高三数学导数的概念 新课标 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学第三册（选修,I,）,导数的背景,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果,微积分的产生。,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。,来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。,学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。,问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积,V,一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？,一,.,瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为,s,s,(,t,)(,表示位移,t,表示时间,),求物体在,t,0,时刻的速度,如图设该物体在时刻,t,0,的位置是,(t,0,),OA,0,在时刻,t,0,+,t,的位置是,s,(t,0,+,t)=,OA,1,则从,t,0,到,t,0,+,t,这段时间内,物体的位移是,:,在时间段,(t,0,+,D,t),t,0,=,D,t,内，物体的平均速度为,:,问题,1,：一个小球自由下落，它在下落,3,秒时的速度是多少？,平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过,瞬时速度来反映,.,如果物体的运动规律是,s=,s(t,),，那么物体在时刻,t,的,瞬时速度,v,，就是物体在,t,到,t+,t,这段时间内，当,t,0,时平均速度,:,例,1:,物体作自由落体运动,运动方程为：其中位 移单位是,m,时间单位是,s,g,=10m/s,2,.,求：,(1),物体在时间区间,2,2.1,上的平均速度；,(2),物体在时间区间,2,2.01,上的平均速度；,(3),物体在,t,=2(s),时的瞬时速度,.,解,:,(1),将,t=0.1,代入上式，得,:,(2),将,t=0.01,代入上式，得,:,即物体在时刻,t,0,=2(s),的,瞬时速度,等于,20(m/s).,当时间间隔,t,逐渐变小时,平均速度就越接近,t,0,=2(s),时的,瞬时速度,v,=20(m/s).,练习,:,某质点沿直线运动,运动规律是,s=5t,2,+6,求,:,(1)2,t,2+,t,这段时间内的平均速度,这里,t,取值,范围为,1;,(2)t=2,时刻的瞬时速度,.,一、物理意义,瞬时速度,当 越来越小的时候，越来越接近某时刻的瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,二,.,边际成本,问题,二,：设成本为,C,，,产量为,q,，,成本与产量的函数关系式为,，我们来研究当,q,50,时，,产量变化对成本的影响,在本问题中，成本的增量为：,产量变化对成本的影响可用：,来刻划，越小，越接近,300,；,当 无限趋近于,0,时，无限趋近于,300,，我们就说,当 趋向于,0,时，的极限是,300.,我们把 的极限,300,叫做当,q,50,时,的,边际成本,.,一般地，设,C,是成本，,q,是产量，成本与产量的函数关系式为,C,C,（,q,），,当产量为 时，产量变化对成本的影响可用增量,比,刻划,.,如果 无限趋近于,0,时，无限趋近于常数,A,，,经济学上称,A,为边际成本,.,它表明当产量为,q,0,时，增加单位产量需付出成本,A,（,这是实际付出成本的一个近似值）,.,二、实际应用,边际成本,我们研究函数增量与自变量的关系：,如果 无限趋于,0,时，无限趋近于常数,A,，经济学上称,A,为,边际成本,，它表明当产量为 时，增加单位产量需付出成本,A,引入,问题,:,曲线,y=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线方程是什么,?,P(1,2),y=x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,法一,:,判别式法,引入,问题,:,曲线,y=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线方程是什么,?,法二,:,函数极限法,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,3.,曲线的切线,y=,f(x,),P,Q,M,x,y,O,x,y,P,y=,f(x,),Q,M,x,y,O,x,y,如图,曲线,C,是函数,y=,f(x,),的图象,P(x,0,y,0,),是曲线,C,上的,任意一点,Q(x,0,+,x,y,0,+,y),为,P,邻近一点,PQ,为,C,的割线,PM/x,轴,QM/y,轴,为,PQ,的,倾斜角,.,P,Q,o,x,y,y=,f(x,),割线,切线,T,请看当,点,Q,沿着曲线逐渐向点,P,接近时,割线,PQ,绕着点,P,逐渐转动的情况,.,我们发现,当点,Q,沿着曲线无限接近点,P,即,x,0,时,割线,PQ,有一个极限位置,PT,.,则我们把,直线,PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0,时,割线,PQ,的斜率,称为曲线在点,P,处的,切线的斜率,.,即,:,这个概念,:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,;,切线斜率的本质,函数平均变化率的极限,.,要注意,曲线在某点处的切线,:1),与该点的位置有关,;,2),要根据割线是否有极限位置来判断与求解,.,如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的,;,如不存在,则在此点处无切线,;3),曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个,.,例,1:,求曲线,y=,f(x,)=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线方程,.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线方程为,y-2=2(x-1),即,y=2x.,求曲线在某点处的切线方程,的基本步骤,:,先利用切线斜率,的定义求出切线的斜率,然后,利用点斜式求切线方程,.,例,2:,已知曲线 上一点,P(1,2),用斜率的定义求,过点,P,的切线的倾斜角和切线方程,.,故过点,P,的切线方程为,:y-2=1,(x-1),即,y=x+1.,练习,:,求曲线 上一点,P(1,-1),处的切线方程,.,答案,:,y=3x-4,.,二、小结,1,、瞬时速度是平均速度 当 趋近于,0,时的极限；,2,、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率,当 趋近于,0,时的极限；,3,、边际成本是平均成本 当 趋近于,0,时的极限,.,导数的概念,从,上面三个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数,学表达式结构是一样的,即计算极限,这就是我们要学习的导数的定义,.,定义,：设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处及其附近有定义,当自变量,x,在点,x,0,处有改变量,x,时函数有相应的改变量,y=f(,x,0,+,x)-f(,x,0,).,如果当,x,0,时,y/,x,的极限存在,这个极限就叫做函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,(,或变化,率,),记作 即,:,如,瞬时速度就是位移函数,s(t,),对时间,t,的导数,.,是,函数,f,(,x,),在以,x,0,与,x,0,+,x,为端点的区间,x,0,x,0,+,x(,或,x,0,+,x,x,0,),上的,平均变化率,而导数则是函数,f,(,x,),在点,x,0,处的,变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数,y=,f(x,),在点,x=x,0,存在导数,就说函数,y=,f(x,),在点,x,0,处,可导,如果极限不存在,就说函数,f(x,),在点,x,0,处,不可导,.,由导数的意义可知,求函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数的基本方法是,:,注意,:,这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负,.,自变量的增量,x,的形式是多样的,但不论,x,选择,哪种形式,y,也必须选择与之相对应的形式,.,例,1:(1),求函数,y=x,2,在,x=,1,处的导数,;,(2),求函数,y=x+1/x,在,x=2,处的导数,.,如果函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内可导,.,这时,对每一个,x,(a,b,),都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间,(,a,，,b,),内就构成一个新的函数,.,这个新的函数叫做函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内的,导函数,记作,即,:,在不致发生混淆时，导函数也简称,导数,如果函数,y=,f(x,),在点,x,0,处可导,那么函数在点,x,0,处连续,求函数,y=,f(x,),的导数可分如下三步,:,4.,导数的几何意义,函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数的几何意义，就是曲线,y=,f(x,),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线的斜率，即曲线,y=,f(x,),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线的斜率是,.,故,曲线,y=,f(x,),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线方程是,:,例,1:,设,f(x,),为可导函数,且满足条件,求曲线,y=,f(x,),在点,(1,f(1),处的切线的斜率,.,故所求的斜率为,-2.,例,2:,如图,已知曲线,求,:,(1),点,P,处的切线的斜率,;(2),点,P,处的切线方程,.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点,P,处的切线的斜率等于,4.,(2),在点,P,处的切线方程是,y-8/3=4(x-2),即,12x-3y-16=0.,例,2:,设函数,f(x,),在点,x,0,处可导,求下列各极限值,:,分析,:,利用函数,f(x,),在点,x,0,处可导的条件,将题目中给定,的极限恒等变形为导数定义的形式,.,注意在导数定,义中,自变量的增量,x,的形式是多样的,但不论,x,选择哪种形式,y,也必须,选择与之相对应的形式,.,练习,1:,设函数,f(x,),在点,x,0,处可导,求下列各极限值,:,6.,小结,a.,导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数,学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物,理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过,程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.,要切实掌握求导数的三个步骤：（,1,）求函数的增,量；（,2,）求平均变化率；（,3,）取极限，得导数。,c.,弄清“函数,f(x,),在点,x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”,之间的区别与联系。,（,1,）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改,变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个,常数，不是变数。,（,2,）函数的导数，是指某一区间内任意点,x,而言的,就是函数,f(x,),的导函数 。,（,3,）如果,函数,y,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内可导，这时，,对于开区间内每一个确定的值,x,0,，都对应着一,个确定的导数 ，这样就在开区间,(,a,b,),内,可构成一个新的函数，称作,f(x,),的导函数。,（,4,）函数,f(x,),在点,x,0,处的导数 就是导函数,在,x=x,0,处的函数值，即 。这也是,求函数在点,x,0,处的导数的方法之一。,（,1,）求出函数在点,x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点,(x,0,f(x,0,),的切线的斜率。,（,2,）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,求切线方程的步骤：,