,，,人们把这种处理叫作误差的整量化。由式,(2.l7),和,(2,，,19),可以看出，为了减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值能接近满度值，一般以示值不小于满度值的,2,3,为宜。,例,2,某,1,0,级电流表，满度值,x,m,l00uA,，,求测量值分别为,x,1,100,uA,，,x,2,80uA,，,x,3,20uA,时的绝对误差和示值相对误差。,解：由式,(2,l9),得绝对误差,前已叙述，绝对误差是不随测量值改变的。,而测得值分别为,100 A,、,80 A,、,20 A,时的示值相对误差各不相同，分别为,可见在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。由此我们应当注意到，测量中所用仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等,(,不考虑其他因素造成的误差，仅考虑仪器误差,)o.,否则测得值的准确度数值：降低于仪表的准确度等级。,例,3,要测量,100,的温度，现有,0,5,级、测量范围为,0300,和,l,，,0,级、测量范围为,0,l00,的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。,解：对,0,5,级温度计，可能产生的最大绝对误差,按照误差整量化原则，认为该量程内绝对误,差,，,因此示值相对误差,同样可算出用,l.0,级温度计可能产生的绝对误差和示值相对误差,可见用,1.0,级低量程温度计测量所产生的示值相对误差反而小一些，因此选,l.0,级温度计较为合适。,在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再行测量，以尽可能减小相对误差。,(4),分贝误差,在电子测量中还常用到分贝误差。分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝,(dB).,分贝误差广泛用于增益,(,衰减,),量的测量中。下面以电压增益测量为例，引出分贝误差的表示形式。,设双口网络,(,比如放大器，或衰减器,),输入、输出电压的测得值分别为,U,i,和,U,o,，,则电压增益,A,u,，,的测得值为,(2.1-10),用对数表示为,(2.1-11),G,x,称为增益测得值的分贝值。,设,A,为电压增益实际值，其分贝值,G,=20lg,A,，,由式,(2.1-2),及,(2.1-11),，有,(2.1-12),(2.1-13),由此得到,(2.1-15),(2.1-14),式中 显然与增益的相对误差有关，可看成相对误差的对数表现形式，称之为分贝误差。若,令 ，则式,(2,1-15),可写成,(2.1-16),上式即为分贝误差的一般定义式。,若测量的是功率增益，分贝误差定义为,(2.1-17),例,4,某电压放大器，当输入端电压,U,i,1.2mV,时，测得输出电压,U,o,6 000mV,，设,U,i,误差可忽略，,U,o,的测量误差 求：放大器电压放大倍数的绝对误差 ，相 对误差 及分贝误差,。,解：电压放大倍数,电压分贝增益,输出电压绝对误差,因忽略,U,i,误差，所以电压增益绝对误差,电压增益相对误差,压增益分贝误差,实际电压分贝增益,当 值很小时，分贝增益定义式,(2.1-16),和,(2.1-17),中的 可分别利用下面近 似式得到：,(,电压、电流类增益,),(,功率类增益,),(2.1-18),(2.1-19),如果在测量中，使用的仪器是用分贝作单位，则分贝误差直接按 来计算。例如某衰减器标称值为,20dB,，,经检定为,20.5dB,，,则其分贝误差为,数字表误差分析,举例,:,例,5,用,4,位半数字电压表,2V,档和,200V,档测量,1V,电压，该电压表各档容许误差均为 个字，试分析用上述两档分别测量时的相对误差。,解：,用,2V,档测量，仿照式,(2.1-20),，绝对误差为,为了便于观察，式中前一项是误差的相对值部分，后一项是绝对部分即土,1,个字误差，此时后者影响较小，测量数值,(,显示值,),为,0,999 6,到,1,000 4V,间，有效显示数字是四位到五位。相对误差为,用,200V,档测量，绝对误差为,可见此时土,1,个字误差占了误差的绝大部分,(,为了便于观察，此处未按科学计数法规定写成,1.010,-2,，由于此时最末位士,1,个字误差或最末位为,l,时代表的数值是,10mV,或,0,01V,，,因此此时电压表显示为,0.99,1.01V,，,显示有效数字为二到三位。相对误差为,测量误差的来源,一、仪器误差,仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差还可细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数误差及数字式仪表的量化误差,(l,个字误差,),；,仪器内部噪声引起的内部噪声误差；元器件疲劳、老化及周围环境变化造成的稳定误差；仪器响应的滞后现象造成的动态误差；探头等辅助设备带来的其他方面的误差。,减小仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用测量仪器，包括要检查所使用的仪器是否具备出厂合格证及检定合格证，在额定工作条件下按使用要求进行操作等。量化误差是数字仪器特有的一种误差，减小由它带给测量结果准确度的影 响的办法是设法使显示器显示尽可能多的有效数字。这在,2,1,节,(,例,4),中已有说明。,二、使用误差,使用误差又称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。比如有些设备要求正式测量前进行预热而未预热；有些设备要求水平放置而倾斜或垂直放置；有的测量设备要求实际测量前须进行校准,(,例如：普通万用表测电阻时应校零，用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等,),而未校准，等等。减小使用误差的最有效途径是提高测量操作技能，严格按照仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。,三、人身误差,人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。比如指针式仪表刻度的读取，谐振法测量,L,、,C,、,Q,时谐振点的判断等，都很容易产生误差,.,减小人身误差的主要途径有：提高测量者的操作技能和工作责任心；采用更合适的测量方法,(,比如用交叉读数法代替传统的谐振点判断法，见,2,5),；采用数字式显示的客观读数以避免指针式仪表的读数视差等。,四、影响误差,影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对电子测量而言，最主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。当环境条件符合要求时，影响误差通常可不予考虑。但在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。,五、方法误差,顾名思义，亢法误差是指所使用的测量方法不当，或测量所依据的理论不严密，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法误差也称作理论误差。例如当用于均值检波器测量交流电压时，平均值检波器输出正比于被测正弦电压的平均值,U,，,而交流电压表通常以有效值,U,定度，两者间理论上应有下述关系：,(2.21),式中 ，称为定度系数。由于，和 均为无理数，因此当用有效值定度时，只好取近似公式,(2.22),显然两者相比，就产生了误差，这种由于计算公式,的简化或近似造成的误差就是一种理论误差,.,方法误差通常以系统误差,(,主要是恒值系统误差，见,2,3),形式表现出来。因为产生的原因是由于方法、理论、公式不当或过于简化等造成，因而在掌握了具体原因及有关量值后，原则上都可以通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。对于内部带有微处理器的智能仪器，要做到这一点是不难的。,例,1 1,4,及图,1,4-2,曾叙及测量仪表的负载效应，现重画于图,2,2-1,中。图中虚框代表一台输入电阻,R,v,10MQ,，,仪器工作误差,(,也称不确定度,),为“,0,005,读数,2,个字”的数字电压表，读数,U,o,l0.002 5V.,试分析仪器误差和方法误差。,解；由图,2,2-1,，可以计算出,(2.2-3),(2.2-4),图,2.2-1,方法差别例,即比值只,R,s,/,R,V,愈大，示值相对误差也愈大，这是一种方法误差。将,R,V,10M,，,R,s,10k,代入式,(2,2-4),，得方法误差：,电压表本身的仪器误差,可见这里的方法误差较仪器误差大得多。,不过，由式,(2,2-3),可以看出，测得值,U,。,与实际值,U,。,间有确定的函数关系，只要知道 和,，,那么这里的方法误差可以得到修正。实际上由式,(2,。,23),可以得到,(2.25),利用式,(2,2-5),修正公式和有关数据，得到,2,误差的分类,一、系统误差,在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。如果系差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。,图,2,3l,描述了几种不同系差的变化规律：直线。表示恒定系差；直线厶属变值系差中累进性系差，这里表示系差递增的情况，也有递减系差；曲线,c,表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化；曲线,d,属于按复杂规律变化的系差。,图,2.31,系统误差的特征,0,系统误差的主要特点是，只要测量条件不变，误差即为确切的数值，用多次测量取平均值的办法 不能改变或消除系差，而当条件改变时，误差也随 之遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性。例如，标准电池的电动势随环境温度变化而变化，因而实际值和标称值间产生一定的误差,E,，,它遵循下面规律：,式中,E,20,和,E,t,，,分别为环境温度为,+20C,和,tC,时标准电池的电动势。又如，在,2,2,中叙述的、用均值检波电压表测量正弦电压有效值采用近似公式,(2,2-2),代替理论公式,(2,2-1),，因而带来理论误差，用提高均值检波器的准确度或用多次测量取平均值等方法都无法加以消除，只有用修正公式的办法来减小误差。正是由于这类误差的规律性，因此把理论误差归入系统误差一类中。,归纳起来，产生系统误差的主要原因有：,测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等,.,测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。,采用近似的测量方法或近似的计算公式等,o,测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原因所引起的误差。,系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高,.,二、随机误差,随机误差又称偶然误差，是指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差。,就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布,(,见,2,4),。,随机误差的特点是，在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界性，即具有有界性；当 测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同，即具有对称性；同时随机误差的算术十均值趋于零，即具有抵偿性。由于随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减小随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理,。,表,2,3l,是对某电阻进行,15,次等精度测量的结果。表中,R,i,为第,i,次测得值，,R,为测得值的算术平均值，定义为残差，由于电阻的真值,R,无法测得，我们用,R,代替,R,，,用,u,i,表示随机误差的性质。为了更直观地考察测量值的分布规律，用图,2,32,表示测量结果的分布情况，图中小黑点代表各次测量值。,表,2.3l,由表,2,3l,和图,2,，,32,可以看出以下几点：,正误差出现了,7,次，负误差出现了,6,次，两者基本相等，正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性,.,误差的绝对值介于,(0,，,0,1),、,(0,1,，,0,2),、,(0,2,，,0,3),、,(0,3,，,0,4),、,(0,4,，,0,5),区间，大于,0,，,5,的个数分别为,6,3,、,2,、,1,、,2,个和,1,个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小,.,图,2.32,电阻测量值的随机误差,3,u,i,0,，,正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。,所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。,这虽然仅是一个例子，但也基本反映出随机误差的一般特性。,产生随机误差的主要原因包括：,测量仪器元器件产生噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等,.,温度及电源电压的无规则波动，电磁干扰，地基振动等,o,测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。,随机误差体现了多次测量的精密度，随机误差小，则精密度高。,三、粗大误差,在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。,确认含有粗差的测得值称为坏值，应当剔除不用，因为坏值不能反映被测量的真实数值,.,产生粗差的主要原因包括：,测量方法不当或错误。例如用普通万用表电压档直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等,.,测量操作疏忽和失误。例如未按规程操作，读错读数或单位，或记录及计算错误等,.,测量条件的突然变化。例如电源电压突然增高或降低，雷电干扰，机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这类变化虽然也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此将其列入粗差范畴。,上述对误差按其性质进行的划分，具有相对性，某些情况可互相转化。例如较大的系差或随机误差可视为粗差；当电磁干扰引起的误差数值较小时，可按随机误差取平均值的办法加以处理，而当其影响较大又有规律可循时，可按系统误差引入修正值的办法加以处理；又如后面要叙述的谐振法测量时的误差，是一种系统误差，但实际调谐时，即使同一个人用同等的细心程度进行多次操作，每次调谐结果也往往不同，从而使误差表现出随机性。,最后指出，除粗差较易判断和处理外，在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，需根据各自对测量结果的影响程度，作不同的具体处理：,系统误差远大于随机误差的影响，此时可基本上按纯粹系差处理，而忽略随机误差。,系差极小或已得到修正，此时基本上可按纯粹随机误差处理,.,系差和随机误差相差不远，二者均不可忽略，此时应分别按不同的办法来处理，然后估计其最终的综合影响,.,2.4,随机误差分析,如前所述，多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律。本节从工程应用角度，利用概率统计的一些基本结论，研究随机误差的表征及对含有随机误差的测量数据的处理方法。,一、测量值的数学期望和标准差,1,数学期望,设对被测量,x,进行,n,次等精度测量，得到,n,个测得值,由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。,定义,n,个,测得值,(,随机变量,),的算术平均值为,(2.4-1),式中,x,也称作样本平均值。,当测量次数 时，样本平均值；的极限定义为测得值的数学期望,(2.4-2),式中,x,。,也称作总体平均值。,假设上面的测得值中不含系统误差和粗大误差，则第,i,次测量得到的测得值,x,i,与真值义,(,前已叙述，由于真值,A,o,一般无法得知，通常即以实际值,A,代替,),间的绝对误差就等于 随机误差,(2.4-3),式中 分别表示绝对误差和随机误差。,随机误差的算术平均值：,当 时，上式中第,-,项即为测得值的数学期望,E,x,，,所以,由于随机误差的抵偿性，当测量次数,n,趋于无限大,时，趋于零：,(2.45),(2.44),即随机误差的数学期望等于零。由式,(2,4-4),和,(2,4-5),，得,(2.46),即测得值的数学期望等于被测量真值,A,.,实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为,(2.47),(2.48),由上述分析我们得出，在实际测量工作中，当基本消除系统误差又剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量真值，因此就将它作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。,2,剩余误差,当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：,对上式两边分别求和，有,(2.410),3,方差与标准差,随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。方差定义为,，,时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即,(2.4-11),因为随机误差 ，故,(2.4-12),由于实际测量中 都带有单位,(mV,，,uA,等,),，因而方差 是相应单位的平方，使用不甚方便。为了与随机误差 单位一致，将式,(2,412),两边开方，取正平方根，得,(2.4-13),式中。定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏,差，简称标准差 反映了测量的精密度，,小表示精密度高，测得值集中，大表示精密度低，测得值分散。,有时还会用到平均误差，定义为,(2.4-14),二、随机误差的正态分布,1,正态分布,前面提到，随机误差的大小、符号虽然显得杂乱无章，事先无法确定，但当进行大量等精度测量时，随机误差服从统计规律。理论和测量实践都证明，测得值 与随机误差 都按一定的概率出现。在大多数情况下，测得值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。表现在随机误差上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。测得值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布，如图,2,4-1,和图,2,4-2,所示。,图,2.41,的正态分布曲线,图,2.42,的正态分布曲线,设测得值,x,i,在,x,到,x,+,dx,+,d,嚣范围内出现的概率为,P,，,它正比于,dx,，,并与,x,值有关，即,(2.4-15),式中,g,(,x,),定义为测量值,x,i,的分布密度函数或概率分布函数，显然,(2.4-16),对于正态分布的,x,i,，,其概率密度函数为,(2.4-17),同样，对于正态分布的随机误差,，有,(2.4-18),由图,2,4-2,可以看到如下特征：,愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小，随着 的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现,(,随机误差的有性,).,大小相等符号相反的误差出现的概率相等,(,随机误差的对称性和抵偿性,).,愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲线愈平坦，表明测得值分散，精密度低。,正态分布又称高斯分布，在误差理论中占有重要的地位。由众多相互独立的因素的随机微小变化所造成的随机误差，大多遵从正态分布，例如信号源的输出幅度、输出频率等，都具有这一特性。,2,均匀分布,在测量实践中，还有其他形式的概率密度分布形式，其中均匀分布是仅次于正态分布的一种重要分布，如图,2.4-3,所示。均匀分布的特点是，在误差范围内，误差出现的概率各处相同。在电子测量中常见有下列几种情况：,图,2.4-3,均匀分布的概率密度,仪表度盘刻度误差。由于仪表分辨力决定的某一范围内，所有的测量值可以认为是一个值。例如用,500V,量程交流电压表测得值是,220V,，,实际上由于分辨不清，实际值可能是,219V,一,221 V,之间的任何一个 值，在该范围内可认为有相同的误差概率,。,数字显示仪表的最低位,l(,或几个字”的误差。例如末位显示为,5,，实际值可能是,46,间任一值，也认为在此范围内具有相同的误差概率。数字式电压表或数字式频率计中都有这种现象。,由于舍入引起的误差。去掉的或进位的低位数字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是,5,或,4,或,3,或,2,或土，被进位的可以认为是,5,、,6,、,7,、,8,、,9,中任何一个。,在图,2,4-3,所示的均匀分布中，概率密度,(2,4-19),可以证明，对式,(2,4-19),所示的均匀分布，有数学期望,(2.4-20),(2.4-21),方差,标准差,(2.4-22),限于篇幅，本书下面仅讨论正态分布,。,3,极限误差,对于正态分布的随机误差，根据式,(2,4-18),，可以算出随机误差落在 区间的概率为,(2.4-23),该结果的含义可理解为，在进行大量等精度测量时，随机误差 落在 司的测得值的数目占测量总数目的,68,3,，或者说，测得值落 范围,(,该范围在概率论中称为置信区间,),内的概率,(,在概率论中称为置信概率,),为,0,，,683.,同样可以求得随机误差落在 和 范围内的概率为,(2.424),(2.425),即当测得值,x,i,的置信区间为,和,时的置信概率分别为,0.954,和,0,997,。由式,(2,4-25),可见，随机误差绝对值大于,30,的概率,(,可能性,),仅为,0,003,或,0,3,，实际上出现的可能极小，因此定义,(2,4-26),4.,贝塞尔公式,在上面的分析中，随机误差,，其中,x,i,为第,i,次测得值，,A,为真值，为,x,i,的数学期望，且,在这种前提下，我们用测量值数列的标 准差 来表征测量值的分散程度，并有,实际上不可能做到 的无限次测量。当,n,为,有限值时，我们用残差 ；来近似或代替真正的随机误差,，,用 表 示有限次测量时标准误差的最佳估计值，可以证明,(2.427),上式称为贝塞尔公式。式中 ，若,n,l,，,则 值不定，表明测量的数据不可靠,.,标准差的最佳估计值还可以用下式求出,(2.428),这是贝塞尔公式的另一种表达形式。有时简称标准差估计值。,仍以,2,3,中表,2,3,土为例，可以算出,5,算术平均值的标准差,如果在相同条件下对同一被测量分成,m,组，每组重复,n,次测量，则每组测得值都有一个平均值,.,由于随机误差的存在,这些算术平均值也不相同，而是围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存在着随机误差。我们用 来表示算术平均值的标准差，由概率论中方差运算法则可以求出,(2.429),同样定义 为算术平均值的极限误差，与真值间的误差超过这一范围的概率极小，因此，测量结果可以表示为,z,算术平均值土算术平均值的极限误差,(2.430),在有限次测量中，以 表示算术平均值标准差的最佳估值，有,因为实际测量中,n,只能是有限值，所以有时就将,和 叫作测量值的标准差和测量平均值的标准差，,从而将式,(2,4-27),和,(2,4-31),直接写成,(2.431),(2.432),(2.433),三、有限次测量下测量结果的表达,由于实际上只可能做到有限次等精度测量，因而我们分别用式,(2,，,4-32),和,(2,4 33),来计算测得值的标准差和算术平均值的标准差，如前所叙，实际上是两种标准差的最 佳估值。由式,(2,4-33),可以看到，算术平均值的标准差随测量次数,n,的,增大而减小,，,但 减小速度要比,n,的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差收益不大，因而实 际测量中,n,的取值并不很大，一般在土,0,到,20,之间。,对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行：,列出测量数据表；,计算算术平均值 ，残差 及 ；,按式,(2,432),、,(2,433),计算 和 ；,给出最终测量结果表达式：,例,1,用电压表对某一电压测量土,0,次，设已消除系统误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如,表,2.41,，试给出最终测量结果表达式。,表,2.41,解：计算得到,，,表示 的计算正确。进一步计算得到：,因此该电压的最终测量结果为,2.5,系统误差分析,一、系统误差的特性,排除粗差后，测量误差等于随机误差 和系统误差 的代数和,(2.5-1),假设进行,n,次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常缓慢即,，,则 的算术平均值为,(2.5-2),当,n,足够大时，由于随机误差的抵偿性，的算术,平均值趋于零，于是由式,(2,5-2),得到,(2.5-3),可见当系差与随机误差同时存在时，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系差,.,这说明测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系统误差有关。由于系差不易被发现，所以更须重视，由于它不具备抵偿性，所以取平均值对它无效，又由于系差产生的原因复杂，因此处理起来比随机误差还要困难。消弱或消除系差的影响，必须仔细分析其产生的原因，根据所研究问题的特殊规律，依赖测量者的学识、经验，采取不同的处理方法。,研究系统误差，有利于判断测量的正确性和可靠性，有时还能启发人们发现新事物和新规律。历史上雷莱曾利用不同的来源和方法制取氮气，测得氮气的平均密度和标准偏差如下：,化学法提取：,2,，,299 7l,0,000 41,大气中提取：,=2,310 22 =0,000 19,平均值之差：,0,010 51,标准偏差：,二、系统误差的判断,实际测量中产生系统误差的原因多种多样，系统误差的表现形式也不尽相同，但仍有 一些办法可用来发现和判断系统误差,.,1,理论分析法,凡属由于测量方法或测量原理引入的系差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系差，甚至计算出系差的大小,.2,2,例,1,中用内阻不高的电压表测量高内阻电源电压就是一例,.,2,校准和比对法,当怀疑测量结果可能会有系差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差。,也可以采用多台同型号仪器进行比对，观察比对结果以发现系差，但这种方法通常不能查觉和衡量理论误差。,3,，改变测量条件法,系差常与测量条件有关，如果能改变 测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系差。,上述,2,、,3,两种方法都属于实验对比法，一般用来发现恒值系差,.,4,剩余误差观察法,剩余误差观察法是根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系差及系差类型。,为了直观，通常将剩余误差制成曲线，如图,2,51,，其中图,(a),表示剩余误差 大体上正负相同，无明显变化规律，可以认为不存在系差；图,(b),呈现线性递增规律，可认为 存在累进性系差；图,(c),中 大小和符号大体呈现周期性，可认为存在周期性系差；图,(d),变化规律复杂，大体上可认为同时存在线性递增的累进性系统误差和周期性系统误差。剩余误差法主要用来发现变值系统误差。,图,2.51,系统误差的判断,5,公式判断法,通常有马林科夫判据和阿卑,赫梅特判据，可分别用采判定有无累进性系差和周期性系差，详细论述可参阅参考书目,1,、,3,等。,三、消除系统误差产生的根源,产生系统误差的原因很多，如果能找出并消除产生系差的根源或采取措施防止其影响，那将是解决问题最根本的办法。例如：，采用的测量方法和依据的原理正确，后面我们将专门讨论能有效消弱系统误差的测量技术与方法。,选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求，如要测量工作于高频段的电感电容，应选用高频参数测试仪,(,如,LCCGl,高频,LC,测量仪,),，而测量工作于低频段的电感电容就 应选用低频参数测试仪,(,如,WQ5,电桥、,QSl8A,万能电桥,).,测量仪器应定期检定、校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器。尤其对于精密测量，测量环境的影响不能忽视，必要时应采取稳压恒温、电磁屏蔽等措施。,条件许可时，可尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。,提高测量人员的学识水平、操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。,四、消弱系统误差的典型测量技术,1,零示法,1,3,节已对零示法有过叙述。零示法是在测量中，把待测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。,零示法原理，如图,2,52,，图中,z,为被测量，,s,为同类可调节已知标