高三数学 52平面向量基本定理及坐标表示复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 平面向量的基本定理,及坐标表示,基础梳理,1.,平面向量基本定理及坐标表示,(1),平面向量基本定理,定理,:,如果,e,1,e,2,是同一平面内的两个,的向量,那么对于这一平面内的任意向量,a,一对实数,1,2,使,a,=,.,其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,.,(2),平面向量的正交分解,一个平面向量用一组基底,e,1,e,2,表示成,a,=,1,e,1,+,2,e,2,的形式,我们称它为向量,a,的分解,.,当,e,1,e,2,所在直线,时,这种分解称为向量,a,的正交分解,.,不共线,有且只有,1,e,1,+,2,e,2,不共线的向量,e,1,e,2,互相垂直,(3),平面向量的坐标表示,一般地,对于向量,a,当它的起点移至原点,O,时,其终点的坐标,(,x,y,),称为向量,a,的,(,直角,),坐标,记作,.,若分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底,则,a,=x,i,+y,j,.,2.,平面向量的坐标运算,(1),加法、减法、数乘运算,向量,a,b,a,+,b,a,b,a,坐标,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),a,=(,x,y,),（,x,1,+x,2,y,1,+y,2,),（,x,1,-x,2,y,1,-y,2,）,(,x,1,y,1,),(2),向量坐标的求法,已知,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,=(x,2,x,1,y,2,y,1,),即一个向,量的坐标等于该向量,的坐标减去,的坐标,.,(3),平面向量中平行,(,共线,),向量的坐标表示,设,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),其中,a,0,则,a,与,b,共线,b,=,.,终点,始点,a,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,基础达标,1.(,必修,4P73,练习,5,改编,),已知,A(2,3),B(5,3),a,=(x+1,x-2y),与 相等，则实数,x,y,的值分别是,.,2.,已知,a,=(-2,3),b,=(1,5),则,3,a,+,b,=,.,3.(2011,湖南雅礼中学月考,),已知点,G,是,ABC,的重心，,(,R,),那么,+,=,.,4.(,必修,4P75,练习,1,改编,),向量,a,=(2,5),与,b,=(x,-15),平行,则,x=,.,5.(,必修,4P73,练习,2,改编,),已知,O,是坐标原点，点,A,在第一象限，,xOA=60,则 的坐标为,.,2,，,1,(,5,，,14),6,经典例题,题型一 平面向量基本定理,【,例,1】,如图,在,OAB,中,AD,与,BC,交于点,M,设,=a,=b,以,a,、,b,为基底表示,.,分析：本题可用待定系数法,设,=,m,a,+n,b,(m,nR,),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定,m,n,的值,.,解：设,=m,a,+n,b,(m,nR,),则,=(m-1),a,+n,b,.,因为,A,M,D,三点共线,所以,即,m+2n=1.,而,又因为,C,M,B,三点共线,所以,即,4m+n=1.,由,解得,所以,.,变式,1-1,如图所示，,OADB,是以向量,=a,=b,为边的平行四边形，点,C,为对角线,AB,、,OD,的交点，又,BM=BC,CN=CD,试用,a,b,表示,.,又,题型二 平面向量的坐标运算,【,例,2】,已知点,A(-1,2),B(2,8),以及,求点,C,、,D,的坐标和,CD,的坐标,.,分析：根据题意可设出点,C,、,D,的坐标,然后利用,已知的两个关系式列方程组,求出坐标,.,解：设点,C,、,D,的坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),由题意得,AC=(x,1,+1,y,1,-2),AB=(3,6),DA=(-1-x,2,2-y,2,),BA=(-3,-6).,因为,所以有,和,解得,和,所以点,C,、,D,的坐标分别是,(0,4),(-2,0),从而,=(-2,-4).,变式,2-1,（,2010,山东改编）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的,a,=(,m,n),b,=(,p,q,),，令,a,b,=,mq,np,，则下面说法错误的有,.,（写出所有错误说法的序号）,若,a,与,b,共线，则,a,b,=0;,a,b,=,b,a,;,对任意的,R,，有,(,a,),b,=,(,a,b,).,若,a,与,b,共线，则有,a,b,=,mq-np,=0,，故正确；,因为,b,a,=,pn-qm,，而,a,b,=,mq-np,所以,a,b,b,a,，故错误；,易证正确,.,故应该填,.,解析：,题型三 平面向量的坐标表示,【,例,3】,平面内给定三个向量,a,=(3,2),b,=(-1,2),c,=(4,1).,(1),若,(,a,+k,c,)(2,b,-,a,),求实数,k;,(2),设,d,=(,x,y,),满足,(,d,-,c,)(,a,+,b,),且,|,d,-,c,|=1,求,d,.,分析：,(1),由两向量平行的条件得出关于,k,的方程,从而求出实数,k,的值,.,(2),由两向量平行及,|,d,-,c,|=1,得出关于,x,y,的两个方程,解方程组,即可得出,x,y,的值,从而求出,d,.,解：,(1)(,a,+k,c,)(2,b,-,a,),又,a,+k,c,=(3+4k,2+k),2,b,-,a,=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=.,(2),d,-,c,=(x-4,y-1),a,+,b,=(2,4),又,(,d,-,c,)(,a,+,b,),且,|,d,-,c,|=1,解得,变式,3-1,已知梯形,ABCD,中，,A(1,1),B(3,2),C(,3,7),若,求,D,点坐标,.,解：,设,D,点坐标为,(,x,y,),则,=(x-1,y-1),=(2,-3),=(x+3,y+7),=(-6,-5),2(y+7)+3(x+3)=0,即,3x+2y+23=0,又,(x-1)+10(y-1)=0,即,x+10y-11=0,由,得,D,点坐标为,(-9,2).,题型四向量的综合应用问题,【,例,4】,已知,O(0,0),、,A(1,2),、,B(4,5),及,试问,:,(1)t,为何值时,点,P,在,x,轴上,?,在,y,轴上,?,点,P,在第二象限,?,(2),四边形,OABP,能否成为平行四边形,?,若能,求出相应的,t,值,;,若不能,请说明理由,.,分析：利用向量相等，建立点,P,(,x,，,y,),与已知向量之,间的关系，表示出,P,点的坐标，然后根据实际问题,确定,P,点坐标的符号特征，,从而解决问题,解：,(1),O,(0,0),，,A,(1,2),，,B,(4,5),，,(1,2),，,(3,3),，,(1,3,t,2,3,t,),若点,P,在,x,轴上，则,2,3,t,0,，解得,t=,；,若点,P,在,y,轴上，则,1,3,t,0,，解得,t,；,若,P,在第二象限，则,解得,t,.,(2),(1,2),，,(3,3,t,，,3,3,t,),，,若四边形,OABP,为平行四边形，则 ，,而 无解，,故四边形,OABP,不能成为平行四边形,变式,4-1,如图所示,已知点,A(4,0),B(4,4),C(2,6),求,AC,和,OB,交点,P,的坐标,.,解析：,方法一：设,P,(,x,，,y,),，,则 ,(,x,，,y,),，,(4,4),，共线，,4,x,4,y,0.,又 ,(,x,2,，,y,6),，,(2,，,6),，,且向量 、共线，,6(,x,2),2(6,y,),0.,解由组成的方程组，得,x,3,，,y,3,点,P,的坐标为,(3,3),方法二：设,t,(4,4),(4,t,4,t,),，则,(4,t,4,t,),(4,0),(4,t,4,4,t,),，,又 ,(2,6),(4,0),(,2,6),，,由 ，共线的充要条件知,(4,t,4)6,4,t,(,2),0,，解得,t,，,(4,t,4,t,),(3,3),，,P,点坐标为,(3,3),易错警示,【,例,】,已知点,A(1,2),点,B(3,6),则与,AB,共线的单位向量为,.,错解由,A(1,2),B(3,6),知,.,错解分析与共线有两种情况,:,一是同向共线,一是反向共线,“,错解”中忽略了反向共线这一情况,.,正解,解析：,与同向时为 ，,与反向时为,.,链接高考,（,2010,陕西）已知向量,a,=(2,1),，,b,=(,1,m),c,=(,1,2),若,(,a,+,b,),c,，则,m=,.,知识准备：,1.,会进行向量的加法运算；,2.,知道向量平行的充要条件（平行向量的坐标表示）,.,解析：,a,b,(1,，,m,1),，,c,(,1,2),，,由,(,a,b,),c,，得,12,(,1)(,m,1),0,m,1.,