微积分-无穷级数.ppt

,*,calculus,微 积 分,第十章 无穷级数,10.1,无穷级数的基本概念,10.2,无穷级数的基本性质,10.3,常数项级数的收敛性判别法,10.4,函数项级数与幂级数,10.5,函数的幂级数展开,一、无穷级数的概念,1,、无穷级数的概念,定义,1,设给定一个数列：,称,（,1,）,为,无穷级数,，简称,级数,.,一般项,为,无穷级数,，简称,级数,.,为,数时,，称为数项,级数,.,为,x,的函,数时,，称为,函数项级数,.,前 项和,称为,(1),的,部分和,.,构成一个新的数列,:,2,、级数的收敛与发散,称为部分和数列,记,若,不存在,则称级数,(1),发散,.,若,称,为级数,(1),的余项,若,则称级数,(1),收敛,且收敛和为,定义,2,3,、数项级数的敛散性的概念,若,则称级数,(1),收敛,且收敛和为,所以,级数发散,.,例,1.,判别级数,的敛散性,.,解,例,2.,判别级数,的敛散性,.,解,所以,原级数收敛,且收敛和为,1.,例,4.,判别级数的敛散性,.,解,:(1).,级数收敛,.,例,5.,讨论,等比级数,(,几何级数,),的敛散性,（,q,称为级数的公比，,a,0,）,解,:,1).,当,时,发散,;,3).,当,时,当,时,收敛,;,2).,当,时,发散,;,当,时,发散,.,当,时,收敛于,当,时,发散,.,发散,例如,例,4.,证明调和级数,发散,.,证明,反证法,与假设矛盾，所以,原级数必发散,于是,二、无穷级数的基本性质,性质,1,证,若,则,证,收敛级数的线性组合仍收敛,.,性质,2,性质,3,证,加括号后得,(2),(2),的前,m,项和相当于,(1),的前,n,项和,.,收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变,显然，,W,m,是,S,n,的一个子数列,设,(1),(1).,收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛,.,反例,:,收敛,(2).,若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛,.,注意,(3).,若加括号后所得级数发散,则原级数发散,.,性质,4,增加、去掉或改变级数的前有限项，,级数敛散性不变,.,证,级数,(1),去掉前,项得级数,(2),为常数,故当,时,与,的极限同时存在或不存在,.,所以级数,(1),与,(2),具有相同的敛散性,.,其它情况类似可证,.,级数,(2),的前,n,项和为,例如,与,具有相同的敛散性,均收敛,.,但收敛和不同,级数的敛散性与前有限项无关,.,性质,5,证,（,1).,条件必要而不充分,即逆命题不成立,.,由,不能断定,收敛,.,收敛，,（级数收敛的必要条件）若,则,注意,例如,调和级数,但该级数发散,(2).,逆否命题成立,.,若,则,一定发散,.,例如,因,发散,例,4.,判别级数的敛散性,.,解,:(1).,级数收敛,.,1,、正项级数及其敛散性判别,正项级数：,部分和数列,单增：,正项级数,收敛,的,充要条件,是部分和数列有界,.,定理,1,三、常数项级数收敛性判别法,2,、正项级数敛散性的判别,(,比较判别法,),设,1).,若,收敛,则,收敛,;,2).,若,发散,则,发散,.,证,.,定理,2,推论,设,都是正项级数,2,）若 发散，则 发散。,1,）若 收敛，则 收敛。,级数,当,时收敛,;,当,时发散,.,结论,比较判别法,:,将要判定的级数与已知收敛或,发散的级数作比较,解,发散,.,则,当,时,有,当,时,;,例如,发散,;,收敛,.,例,1.,判别下列级数的敛散性,:,解,发散,故原级数发散,故原级数收敛,.,收敛,例,2,解,定理,3,设,为正项级数,(1),若,则,敛散性相同,.,(,比较判别法的极限形式,),(2),若,则,(2),若,则,例,1.,判别下列级数的敛散性,:,解,发散,故原级数发散,收敛,故原级数收敛,发散,故原级数发散,例,2.,判别级数的敛散性,:,解,取,因,发散,故原级数发散,.,例,3,.,判别级数,的敛散性,.,解 取,收敛,故原级数收敛,.,例,4,.,判别级数,的敛散性,.,解,而级数,收敛,故原级数收敛,.,取,定理,4,设正项级数,当,时,级数收敛,;,当,发散,;,当,时,敛散性不定,.,(,比值判别法,),解,:,级数收敛,.,级数发散,.,例,5,.,判别级数的敛散性,:,级数收敛,.,解,.,级数收敛,.,例,6,.,判别级数的敛散性,:,收敛,故原级数收敛,.,收敛,故原级数收敛,.,而,定理,5,设正项级数,当,时,级数收敛,;,当,发散,;,当,时,敛散性不定,.,(,柯西,根值判别法,),例,7.,判别级数的敛散性,:,解,.,级数收敛,.,级数收敛,.,原级数收敛,.,2,、交错级数及其判别法,交错级数,：,或,即，正负项相间的级数为交错级数。,定理,若满足,:,则级数收敛,其余项,(,莱布尼茨定理,),且,证,.,单增且有上界,证毕,故,例,1.,判定级数的敛散性,:,解,.,所以级数收敛,.,所以级数收敛,.,例,3,.,判定级数的敛散性,解,原级数,发散,.,解,原级数收敛,.,（,1,）任意项级数：,为任意实数,.,3,、任意项级数的绝对收敛和条件收敛,正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况,必定收敛,.,证,设,收敛,令,由正项级数比较判别法知,收敛,.,收敛,若级数,则级数,定理,7,1).,逆命题不成立,.,注意,由性质知,收敛,.,证毕,.,发散,收敛,.,例如,解,故由定理知原级数收敛.,对应的正项级数为,1).,若,收敛,则称,为,绝对收敛,.,2).,若,收敛,但,发散,则称,为,条件收敛,.,（,2,）绝对收敛、条件收敛,.,正项级数收敛时一定是绝对收敛,注意,解,故由定理知原级数收敛.,对应的正项级数为,例,2.,判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛,?,解,故原级数,绝对收敛,.,例,3.,判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛,?,解,对应的正项级数为,因为,所以,发散,所以有,故原级数,收敛，,且为条件收敛。,定理,8,设任意项级数,当,时,级数绝对收敛,;,当,发散,;,当,时,敛散性不定,.,发散,.,若由,比值审敛法或根值审敛法,判定,发散,则可以断定,注意,例,4,.,判定级数的敛散性,解,可见，,总之，级数当,|,x|,1,或,x,=-1,时，发散,.,发散,.,收敛,当,x,=1,时，级数,当,x,=,1,时，级数,1,、函数项级数的概念,函数项级数：,（,1,）,对确定的点,若,收敛，,称,为级数,(1),的一个,收敛点,若,发散，,称,为级数,(1),的一个,发散点,级数,(1),收敛点的全体称为它的,收敛域,.,四、函数项级数与 幂级数,对收敛域内每一点,和函数,:,记,则,称,为,余项,.,例如,2,、幂级数及其收敛性,形如：,特别地,（,1,）,（,2,）,(1),是关于,的幂级数，,(2),是关于,的幂级数,.,例如,幂级数,当,时,它收敛于,当,时发散,.,的收敛域为,:,(1).,如果,l|x|,1,发散,(3).,如果,l|x|,=1,可能收敛可能发散,2.,如果,l,=0,对任何,x,都绝对收敛,.,3.,如果,l,=,对,x=,0,收敛，对非零,x,都发散,.,1.,如果,l,0,综上,若幂级数,不是仅在,一点收敛,也不是在整个数轴,上都收敛,则必有一个确定的正数,R,存在,使得,当,时,幂级数绝对收敛,;,当,时,幂级数发散,;,当,时,幂级数可能收敛也可能发散,;,正数,R,称为幂级数,的,收敛半径,.,收敛区间,为,:,其中之一,.,例如,存在数,R,=1,当,时,当,时,发散,.,所以,的收敛半径为,收敛区间为,R=1,定理,2,.(,幂级数收敛半径的求法,),设,对于幂级数,(2),其中,是,(2),中相邻两项的系数,.,则其,收敛半径,为,:,例,1.,求幂级数,的收敛半径与收敛区间,.,解,所以,当,时,发散,;,当,时,收敛,收敛区间为,:,例,2,.,求幂级数,的收敛区间,.,解,当,时,收敛,;,当,时,收敛,.,收敛区间为,:,例,3,.,求幂级数的收敛半径及收敛区间,:,收敛区间为,:,级数只在,x=0,处收敛,.,例,4,.,求幂级数,的收敛区间,.,解,令,则幂级数变为,:,收敛半径,当,时,收敛,;,当,时,发散,.,收敛区间为,:,即,即,所以,原级数的收敛区间为,:,例,5.,求幂级数,的收敛半径,.,解,(,利用正项级数的比值收敛法,),当,即,时,级数收敛,;,当,即,时,级数发散,所以,收敛半径为,另解,令,则级数变为,:,所以,原级数的收敛半径为,:,1,、幂级数的运算,设幂级数,的收敛半径分别为,则,且,1).,2).,其中,性质,1.,（,1,）四则运算,（,1,）分析运算,幂级数,在收敛区域,内,和函数,满足,:,性质,2,在,内,连续,;,(2).,在,内,可导,且可逐项求导,;,(3).,在,内,可积,且可逐项求积,;,逐项,求导,或逐项,求积,后所得幂级数具有与原级数,相同的收敛,半径,但收敛区域可能改变,主要体现在,端点处,.,说明,(1),例,1.,求幂级数,在收敛区间,(-1,1),内的和函数,.,解,设,两边求导得,两边积分得,因,所以,例,2.,求幂级数,内的和函数,.,解,:,设,两边积分得,两边求导得,另解,例,3,.,求幂级数,的和函数,.,解,幂级数,的收敛区间为,设,两边求导,两边积分,当,时,易见,所以,五、函数的幂级数展开,1,、泰勒级数,2,、函数展开成幂级数,直接展开,间接展开,1,、泰勒级数,泰勒公式,若函数,在,某邻域内有直到,阶的导数，,则,拉格郎日型余项,(1),为,的,泰勒级数,.,若,在,某邻域内有任意阶导数，,称,(2),为,的,泰勒级数,.,(2),在,(2),中,特别地,(3),称为函数,的,马克劳林级数,.,若,能展成,的幂级数的话,则,展开式唯一,就是它的,马克劳林级数,2,、函数展开成幂级数,.,1,o,.,直接展开法,(1).,求出,的各阶导数,:,(2).,求函数及各阶导数在,处的函数值,:,(3).,写出幂级数,:,并求出收敛半径,R,.,(4).,考察当,时,是否为零,?,若,则,按以下步骤进行,:,例,1,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,的麦克劳林级数为,:,考察级数,级数,收敛,所以,例,2,.,将函数,展成,的幂级数,.,解,的麦克劳林级数为,:,例,3,.,将函数,展成,的幂级数,.,其中,m,为任意常数,.,解,所以,得级数,可以证明，该级数收敛于函数,二项展开式,特别地,2,o,.,间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则,(,四则法则,逐项求导逐项求积,),将所给函数展成幂级数,.,常用的函数展开式有,:,例,4,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,由,知,例,5.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,由,两边求导得,例,6,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,知,即,若,内的展式已得到,而级数,处仍收敛,且,处连续,则展式,处也成立,.,由,说明,尤其是经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况,.,解,两边积分得,因,所以,当,时,收敛,当,时,收敛,所以,例,7.,将函数 展开成幂级数,例,8,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,两边积分得,当,时,当,时,发散,收敛,.,例,9,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,由,得,例,10,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,例,11,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,由,得,例,12,.,将函数,展开成,的幂级数,.,解,由,且,得,利用函数的幂级数展开式进行近似计算,例,1,计算,要求误差不超过,0.0001,.,解,由二项展开式,4,、幂级数的应用举例,取,若取,前两项,和作为其近似值,其,误差,(,截断误差,),为,:,为了使,“,四舍五入,”,引起的误差,(,舍入误差,),与截断误差之和,不超过,0.0001,计算时应取五位小数,然后再四舍五入,.,说明,例,2.,计算,的近似值,要求误差不超过,0.0001,.,解,计算量太大,不可取,.,令,得,例,3,.,计算,的近似值,误差不超过,0.0001.,解,例,4,计算积分,的近似值，要求误差不超过,0.0001,解,因,所给积分不是广义积分，,定义,则它在积分区间,0,，,1,上连续,.,由,知,因,所以取前三项和作为积分的近似值,.,