高三数学一轮复习 2.7 函数的奇偶性与周期性课件 理 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,了解奇函数、偶函数的定义,/,会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题,/,了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题,第,7,课时 函数的奇偶性与周期性,1,偶函数,一般地,，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做偶函数,(even function),偶函数的图象关于,y,轴对称,2,奇函数,一般地,，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做奇函数,(odd function),奇函数的图象关于原点对称,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),3,周期性,一般地,，对于函数,f,(,x,),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值时，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做,周期函数，非零常数,T,叫做这个函数的周期,对于一个周期函数,f,(,x,),，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做,f,(,x,),的,f,(,x,T,),f,(,x,),最小正周期,1,下列,函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是,(,),A,y,x,3,，,x,R,B,y,sin,x,，,x,R,C,y,x,，,x,R,D,y,(),x,，,x,R,答案：,A,2,(2010,豫南九校联考,),f,(,x,),x,的图象关于,(,),A,y,轴对称,B,直线,y,x,对称,C,坐标原点对称,D,直线,y,x,对称,解析,：,f,(,x,),的定义域为,(,，,0),(0,，,),，,又,f,(,x,),(,x,),f,(,x,),，,则,f,(,x,),为奇函数，图象关于原点对称,答案,：,C,3,已知定义在,R,上的,奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,2),f,(,x,),，则,f,(6),的值为,(,),A,1 B,0 C,1 D,2,解析：,由,f,(,x,2),f,(,x,),知,f,(,x,4),f,(,x,2),2,f,(,x,2),f,(,x,),，,故知函数,y,f,(,x,),的周期为,4,，,f,(6),f,(4,2),f,(2),f,(0),f,(,x,),是,R,上的奇函数,，,易知,f,(0),0,，,f,(6),f,(0),0,，,选,B.,答案：,B,4.,f,(,x,),，,g,(,x,),是定义在,R,上的函数，,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，则,“,f,(,x,),，,g,(,x,),均为偶函数,”,是,“,h,(,x,),为偶函数,”,的,(,),A,充要条件,B,充分而不必要的条件,C,必要而不充分条件,D,既不充分也不必要的条件,解析：,“,f,(,x,),，,g,(,x,),均为偶函数,”“,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),为偶函数,”,，,例如,f,(,x,),x,3,，,g,(,x,),x,3,，而,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),为偶函数,答案：,B,5,定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),，当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,x,1,，则,f,(,x,),_.,解析：,当,x,0,时，,f,(0),f,(0),，即,f,(0),0.,当,x,x,|,x,|,0,知,f,(,x,),ln(,x,),的定义域为,R,，,又,f,(,x,),ln,(,x,),ln,ln(,x,),f,(,x,),，,则,f,(,x,),为奇函数；,f,(,x,),的定义域为,R,，又,f,(,x,),f,(,x,),，,则,f,(,x,),为奇函数；,由,0,得,1,x,1,，,f,(,x,),ln,的定义域为,(,1,1),，,又,f,(,x,),ln,ln,(),1,ln,f,(,x,),，则,f,(,x,),为奇函数,答案：,D,研究函数奇偶性事实上是解决函数图象的对称问题，研究函数的图象和性质的大致过程应该是：求定义域,判断奇偶性,研究其它性质或作函数图象，这样可起到事半功倍的作用,(,利用对称可已知,“,一半,”,求,“,另一半,”,),【,例,2,】,已知,f,(,x,),x,(,)(,x,0),(1),判断,f,(,x,),的奇偶性,；,(2),证明,：,f,(,x,),0.,解答：,(1),解法一,：,f,(,x,),的定义域是,(,，,0),(0,，,),是偶函数,解法二,：,f,(,x,),的定义域是,(,，,0),(0,，,),，,f,(1),，,f,(,1),，,f,(,x,),不是奇函数,1),x,(,1,1),0,，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),是,偶函数,(2),证明：当,x,0,时，,2,x,1,2,x,1,0,，所以,f,(,x,),x,(,),0.,当,x,0,时，,x,0,，所以,f,(,x,),0,，又,f,(,x,),是偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),，所以,f,(,x,),0.,综上，均有,f,(,x,),0.,变式,2.,设偶函数,f,(,x,),对任意,x,R,，都有,f,(,x,3),，且当,x,3,，,2,时，,f,(,x,),2,x,，则,f,(113.5),的值是,(,),解析,：,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,6),f,(,x,3,3),f,(,x,),，,故,f,(,x,),的周期为,6.,答案,：,D,如果奇偶性是讲函数图象的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图象的平移，而函数图象的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数,f,(,x,),的图象关于直线,x,a,，,x,b,(,a,b,),对称，则,f,(,x,),为周期函数，其周期为,T,2(,b,a,),等,【例,3,】,设函数,f,(,x,),在,(,，,),上满足,f,(2,x,),f,(2,x,),，,f,(7,x,),f,(7,x,),，,且在闭区间,0,7,上只有,f,(1),f,(3),0.,(1),试判断函数,y,f,(,x,),的奇偶性；,(2),试求方程,f,(,x,),0,在闭区间,2 005,，,2 005,上的根的个数，并证明你的结论,解答：,(1),f,(1),0,，,且,f,(,x,),在,0,7,上只有,f,(1),f,(3),0,，且,f,(2,x,),f,(2,x,),，,令,x,3,，,f,(,1),f,(5),0,，,f,(,1),f,(1),，且,f,(,1),f,(1),(2),f,(10,x,),f,2,(8,x,),f,2,(8,x,),f,(,6,x,),f,7,(13,x,),f,7,(13,x,),f,(20,x,),，,f,(,x,),以,10,为周期又,f,(,x,),的图象关于,x,7,对称知，,f,(,x,),0,在,(0,10),上,有两个根，则,f,(,x,),0,在,(0,2 005,上有,201,2,402,个根；,在,2 005,0,上有,2002,400,个根；因此,f,(,x,),0,在闭区间上共有,802,个根,变式,3.,定义在,R,上的函数,y,f,(,x,),满足,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(1,x,),f,(1,x,),，,当,x,1,1,时,，,f,(,x,),x,3,，,则,f,(,2 009),的值是,(,),A,1 B,0 C,1 D,2,解析,：由已知条件,f,(4,x,),f,1,(3,x,),f,(,2,x,),f,(2,x,),f,1,(1,x,),f,(,x,),f,(,x,),则函数,y,f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,f,(,2 009),f,(2 009),f,(4,502,1),f,(1),1.,答案,：,A,函数的奇偶性和周期性是函数的重要性质之一，在确定函数定义域的基础上要首先考虑函数的奇偶性和周期性等，它对研究函数图象、值域及单调性等问题都会起到事半功倍的作用，要重点研究，考点一是判断函数的奇偶性和周期性；考点二是研究奇偶函数的性质；考点三是应用奇偶函数定义和奇偶函数的图象对称性和周期性解决函数问题在教学时要注意以下几点：,1,正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：,(1),定义域在数轴上关于原点对称是函数,f,(,x,),为奇函数或偶函数的必要非充分条,件；,(2),f,(,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(,x,),是定义域上的恒等式,【,方法规律,】,2,奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶 性，,有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),0,1(,f,(,x,),0),3,奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于,y,轴对称，反之也真利用这一,性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性,4,奇偶函数的性质,(1),奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于,y,轴成轴对称图,形，反之亦真因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性；,(2),奇,奇奇，偶,偶偶；,(3),奇,奇偶，偶,偶偶，奇,偶奇；,(4),函数,y,f,(,x,),，当,x,0,时有意义，则,f,(0),0,为,y,f,(,x,),是奇函数的必要条件,因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法：,定义法；,图象法；,性质法,5,可考虑将奇函数和偶函数的定义进行推广,6,若,y,f,(,x,),关于直线,x,a,，,x,b,(,a,b,),对称，则,f,(,x,),一定为周期函数，,2(,b,a,),为,y,f,(,x,),的周期,.,(,本题满分,4,分,),对于函数,f,(,x,),(,其中,a,为,实数,，,x,1),，,给出下列命题,：,当,a,1,时,，,f,(,x,),在定义域上为单调函数,；,f,(,x,),的图象关于点,(1,，,a,),对称,；,对任意,a,R,，,f,(,x,),都不是奇函数,；,当,a,1,时,，,f,(,x,),为偶函数,；,当,a,2,时，对于满足条件,2,x,1,x,2,的所有,x,1,、,x,2,总有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),3(,x,2,x,1,),其中正确命题的序号为,_.,解析,：,(1),当,a,1,时，,f,(,x,),的定义域为,(,，,1),(1,，,),，,又,f,(,x,),1,，函数的两个递减区间分别为,(,，,1),、,(1,，,),，,命题,错误,的图象关于点,(1,，,a,),对称，命题,正确；,(3),f,(0),1,，因此,f,(,x,),不是奇函数，,是正确命题；,(4),当,a,1,时，,f,(,x,),1(,x,1),因此,f,(,x,),不是偶函数，命题,不正确,【,答题模板,】,1.,本题源于教材中出现的,y,类型的函数，此种类型函数与反比例函数,y,有密切的关系，可通过解析式的变形和函数图象的变换，观察,y,的对称性和单调性,2,本题对函数,f,(,x,),的图象和性质进行了全方位的解读：,f,(,x,),a,若,a,1,，则,f,(,x,),1(,x,1),图象是直线,y,1,除去,(1,，,1),点；,【,分析点评,】,若,a,1,，则函数,f,(,x,),图象的对称中心是,(1,，,a,),；,当,a,1,时，函数,f,(,x,),的递减区间有两个，分别是,(,，,1),，,(1,，,),；,当,a,1,时，函数,f,(,x,),的递增区间有两个，分别是,(,，,1),，,(1,，,).,