高三数学函数的周期性与对称性 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的周期性与对称性,周期性的几个结论,若,f,（,x,+,a,）,f,（,x,+,b,）（,a,b,），则,f,（,x,）,是周期函数，,b,a,是它的一个周期；,若,f,（,x,+,a,）,f,（,x,）（,a,0,），则,f,（,x,）,是周期函数，,2,a,是它的一个周期；,若,f,（,x,+,a,）（,a,0,，且,f,（,x,）,0,），,则,f,（,x,）,是周期函数，,2,a,是它的一个周期,.,对称性的几个结论,若,f,（,x,+,a,）,f,（,b,x,），,则函数,f,（,x,）,的图象关于直线,x,对称，特别地，若,f,（,a,+,x,）,f,（,a,x,），,函数,f,（,x,）,的图象关于直线,x,a,对称；,若有,f,（,a,+,x,）,f,（,b,x,），,则函数,f,（,x,）,的图象关于点（，,0,）中心对称，特别地，若,f,（,a,+,x,）,f,（,a,x,），,则函数,f,（,x,）,的图象关于点（,a,，,0,）,中心对称,.,若,f,（,x,）,的图象有两条对称轴,x,a,和,x,b,（,a,b,），则,f,（,x,）,必为周期函数，且,2,b,a,是它的一个周期；,若,f,（,x,）,图象有两个对称中心（,a,，,0,）,和（,b,，,0,）（,a,b,），则,f,（,x,）,必为周期函数，且,2,b,a,为它的一个周期；,若,f,（,x,）,的图象有一对称轴,x,a,和一个对称中心（,b,，,0,）（,a,b,），则,f,（,x,）,必为周期函数，且,4,b,a,是它的一个周期,.,【,例,1】,已知函数,f,（,x,）,的定义域为,R,，,则下列命题中,:,若,f,（,x,2,）,是偶函数，则函数,f,（,x,）,的图象关于直线,x,2,对称；,若,f,（,x,+2,）,f,（,x,2,），,则函数,f,（,x,）,的图象关于原点对称；,函数,y,f,（,2+,x,）,与函数,y,f,（,2,x,）,的图象关于直线,x,2,对称；,函数,y,f,（,x,2,）,与函数,y,f,（,2,x,）,的图象关于直线,x,2,对称,.,其中正确的命题序号是,.,【,解析,】,是错误的，由于,f,（,x,2,）,是偶函数得,f,（,x,2,）,f,（,x,2,），,所以,f,（,x,）,的图象关于直线,x,2,对称；是错误的，由,f,（,x,+2,）,f,（,x,2,）得,f,（,x,+4,）,f,（,x,），,进而得,f,（,x,+8,）,f,（,x,），,所以,f,（,x,）,是周期为,8,的周期函数是错误的，在第一个函数中，用,x,代,x,，,y,不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于,y,轴对称；是正确的，令,x,2,t,，,则,2,x,t,，,函数,y,f,（,t,),与,y,f,（,t,）,的图象关于直线,t,0,对称，即函数,y,f,（,x,2,）与,y,f,（,2,x,）,的图象关于直线,x,2,对称,.,【,例,2】(2005,年,福建,),f,（,x,）,是定义在,R,上的以,3,为周期的奇函数，且,f,（,2,）,0,，,则方程,f,（,x,）,0,在区间（,0,，,6,）内解的个数的最小值是,(),A,2 B,3,C,4 D,5,【,解析,】,f,（,x,）,为奇函数，,f,（,0,）,0,，,又函数,f,（,x,）,以,3,为周期，且,f,（,2,）,0,，,f,（,2,）,0,，,f,（,1,）,0,，,f,（,4,）,0,，,f,（,3,）,0,，,f,（,5,）,0,，,在区间（,0,，,6,）内的解有,1,，,2,，,3,，,4,，,5.,故选,D.,【,例,3】,已知函数,f,（,x,）,的定义域为,x,x,R,且,x,1,，,f,（,x,+1,）,为奇函数，当,x,1,时，,f,（,x,）,2,x,2,x,+1,，,则当,x,1,时，,f,（,x,）,的递减区间是,（,）,A,，,+,）,B,（,1,，,C,，,+,）,D,（,1,，,【,解析,】,由,f,（,x,+1,）,为奇函数得,f,（,x,+1,）,f,（,x,+1,），,f,（,x,）,的图象关于点（,1,，,0,）中心对称，又由已知可画出,f,（,x,）,在（，,1,）上的图象，再根据中心对称画出,f,（,x,）,在（,1,，,+,）上的图象，由图象易知，,f,（,x,）,在 ，,+,）上单调递减，故应选,C.,【,例,4】,(,2005,年,广东,),对函数,f,（,x,），,当,x,（，）,时，,f,（,2,x,）,f,（,2+,x,），,f,（,7,x,）,f,（,7+,x,），,在闭区间,0,7,上，只有,f,（,1,）,f,（,3,）,0.,（,1,）,试判断函数,y,f,（,x,）,的奇偶性；,（,2,）试求方程,f,（,x,）,0,在闭区间,2005,，,2005,上的根的个数，并证明你的结论,.,【,解,】,（,1,）由已知得,f,（,0,）,0,，,f,（,x,）,不是奇函数，又由,f,（,2,x,）,f,（,2+,x,），,得函数,y,f,（,x,）,的对称轴为,x,2,，,f,（,1,）,f,（,5,）,0,，,f,（,1,）,f,（,1,），,f,（,x,）,不是偶函数,.,故函数,y,f,（,x,）,是非奇非偶函数；,(2),由,f,（,4,x,）,f,（,14,x,）,f,（,x,）,f,（,x,+10,），,从而知,y,f,（,x,）,的周期是,10.,又,f,（,3,）,f,（,1,）,0,，,f,（,11,）,f,（,13,）,f,（,7,）,f,（,9,）,0,，故,f,（,x,）,在,0,，,10,和,10,，,0,上均有两个解，从而可知函数,y,f,（,x,）,在,0,，,2005,上有,402,个解，在上,2005,，,0,有,400,个解，所以函数,y,f,（,x,）,在,2005,，,2005,上有,802,个解,.,