工程制图第二章正投影法基本原理.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 二 章,正投影法基本原理,21 投影的形成及常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,度量性较差,投影特性,投射线,投射中心,物体,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,建设中的教3楼（透视）,教2楼,家属区塔楼,篮球场,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,投射线互相平行且垂直于投影面,投射线互相平行且倾斜于投影面,直角（正）投影法,机械零件箱体（轴测）,齿轮（轴测）,阀体（轴测）,P,b,A,P,采用多面投影,。,过空间点,A,的,投射线与投影面,P,的交点即为点,A,在,P,面上的投影。,B1,B2,B3,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,22,点的投影,解决办法？,H,W,V,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正,面或,V,面）,水平投影面（简称水,平面或,H,面）,侧面投影面（简称侧,面或,W,面）,投影轴,o,X,Z,OX,轴,V,面与,H,面的交线,OZ,轴,V,面与,W,面的交线,OY,轴,H,面与,W,面的交线,Y,三个投影面互相垂直,W,H,V,o,X,空间点,A,在三个投影面上的投影,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的侧面投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,a,a,a,A,Z,Y,W,V,H,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,a,z,x,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,a,aOX,轴,aa,x,=a,a,z,=y=A,到,V,面的距离,a,a,x,=a,a,y,=z=A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=x=A,到,W,面的距离,x,a,a,z,a,y,Y,Z,a,z,a,X,Y,a,y,O,a,a,x,a,y,a,a,a,OZ,轴,a,a,a,x,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一:,通过作45线使,a,a,z,=,aa,x,解法二:,用圆规直接量取,a,a,z,=,aa,x,a,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的,上下、前后、左右,位置关系。,判断方法：,x,坐标大的在左,y,坐标大的在前,z,坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B,点在,A,点之前、之右、之下。,X,Y,H,Y,W,Z,重影点：,空间两点在某一投影面上的,投影重合为一点,时，则称此两点为,该投影面,的重影点。,A、C,为,H,面的重影点,a,a,c,c,被挡住的投影加(),(),A、C,为哪个投影面的重影点呢？,a c,a,a,a,b,b,b,23 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,A,B,a,b,直线倾斜于投影面,投影比空间线段短,ab,=AB,直线平行于投影面,投影反映线段实长,ab,=AB,直线垂直于投影面,投影重合为一点,ab,=0,积聚性,A,B,a,b,A,M,B,abm,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,(1)一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短了,。,即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,a,b,b,a,b,a,投影面平行线,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,(2),投影面平行线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，,并反映直线与另两投影面倾角。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影,轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与,H,面的夹角:,与,V,面的角:,与,W,面的夹角:,实长,实长,实长,b,a,a,a,b,b,投影面垂直线,反映线段实长。且垂直,于相应的投影轴。,(3),投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影,，,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性,。,投影特性:,c,(,d,),c,d,d,c,a,b,a(b),a,b,e,f,e,f,e,(,f,),例题：判断下列直线的位置,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,判别方法,：,AC/CB=ac/,cb,=,a,c,/c,b,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,点,C,不,在直线,AB,上,例1：判断点,C,是否在线段,AB,上。,a,b,c,a,b,c,c,a,b,c,a,b,点,C,在直线,AB,上,例2：判断点,K,是否在线段,AB,上。,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，,故点,K,不在,AB,上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,另一判断法?,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行,、,相交,、,交叉,。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各,同名投影,必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律,。,交点是两直线的共有点,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例：过,C,点,作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4),两直线交叉,投影特性,：,同名投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。,“交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是,H,面的重影点。,为什么？,1,2,3,4,两直线相交吗？,两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边,BC/H,面,因,BCAB,同时,BCBb,所以,BC,ABba,平面,直线在,H,面上的投影互相垂直,即 ,abc,为直角,因此,bc,ab,故,bc,ABba,平面,又因,BCbc,A,B,C,a,b,c,H,a,c,b,a,b,c,.,证明：,d,a,b,c,a,b,c,d,例：过,C,点作直线与,AB,垂直相交。,AB,为正平线,正面投影反映直角。,.,小 结,点与直线的投影特性，尤其是,特殊位置,直线的投影特性,。,点与直线及两直线的相对位置的判断方,法及投影特性。,定比定理。,直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、点的投影规律,a,a,Z,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,x,a,z,a,a,aOX,轴,aa,x,=a,a,z,=y=A,到,V,面的距离,a,a,x,=a,a,y,=z=A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=x=A,到,W,面的距离,a,a,OZ,轴,二、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,三、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影,成定比定比定理。,四、两直线的相对位置,平行,相交,交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,五、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该,投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时，,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时，,在三个投影面上的投影都不,反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,一、,平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,a,b,c,a,b,c,平面图形,二、平面的投影特性,平行,垂直,倾斜,投 影 特 性,平面平行投影面-投影就把实形现,平面垂直投影面-投影积聚成直线,平面倾斜投影面-投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,投影面垂直面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,是什么位置的平面？,投影面平行面,a,b,c,a,b,c,a,b,c,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面,a,b,c,a,c,b,a,b,c,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,三、平面上的直线和点,判断直线在平面内的方法,定 理 一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定 理 二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,例1：已知平面由直线,AB、AC,所确定，试,在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有多少解？,有无数解。,例2：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距 离为10,mm。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,b,k,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,b,c,k,a,d,a,d,b,c,a,d,a,d,b,c,k,b,c,例2：已知,AC,为正平线，补全平行四边形,ABCD,的水平投影。,解法一,解法二,2.5,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,包括,直线与平面平行,定理：,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：过,M,点作直线,MN,平行于平面,ABC。,有无数解,有多少解？,正平线,例2：过,M,点作直线,MN,平行于,V,面和平面,ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,两平面平行,若一平面上的,两相交直线,对应平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。,若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行。,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,作业,P9,P10：1、2、3,P11。,注：2题要求的色笔可不用，只需用相应的字母标出即可，如图。,P12,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,直线与平面相交，其,交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,并判别可见性。,空间及投影分析,平面,ABC,是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的交点即为,K,点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，,KN,段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,k,1,(,2,),作 图,k,2,1,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线,MN,为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点,K,的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于,MN,上，在后。故,k,2,为不可见。,1,(,2,),k,2,1,作图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：,确定两平面的,两个共有点。,确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),空间及投影分析,平面,ABC,与,DEF,都为,正垂面,，它们的正面投影都积聚成直线。,交线必为一条正垂线,，,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面,ABC,在上，其水平投影可见。,n,m,能否不用重影点判别？,能!,如何判别？,例：求两平面的交线,MN,并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面,EFH,是一水平面，它的正面投影有积聚性。,a,b,与,e,f,的交点,m,、,b,c,与,f,h,的交点,n,即为两个共有点的正面投影，故,m,n,即,MN,的正面投影,。,求交线,判别可见性,点在,FH,上，点在,BC,上，,点在上，点在下，故,fh,可见，,n2,不可见。,作 图,m,n,2,n,m,1,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N,点的水平投影,n,位于,def,的外面，说明点,N,位于,DEF,所确定的平面内，但不位于,DEF,这个图形内。,所以,ABC,和,DEF,的交线应为,MK。,n,n,m,k,m,k,互交,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面,内的,两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是,两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的,投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,平面上的点,一定位于平面内的某条直线上,平面上的直线,过平面上的两个点。,过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,三、平行问题,直线与平面平行,直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行,必须是一个平面上的一对相交直线对应平行,于另一个平面上的一对相交直线。,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用,交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用,交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上,取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，,有时可找出两平面的一个共有点，根据交线,的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用,特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共,有点，求出交线。,2.6 换面法,一、问题的提出,如何求一般位置直线的实长？,如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：,物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使,物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,V,H,A,B,a,b,a,b,二、新投影面的选择原则,1.新投影面必须对空间物体处于,最有利的解,题位置。,平行于新的投影面,垂直于新的投影面,2.新投影面必须,垂直于,某,一保留的原投影面，,以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,P,a,1,b,1,V,H,A,a,a,a,x,X,更换一次投影面,旧投影体系,X,V,H,新投影体系,P,1,H,X,1,A,点的两个投影：,a，a,A,点的两个投影：,a，a,1,新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,X,1,P,1,a,1,a,x1,V,H,X,P,1,H,X,1,a,a,a,1,a,x,a,x1,.,a,x1,V,H,X,P,1,H,X,1,a,a,a,1,V,H,A,a,a,x,X,X,1,P,1,a,1,a,x1,新旧投影之间的关系,aa,1,X,1,a,1,a,x1,=a,a,x,点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影,到原投影轴的距离。,a,x,a,一般规律：,点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直,于新投影轴。,.,X,V,H,a,a,a,x,更换,H,面,求新投影的作图方法,V,H,X,P,1,H,X,1,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,X,1,P,1,H,a,1,a,x,a,x1,a,x1,更换,V,面,a,1,作图规律：,.,.,更换两次投影面,先把,V,面换成平面,P,1,，P,1,H，,得到中间新投影体系:,P,1,H,X,1,再把,H,面换成平面,P,2,，P,2,P,1,，,得到新投影体系:,X,2,P,1,P,2,新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,a,x,X,X,1,P,1,a,1,a,x1,P,2,X,2,a,x2,a,2,a,x2,a,a,X,V,H,求新投影的作图方法,a,2,X,1,H,P,1,X,2,P,1,P,2,作图规律,a,2,a,1,X,2,轴,a,2,a,x2,=aa,x1,a,1,a,x,a,x1,.,.,V,H,A,B,a,b,a,b,四、换面法的四个基本问题,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,用,P1,面代替,V,面，在,P1/H,投影体系中，,AB/P1。,X,1,H,P,1,P1,a,1,b,1,空间分析,：,换,H,面行吗？,不行！,作图：,例：求直线,AB,的实长及与,H,面的夹角。,a,b,a,b,X,V,H,新投影轴的位置？,a,1,b,1,与,ab,平行。,.,a,1,b,1,V,H,a,a,X,B,b,b,A,2.把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,X,1,H,1,P,1,P,1,P,2,X,2,作图：,X,1,P,1,a,1,b,1,X,2,P,2,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线,。,X,2,轴的位置？,a,2,b,2,a,x2,a,2,b,2,.,与,a,1,b,1,垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,a,b,c,a,b,c,d,V,H,A,B,C,D,X,d,3.把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,P,1,X,1,c,1,b,1,a,1,d,1,空间分析：,在平面内,取一条投影面平行线,，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,两平面垂直需满足什么条件？,能否只进行一次变换？,思考：,若变换,H,面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把,三角形,ABC,变,换,成投影面垂直面。,H,P,1,X,1,作 图 过 程：,在平面内取一条水平,线,AD。,d,d,将,AD,变换成新投影,面的垂直线。,d,1,a,1,d,1,c,1,反映平面对哪个投影面的夹角？,.,a,1,b,1,需经几次变换？,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；,二次换面，再变换成新投影面的平行面。,X,2,P,1,P,2,4.把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB,是水平线,空间分析：,a,2,c,2,b,2,c,1,X,2,轴,的位置？,平面的实形,.,X,1,H,P,1,.,与其平行,b,1,距离,d,d,1,X,1,H,P,1,X,2,P,1,P,2,c,2,d,例1：求点,C,到直线,AB,的距离，并求垂足,D。,c,c,b,a,a,b,X,V,H,五、换面法的应用,如下图：当直线,AB,垂直于投影面时，,CD,平行于投影面，其投影反映实长。,A,P,B,D,C,c,a,b,d,作图:,求,C,点到直线,AB,的距离，就是求垂线,CD,的实长。,空间及投影分析：,c,1,a,1,a,2,b,2,d,2,过,c,1,作线平行于,x,2,轴。,.,.,.,如何确定,d,1,点的位置？,b,a,a,b,c,d,c,例,2：已知两交叉直线,AB,和,CD,的公垂线的长度 为,MN，,且,AB,为水平线，求,CD,及,MN,的投影。,M,N,m,d,a,1,b,1,m,1,n,1,c,1,d,1,n,空间及投影分析：,V,H,X,H,P,1,X,1,圆半径=,MN,n,m,当直线,AB,垂直于投影面时，,MN,平行于投影面，这时它的投影,m,1,n,1,=MN,且,m,1,n,1,c,1,d,1,。,P,1,A,C,D,N,M,c,1,d,1,a,1,m,1,b,1,n,1,B,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求,m,点是难点。,.,.,空间及投影分析,：,AB,与,CD,都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将,AB,与,C,点所确定的平面变换成投影面平行面。,例3:过,C,点作直线,CD,与,AB,相交成60角。,d,X,1,H,P,1,X,1,P,1,P,2,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,c,2,c,1,a,1,b,1,a,2,d,2,d,b,2,几个解？,两个解！,已知点,C,是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线,AB,上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,60,D,点的投影如何返回？,.,.,P,2,P,1,X,2,H,P,1,X,1,c,d,b,a,d,a,c,b,d,1,c,1,a,1,d,2,b,1,c,2,a,2,b,2,V,H,X,例,4：求平面,ABC,和,ABD,的两面角。,空间及投影分析,：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,.,.,小 结,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法,换面法,。,一、换面法就是,改变投影面的位置,，使它与所给物,体或其几何元素处于,解题所需的特殊位置,。,二、换面法的关键是要注意,新投影面的选择条件,，,即必须使,新投影面与某一原投面保持垂直关系,，,同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规,律继续有效。,三、,点的变换规律是换面法的作图基础,，四个基本,问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,换面法的四个基本问题：,2.把一般位置直线变成投影面垂直线,1.把一般位置直线变成投影面平行线,3.把一般位置平面变成投影面垂直面,4.把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,四、解题时一般要注意下面几个问题：,分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中,物体与原投影面的相对位置,，并把这些条件,抽象成几何元素（点、线、面等）。,根据要求得到的结果，确定出有关几何元,素,对新投影面应处于什么样的特殊位置,（垂,直或平行），据此选择正确的解题思路与方,法。,在具体作图过程中，要注意新投影与原投影,在变换前后的关系，既要在新投影体系中正,确无误地求得结果，又能将结果,返回到原投,影体系中去。,END,