高三数学 3.8(函数的最大值与最小值)课件 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.8,函数的最大值与最小值,教学目标：,1,、使学生掌握可导函数,在闭区间,上 所有点（包括端点,）处的函数中的最大（或最小）值；,2,、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法,教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法,教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力,一、复习引入,如果在,x,0,附近的左侧,f,/,（,x,）,0,右侧,f,/,(x)0,那么,f(x,0,),是极大值,;,如果在,x,0,附近的左侧,f,/,(x)0 ,那么,f(x,0,),是极小值,.,2.,导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充,分条件,.,极值只能在函数的,导数为零且在其附近左右两侧的导数异号,时取到,.,3.,在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值,.,1.,当函数,f(x),在,x,0,处连续时,判别,f(x,0,),是极大,(,小,),值的方法是,:,二、新课,函数的最值,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,观察右边一个定义在区间,a,b,上的函数,y=f(x),的图象，你能找出函数,y=f,（,x,）在区间,a,，,b,上的最大值、最小值吗？,发现图中,_,是极小值，,_,是极大值，在区间上的函数的最大值是,_,，最小值是,_,。,f(x,1,),、,f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出,f(x,3,),是最小值，而,f(b),是最大值呢？,三、例题选讲,例,1,:,求函数,y=x,4,-2x,2,+5,在区间,-2,2,上的最大值与最小,值,.,解,:,令,解得,x=-1,0,1.,当,x,变化时,的变化情况如下表,:,x,-2,(-2,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,-,0,+,0,-,0,+,y,13,4,5,4,13,从上表可知,最大值是,13,最小值是,4.,一般地，求函数,y=f(x),在,a,b,上的最大值与最小值的,步骤,如下：,:,求,y=f(x),在,(a,，,b),内的极值,(,极大值与极小值,);,:,将函数,y=f(x),的各极值与端点处的函数值,f(a),、,f(b),比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,.,求函数的最值时,应注意以下几点,:,(1),函数的,极值是,在局部范围内讨论问题,是一个,局部概,念,而函数的,最值,是对整个定义域而言,是在整体范围,内讨论问题,是一个,整体性的概念,.,(2),闭区间,a,b,上的连续函数一定有最值,.,开区间,(a,b),内,的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极,值必是函数的最值,.,(3),函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值,(,极小值,),不一定就是最大值,(,最小值,),但除端点外在区间内部的最大值,(,或最小值,),则一定是极大值,(,或极小值,).,(,4),如果函数不在闭区间,a,b,上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值,.,(5),在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,(,这样的函数称为单峰函数,),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较,.,延伸,1,:,设,函数 的最,大值为,1,最小值为,求常数,a,b.,解,:,令 得,x=0,或,a.,当,x,变化时,f(x),的变化情况如下表,:,x,-1,(-1,0),0,(0,a),a,(a,1),1,f(x),+,0,-,0,+,f(x),-1-3a/2+b,b,-a,3,/2+b,1-3a/2+b,由表知,当,x=0,时,f(x),取得极大值,b,而,f(0)f(a),f(0),f(-1),f(1)f(-1).,故需比较,f(1),与,f(0),的大小,.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以,f(x),的最大值为,f(0)=b,故,b,=1.,又,f(-1)-f(a)=(a+1),2,(a-2)/21,0,x1,求函数,f(x)=x,p,+(1-x),p,的值域,.,说明,:,由于,f(x),在,0,1,上连续可导,必有最大值与最小值,因此求函数,f(x),的值域,可转化为求最值,.,解,:,令,则得,x,p-1,=(1-x),p-1,即,x=1-x,x=1/2.,而,f(0)=f(1)=1,因为,p1,故,11/2,p-1,.,所以,f(x),的最小值为,最大值为,1.,从而函数,f(x),的值域为,练习,2,:,求函数,f(x)=p,2,x,2,(1-x),p,(p,是正数,),在,0,1,上的最,大值,.,解,:,令,解得,在,0,1,上,有,f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是,练习,1,:,求函数,f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+14,在区间,-3,4,上的最,大值和最小值,.,答案,:,最大值为,f(4)=142,最小值为,f(1)=7.,四、实际应用,1.,实际问题中的应用,.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的,最大,(,小,),值的问题,.,建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路,.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域,.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大,(,小,),值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大,(,小,),值,.,这里所说的也适用于开区间或无穷区间,.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”,.,例,1:,在边长为,60cm,的正,方形铁皮的四角切去相等,的正方形,再把它的边沿虚,线折起,(,如图,),做成一个无,盖的方底箱子,箱底边长为,多少时,箱子的容积最大,?,最大容积是多少,?,解,:,设箱底边长为,x,则箱高,h=(60-x)/2.,箱子容积,V(x)=x,2,h=(60 x,2,-x,3,)/2(0 x60).,令,解得,x=0(,舍去,),x=40.,且,V(40)=,16000.,由题意可知,当,x,过小,(,接近,0),或过大,(,接近,60),时,箱子的容积很小,因此,16000,是最大值,.,答,:,当,x=40cm,时,箱子容积最大,最大容积是,16000cm,3,.,引言问题,:,圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省,?,解,:,设圆柱的高为,h,底半径为,r,则表面积,S=2,rh+2,r,2.,由,V=,r,2,h,得,则,令,解得,从而,即,h=2r.,由于,S(r),只有一个极值,所以它是最小值,.,答,:,当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省,.,例,2:,如图,铁路线上,AB,段长,100km,工厂,C,到铁路的,距离,CA=20km.,现在要,在,AB,上某一处,D,向,C,修,一条公路,.,已知铁路每吨,千米与公路每吨千米的运费之比为,3:5.,为了使原料,从供应站,B,运到工厂,C,的运费最省,D,应修在何处,?,B D A,C,解,:,设,DA=xkm,那么,DB=(100-x)km,CD=,km.,又设铁路上每吨千米的运费为,3t,元,则公路上每吨千米的运费为,5t,元,.,这样,每吨原料从供应站,B,运到工厂,C,的总运费为,令,在 的范围内有,唯一解,x=15.,所以,当,x=15(km),即,D,点选在距,A,点,15,千米时,总运费最省,.,注,:,可以进一步讨论,当,AB,的距离大于,15,千米时,要找的,最优点总在距,A,点,15,千米的,D,点处,;,当,AB,之间的距离,不超过,15,千米时,所选,D,点与,B,点重合,.,练习,:,已知圆锥的底面半径为,R,高为,H,求内接于这个圆,锥体并且体积最大的圆柱体的高,h.,答,:,设圆柱底面半径为,r,可得,r=R(H-h)/H.,易得当,h=H/3,时,圆柱体的体积最大,.,2.,与数学中其它分支的结合与应用,.,x,y,例,1:,如图,在二次函数,f(x)=,4x-x,2,的图象与,x,轴所,围成的图形中有一个,内接矩形,ABCD,求这,个矩形的最大面积,.,解,:,设,B(x,0)(0 x2),则,A(x,4x-x,2,).,从而,|AB|=4x-x,2,|BC|=2(2-x).,故矩形,ABCD,的面积,为,:S(x)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0 x0,得,x=1.,而,0 x1,时,所以,x=1,是,f(x),的极小值点,.,所以当,x=1,时,f(x),取最小值,f(1)=1.,从而当,x0,时,f(x),1,恒成立,即,:,成立,.,五、小结,1.,求在,a,b,上连续,(a,b),上可导的函数,f(x),在,a,b,上的,最值的步骤,:,(1),求,f(x),在,(a,b),内的极值,;,(2),将,f(x),的各极值与,f(a),、,f(b),比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值,.,2.,求函数的最值时,应注意以下几点,:,(1),要正确区分极值与最值这两个概念,.,(2),在,a,b,上连续,(a,b),上可导的函数,f(x),在,(a,b),内未,必有最大值与最小值,.,(3),一旦给出的函数在,(a,b),上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤,(2),中,要把这些点的函数值与各极值,和,f(a),、,f(b),放在一起比较,.,3.,应用问题要引起重视,.,(1),利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、,不等式的证明及解法中有广泛的作用。,(2),在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内,存在最大,(,小,),值,而且函数在这个定义域内又只有,唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函,数值就是最大,(,小,),值,这一点在解决实际问题时很,有用,.,六、作业,