第1篇1-3.ppt

,走向高考,高考总复习人教 版,数学,A,第一章 集合与函数的概念,首页,上页,下页,末页,要点自主归纳,课堂典例讲练,课堂巩固训练,思想方法点拨,课后强化作业,1,第三讲 函数的性质,重点难点,重点：,函数的单调性与奇偶性定义；,复合函数单调性；,奇偶函数图象的对称特征；,函数的单调性与最值,难点,：,用单调性定义证明函数的单调性；,奇偶性、单调性的应用,2,知识归纳,一、函数的单调性,1,单调性定义：设函数,f,(,x,),的定义域为,A,，区间,D,A,，若对于任意的,x,1,、,x,2,D,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则,f,(,x,),为区间,D,上的,增,函数对于任意的,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,f,(,x,2,),，则,f,(,x,),为区间,D,上的,减,函数,2,证明函数单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明,(1),利用定义证明函数单调性的一般步骤是：,任取,x,1,、,x,2,D,，且,x,1,0,，则,f,(,x,),为增函数；如果,f,(,x,)0,，则,f,(,x,),为减函数,(,注意：个别导数值为,0,的点不影响函数的单调性,),3,单调性的有关结论,(1),若,f,(,x,),、,g,(,x,),均为增,(,减,),函数，则,f,(,x,),g,(,x,),仍为增,(,减,),函数,(2),若,f,(,x,),为增,(,减,),函数，则,f,(,x,),为减,(,增,),函数,(3),互为反函数的两个函数有相同的单调性,4,(4),y,f,g,(,x,),是定义在,M,上的函数，若,f,(,x,),与,g,(,x,),的单调性相同，则其复合函数,f,g,(,x,),为,增,函数；若,f,(,x,),、,g,(,x,),的单调性相反，则其复合函数,f,g,(,x,),为,减,函数,(5),奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性,相同,；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性,相反,5,4,函数的最大,(,小,),值,(1),定义：一般地，设函数,y,f,(,x,),定义域为,，如果存在实数,M,满足：,对任意,x,，都有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),M,),；,存在,x,0,使得,f,(,x,0,),M,.,称,M,是函数,y,f,(,x,),的最大,(,或最小,),值,(2),求法：,配方法，,判别式法，,基本不等式法，,换元法，,数形结合法，,单调性法，,导数法,6,二、函数的奇偶性,1,奇偶性的定义,设函数,y,f,(,x,),的定义域为,D,，若对,D,内的任意一个,x,，都有,x,D,，且,f,(,x,),f,(,x,),(,或,f,(,x,),f,(,x,),),成立，则称,f,(,x,),为奇函数,(,或偶函数,),2,关于奇偶性的结论与注意事项,(1),函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,(2),函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数,7,(3),如果一个奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义，那么,f,(0),0,；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为,0,，但逆命题不成立若,f,(,x,),为偶函数，则恒有,f,(,x,),f,(|,x,|),(4),奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于,y,轴对称,(5),两个奇,(,偶,),函数之和、差为奇,(,偶,),函数；两个奇,(,偶,),函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数,(,以上函数都不包括值恒为,0,的函数,),8,3,判别函数奇偶性的方法,(1),定义法：第一步先看函数,f,(,x,),的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数,第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断,即若有：,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,),f,(,x,),0,，,f,(,x,),f,(,x,),2,f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),f,2,(,x,),，,f,(,x,)/,f,(,x,),1),，则,f,(,x,),为奇函数,若有,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,),f,(,x,),0,，,f,(,x,),f,(,x,),2,f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),f,2,(,x,),，,f,(,x,)/,f,(,x,),1),，则,f,(,x,),为偶函数,(2),图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断,(3),复合函数奇偶性的判断,若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为,“,同奇为奇，一偶则偶,”,9,4,函数奇偶性的应用,(1),已知函数的奇偶性求函数的解析式,抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于,f,(,x,),的方程，从而可得,f,(,x,),的解析式,(2),已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由,f,(,x,),f,(,x,),0,产生关于,x,的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值,10,三、函数的周期性,(1),对于函数,f,(,x,),，如果存在一个非零常数,T,，使得对定义域内的每一个,x,值，都满足,f,(,x,T,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),叫做周期函数,T,叫做这个函数的一个周期如果在周期函数,f,(,x,),的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期,(2),一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果,T,是,f,(,x,),的周期，则,kT,(,k,N,*,),也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期,11,误区警示,1,对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点,(1),函数的单调性是对某一个区间而言的例如，函数,f,(,x,),在区间,(,1,0),上是减函数，在,(0,1),上是减函数，但在,(,1,0)(0,1),上却不一定是减函数如函数,f,(,x,),.,(2),单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的,x,1,，,x,2,在这一区间上具有任意性,证明,f,(,x,),在区间,A,上的单调性时，,x,1,、,x,2,必须是,A,上的任意两个值，而要否定,f,(,x,),在区间,A,上具有某种单调性时，可取两个特殊值说明,12,(3),f,(,x,),在区间,A,上单调递增，则,x,1,、,x,2,A,，,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,f,(,x,),在区间,A,上单调递减，则,x,1,、,x,2,A,，,x,1,f,(,x,2,),2,在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域,3,判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称,13,一、方程的思想,运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的,例,1,已知函数,y,f,(,x,),是奇函数，,y,g,(,x,),是偶函数，且对于定义域内的任一,x,都有,f,(,x,),g,(,x,),x,2,2,x,，求,f,(,x,),与,g,(,x,),的解析式,分析：,利用函数的性质再得到一个关于,f,(,x,),与,g,(,x,),的等式，然后把,f,(,x,),，,g,(,x,),看作未知量，利用方程的观点求解,f,(,x,),，,g,(,x,),14,解析：,用,x,代替,x,得,f,(,x,),g,(,x,),(,x,),2,2,x,y,f,(,x,),为奇函数，,y,g,(,x,),为偶函数,f,(,x,),g,(,x,),x,2,2,x,它与,f,(,x,),g,(,x,),x,2,2,x,联立得,f,(,x,),2,x,，,g,(,x,),x,2,.,15,二、利用复合函数的单调性解题,对于复合函数,y,f,g,(,x,),，若,t,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上是单调增,(,减,),函数，且,y,f,(,t,),在区间,(,g,(,a,),，,g,(,b,),或者,(,g,(,b,),，,g,(,a,),上是单调函数，那么函数,y,f,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域,.,用定义证函数的单调性时，主要用作差法,16,t,g,(,x,),y,f,(,t,),y,f,g,(,x,),增,增,增,增,减,减,减,增,减,减,减,增,例,2,是否存在实数,a,，使函数,f,(,x,),log,a,(,ax,2,x,),在区间,2,4,上是增函数？如果存在，说明,a,可取哪些值；如果不存在，请说明理由,分析：,假设存在实数,a,，分,a,1,0,a,1,时，为使函数,y,f,(,x,),log,a,(,ax,2,x,),在闭区间,2,4,上是增函数，只需,g,(,x,),ax,2,x,在,2,4,上是增函数，,17,18,三、解题技巧,1,关于函数的恒等式问题,奇偶性与周期性的定义式都是恒等式,例,3,已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,2),f,(,x,),，则,f,(6),的值为,(,),A,1,B,0C,1 D,2,分析：,f,(,x,2),f,(,x,),是一个恒等式，,f,(,x,),f,(,x,),也是一个恒等式,求,f,(6),须利用上面两个恒等式对,x,赋值获得,解析：,f,(,x,),是奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(0),f,(0),，,f,(0),0,，,又,f,(,x,2),f,(,x,),恒成立，,f,(2),f,(0),0,，,f,(4),f,(2,2),f,(2),0,，,f,(6),f,(4,2),f,(4),0.,故选,B.,19,2,遇到,f,(,a,),与,f,(,a,),的值或关系问题一般从奇偶性入手探索,20,21,3,对于一般函数的性质讨论的选择题常用特例法求解,例,5,已知,f,(,x,),是,R,上的增函数，令,F,(,x,),f,(1,x,),f,(3,x,),，则,F,(,x,),是,R,上的,(,),A,增函数,B,减函数,C,先减后增函数,D,先增后减函数,解析：,用特例法，不妨设,f,(,x,),x,，则,F,(,x,),1,x,(3,x,),，即,F,(,x,),2,x,2,，显然,F,(,x,),在,R,上为减函数，故选,B.,22,例,1,已知函数 ，求函数,f,(,x,),的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性,解析：,由 ，解得,1,x,1,，且,x,0.,函数的定义域为,(,1,0)(0,1),f,(,x,),的定义域为,(,1,0)(0,1),关于原点对称，对,x,(,1,0)(0,1),，有,23,f,(,x,),为奇函数,下面研究,f,(,x,),在,(0,1),上的单调性，任取,x,1,、,x,2,(0,1),，且,x,1,0,1,x,1,0,，,(1,x,2,)(1,x,1,),1,x,1,x,2,x,1,x,2,0),f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，即,f,(,x,),在,(0,1),上单调递减,由于,f,(,x,),为奇函数，,f,(,x,),在,(,1,0),也是减函数,.,例,2,求下列函数的单调区间，并确定在每一单调区间上的单调性,(1),y,|,x,|(1,x,),(3),y,log,2,(6,x,2,x,2,),解析：,(1),f,(,x,),|,x,|(1,x,),，可得函数,f,(,x,),在区间,(,，,0,及,，,),上为减函数，在区间,0,，,上为增函数,26,27,28,函数,f,(,x,),的单调递增区间为,(,),解析：,y,在定义域上单调递增，而,y,x,x,2,在,，上单调递增，,由,x,x,2,0,得,0,x,1,，,单调递增区间为,.,29,例,3,已知定义域为,(,1,1),的奇函数,y,f,(,x,),又是减函数，且,f,(,a,3),f,(9,a,2,)0,，则,a,的取值范围是,(,),解析,：由条件得,f,(,a,3),f,(,a,2,9),，,f,(,x,),在,(,1,1),上单,调递减，,，,a,(2,，,3),故选,A.,30,(09,辽宁,),已知偶函数,f,(,x,),在区间,0,，,),上单调增加，则满足,f,(2,x,1)1,时，,f,(,x,)0,，且,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),(1),求,f,(1),；,(2),证明,f,(,x,),在定义域上是增函数；,(3),如果,f,(),1,，求满足不等式,f,(,x,),f,()2,的,x,的取值范围,35,分析：,因为对任意,x,，,y,(0,，,),都有,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),，故,(1),可用赋值法解决；,对于,(2),，要证明,f,(,x,),单调递增，用定义须证明,x,1,x,2,时，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，应充分注意到,x,1,时，,f,(,x,)0,这一条件来构造,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，还可以借助,(1),的结论讨论；,对于,(3),，欲化去函数符号,“,f,”,须应用单调性，故应把不等式两端变形为,f,(,x,1,),f,(,x,2,),的形式关键是利用已知条件,f,1,把,2,化为函数值的形式,36,解析：,(1),令,x,y,1,，得,f,(1),2,f,(1),，故,f,(1),0.,(2),令,y,，得,f,(1),f,(,x,),f,(),0,，故,f,(),f,(,x,),任取,x,1,，,x,2,(0,，,),，且,x,1,1,，故,f,()0,，从而,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数,37,38,例,6,设函数,f,(,x,),ax,(,a,1)ln(,x,1),，其中,a,1.,求,f,(,x,),的单调区间,解析：,由已知得函数,f,(,x,),的定义域为,(,1,，,),，且,f,(,x,),(,a,1),，,(1),当,1,a,0,时，,f,(,x,)0,时，由,f,(,x,),0,，解得,x,.,f,(,x,),、,f,(,x,),随,x,的变化情况如下表：,39,x,f,(,x,),0,f,(,x,),极小值,40,41,42,解析：,(1),由,0,，得定义域为,1,1),，关于原点不对称，故,f,(,x,),为非奇非偶函数,43,(3),当,x,0,，则,f,(,x,),(,x,),2,(,x,),x,2,x,f,(,x,),当,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,)1.,答案：,1,(1,，,),52,例,10,(,文,),f,(,x,),是定义在,R,上的以,3,为周期的奇函数,f,(2),0,，则函数,y,f,(,x,),在区间,(0,6),内的零点至少有,(,),A,2,个,B,3,个,C,4,个,D,5,个,解析：,f,(,x,),为奇函数，,f,(2),0,，,f,(,2),0,，,f,(,x,),以,3,为周期，,f,(,1),f,(2),0,，,f,(1),f,(,2),0,，,f,(4),f,(1),0,，,f,(5),f,(2),0.,另外，,f,(0),0,，,f,(3),0,，,在区间,(0,6),内至少有,5,个零点故选,D.,53,(,理,),函数,y,f,(,x,)(,x,0),是奇函数，且当,x,(0,，,),时是增函数，若,f,(1),0,，求不等式,f,x,(,x,)0,的解集,解析：,f,(1),0,，不等式可转化为,f,x,(,x,),f,(1),，,f,(,x,),在,(0,，,),上递增，,0,x,(,x,)1,，,x,或,x,0.,又因为,f,(,x,),是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且,f,(,1),f,(1),0,，,于是得,f,x,(,x,),f,(,1),，即有,x,(,x,),1,，,x,.,原不等式的解集是,x,|,x,或,x,0,54,总结评述：,解答本题易出现如下思维障碍：,(1),无从下手，不知如何脱掉,“,f,”,解决办法：含函数记号,“,f,”,的不等式，一般都是利用函数的单调性,(2),无法得到另一个不等式解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反，提到奇偶性，通常要分类讨论,(3),错误得到不等式,x,(,x,)1.,解决办法：注意函数定义域对,x,的限制,55,(,文,),已知,y,f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数，且,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，如果,x,1,0,，且,|,x,1,|0 B,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0 D,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,解析：,x,1,0,，,|,x,1,|,x,2,|,0,x,1,x,2,又,f,(,x,),是,(0,，,),上的增函数，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),又,f,(,x,),为定义在,R,上的偶函数，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,时，,f,(,x,)0,，,g,(,x,)0,，则,x,0,，,g,(,x,)0B,f,(,x,)0,，,g,(,x,)0,C,f,(,x,)0D,f,(,x,)0,，,g,(,x,)0,解析：,依题意得,f,(,x,),是奇函数，在,(0,，,),上是增函数，故在,(,，,0),上是增函数，即当,x,0,；,g,(,x,),是偶函数，在,(0,，,),上是增函数，故在,(,，,0),上是减函数，即在,x,0,时，,g,(,x,)0,，,y,无最小值，故选,A.,59,(,理,),若函数,f,(,x,),log,a,(2,x,2,x,)(,a,0,，,a,1),在区间,(0,，,),内恒有,f,(,x,)0,，则,f,(,x,),的单调递增区间为,(,),A,(,，,)B,(,，,),C,(0,，,)D,(,，,),答案,D,解析,由于,u,2,x,2,x,在,(0,，,),上为增函数，且,u,(0,1),，又知,f,(,x,)0,，,0,a,1,，故,f,(,x,),log,a,(2,x,2,x,),的增区间为,(,，,),，故选,D.,60,3,(,文,),若函数,f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数，在,(,，,0,上是减函数，且,f,(2),0,，则使得,f,(,x,)0,的,x,的取值范围是,(,),A,(,，,2)B,(,2,2),C,(2,，,)D,(,，,2)(2,，,),答案,B,61,解析,由题意知,f,(,2),f,(2),0,，当,x,(,2,0),时，,f,(,x,),f,(,2),0,，由对称性知，,x,0,2),时，,f,(,x,),为增函数，,f,(,x,),f,(2),0,，故,x,(,2,2),时，,f,(,x,)0,的,x,的取值范围是,(,),A,(3,，,)B,(0,，,),C,(0,，,)D,(0,，,)(3,，,),答案,D,63,4,定义在,R,上的函数,f,(,x,),既是奇函数，又是周期函数，,T,是它的一个正周期若将方程,f,(,x,),0,在闭区间,T,，,T,上的根的个数记为,n,，则,n,可能是,(,),A,0,B,1,C,3,D,5,答案,D,解析,f,(,x,),为奇函数，,f,(0),f,(0),，,f,(0),0,，,0,是方程,f,(,x,),0,的一个根，,又,T,为,f,(,x,),的周期，,f,(,T,),f,(,T,),f,(0),0,，,T,，,T,是方程,f,(,x,),0,的两个根,64,65,5,已知函数,y,f,(,x,),是偶函数，,y,f,(,x,2),在,0,2,上是单调减函数，则,(,),A,f,(0),f,(,1),f,(2)B,f,(,1),f,(0),f,(2),C,f,(,1),f,(2),f,(0)D,f,(2),f,(,1),f,(0),答案,A,解析,由,f,(,x,2),在,0,2,上单调递减，,f,(,x,),在,2,0,上单调递减,y,f,(,x,),是偶函数，,f,(,x,),在,0,2,上单调递增,又,f,(,1),f,(1),，故应选,A.,66,二、填空题,6,在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算,“”,如下：,当,a,b,时，,a,b,a,；当,a,b,时，,a,b,b,2,.,则函数,f,(,x,),(1,x,),x,(2,x,)(,x,2,2),的最大值等于,_(“”,和,“,”,仍为通常的乘法和减法,),答案,6,解析,当,x,2,1,时，,f,(,x,),1,x,2,x,2,，,f,(,x,),max,1,；当,x,(1,2,时，,f,(,x,),x,2,x,2,x,3,2,，,f,(,x,),max,6,，故填,6.,67,7,(,文,),若函数,y,mx,2,x,5,在,2,，,),上是增函数，则,m,的取值范围是,_,答案,0,m,解析,显然,m,0,时，只需对称轴,x,2,，,m,，,0,m,，综上所述,0,m,.,68,69,三、解答题,8,(,文,),已知定义域为,R,的函数,f,(,x,),满足,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,.,(1),若,f,(2),3,，求,f,(1),；,(2),若,f,(0),a,，求,f,(,a,),解析,因为对任意,x,R,，有,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,，,所以,f,(,f,(2),2,2,2),f,(2),2,2,2.,(1),由,f,(2),3,，得,f,(1),1.,(2),若,f,(0),a,，则,f,(,a,),a,.,70,(,理,),已知,f,(,x,),、,g,(,x,),都是定义在,R,上的奇函数，若,F,(,x,),af,(,x,),bg,(,x,),2,在区间,(0,，,),上的最大值为,5,，求,F,(,x,),在,(,，,0),上的最小值,解析,令,af,(,x,),bg,(,x,),h,(,x,),，则,h,(,x,),为奇函数,x,(0,，,),时，,F,(,x,)5,，故,h,(,x,),af,(,x,),bg,(,x,)3.,F,(,x,),h,(,x,),2,h,(,x,),2,1.,F,(,x,),在,(,，,0),上的最小值为,1.,71,72,请同学们认真完成课后强化作业,