高中数学 第十章 复数 103 复数的三角形式及其运算课件 新人教B版必修第四册 课件.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,10.3,复数,的,三角形,式及其运算,第,十,章,复,数,学习目标,1.通过复数的几何意义，了解,复数的三角表示,.,2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.,3.了解,辐角,、,辐角主值,等概念.,4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.,重点,：,复数的三角表示.,难点,：,复数乘除运算的三角表示及其几何意义.,知识梳理,一、复数的三角形式,【尝试与发现】,设复数z1+,i在复平面内对应的点为Z，,（1）写出点Z的坐标，并在,图中,描出点Z的位置,，,作,出向量,；,（2）记r为向量,的模，是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出的任意一个值，探讨r，与z1+,i的实部、虚部之间的关系.,复数的三角形式的定义：,一,般地，如果非零复数za+bi（a，b,）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量,的模，是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，,则,r,|z|,，,根据任意角余弦、正弦的定义可知,cos,，sin,.,因此,a,rcos,，,b,rsin,，如图所示，,从而,z,a,+,b,i（,rcos,）+（,rsin,）i,r（cos+isin）,，,上式的,右边,称为,非零复数,z,a+bi,的三角形式,（对应地，,a+bi,称为复数的代数形式），其中的,称为,z,的,辐角,.,显然，,任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,，而且,任意两个辐角之间都相差2的整数倍,.,特,别地，,在0，2）内的辐角称为z的,辐角主值,，,记作arg z,.,【,名师点拨,】,为,了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可,.,因,为,0,0（cos+isin）,，,其中可以为任意值,，所以我们也称上式为,复数0的三角形式,.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.,【特别提示】,（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法，它们可以相互转化.,（2）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.,（3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.,二、复数三角形式的乘除法,1.复数三角形式的乘法法则,【,尝试与发现,】,设z,1,r,1,（cos,1,+isin,1,），z,2,r,2,（cos,2,+isin,2,），,试,求出z,1,z,2,.,提示：,z,1,z,2,r,1,（cos,1,+isin,1,）r,2,（cos,2,+isin,2,）,r,1,r,2,（cos,1,cos,2,-sin,1,sin,2,）+i（sin,1,cos,2,+,cos,1,sin,2,）,r,1,r,2,cos（,1,+,2,）+isin（,1,+,2,）,.,由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：,r,1,（cos,1,+isin,1,）r,2,（cos,2,+isin,2,）,r,1,r,2,cos（,1,+,2,）+isin（,1,+,2,）.,z,1,的模乘以,z,2,的模等于,z,1,z,2,的,模,（简记：,模相乘,）,z,1,的辐角与,z,2,的辐角之和是,z,1,z,2,的辐,角,（简记,：,辐角相加,）,2.复数三角形式乘法的几何意义,设z,1,，z,2,对应的向量分别为,，,，,将,绕原点旋转,2,，,再将,的模变为原来的r,2,倍,，如果所得向量为,，则,对应的复数即为z,1,z,2,，如图所示.,当,2,0,时，按逆时针方向旋转角,2,，,当,2,0,时，,按顺时,针方向旋转,角,.,又因为,+,i,i,，所以一个复数与,i,相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转,，如图所示.,上,述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘,.,特别地，如果n,，则,r（cos+isin）,n,r,n,cos（n）+isin（n）.,3.复数三角形式的除法法则,【,尝试与发现,】,如果非零复数z的三角形式,为z,r（cos+isin），,利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出,的三角形式，并求出,z,的值.,提示,：一般地，如果非零复数zr（cos+isin,），,那,么,-是,的一个辐角,，因此,r,cos,（-）+,isin,（-）,，而,且z,r（cos+isin）rcos（-）+isin（-）,r,2,cos（-）+isin（-）r,2,.,由z,r,2,可得,，即,cos（-）+isin（-）.,这样一来，如果z,1,r,1,（cos,1,+isin,1,），z,2,r,2,（cos,2,+,isin,2,）（z,2,0），则,z,1,r,1,（cos,1,+isin,1,）,cos（-,2,）+isin（-,2,）,cos（,1,-,2,）+isin（,1,-,2,）,.,即,cos（,1,-,2,）+isin（,1,-,2,）.,模,相除,辐角,相减,4,.,复数三角形,式除法的,几何意义,设两个复数z,1,，z,2,对应的向量分别为,，,，把向量,绕原点O按顺时针方向旋转角,2,（如果,2,0，就要把,绕原点O按逆时针方向旋转角|,2,|），然后把它的模变为原来的,倍，得到向量,，,表示的复数就是,.,常考题型,一、复数的代数形式与三角形式的互化,1.将复数的代数形式化为三角形式,例,1,将以下复数表示为三角形式（辐角主值）：,（,1）,-i；（2）1+i；（3）5.,【注意】,非零复数zr（cos+isin）中，辐角可以取辐角主值，也可以取其他辐角，它们相差2的整数倍.,把复数的代数形式改写为三角形式的方法,（1）求出复数的模r,；,（2）,求出复数的一个辐角，cos,，sin,，其中所在象限与点（a，b）相同.,（3）一般取为复数z的辐角主值.,（4）将非零复数za+bi（a，b,R,）改写为zr（cos+isin）的形式.,训练题,1.复数,3i的三角形式为,.,2.将复数z1+cos,+isin,化为三角形式.,解,：,z,1+cos 2x+i,s,i,n,2x,2cos,2,x+i2,s,i,n,xcos x,2cos x,（,cos x+i,s,i,n,x,）,.,3.写出下列复数的辐角主值.,（1）,i；（2）,i.,2.将复数的三角形式化为代数形式,例2,将,复数,化为代数形式为,.,将复数的三角形式化为代数形式的,一般方法,1.计算出cos，sin 的值；,2.整理为a+bi（a，b,R,）的形式，其,中a,rcos，brsin.,训练题,1.复数z4,对应的点在第,象限.,2.已知z,1,，z,2,，,则z,1,+z,2,对应的点在第,象限.,一,一,二、利用复数的三角形式进行复数的乘除运算,1.复数的乘法运算,例,3,.,复数的乘法运算,1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的乘法公式进行计算，即,r,1,（,cos,1,+isin,1,）,r,2,（,cos,2,+isin,2,）,r,1,r,2,cos(,1,+,2,)+i sin(,1,+,2,).,2.若复数为代数形式，可以先化为三角形式再进行计算，也可利用代数形式计算.,2+2,i,64+64,i,B,复数的除法运算,1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的除法公式进行计算，即,cos（,1,-,2,）+isin（,1,-,2,）.,2.若复数为代数形式，较为简单的可直接利用代数形式进行计算，较为复杂的可以转化为三角形式后再计算，对含有乘方运算的，一般是先化为三角形式再进行计算.,D,三、复数乘法和除法的几何意义及其应用,例5,设复数z,1,+i，复数z,2,满足|z,2,|2，已知z,1,z,2,2,的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z,2,（0，），求z,2,的代数形式.,【解题提示】,将复数的代数形式化为三角形式，利用复数乘法的几何意义求得z,2,的三角形式，再将三角形式转化为代数形式.,C,A,3.已知复数z满足,，且arg,.,（1）求,的三角形式；,（2）记A，B，C分别表示复数,在复平面上的对应点.已知A，B，C三点成逆时针顺序，且,ABC为等边三角形，求arg,.,小结,1,.,复数,的,三角形式,z,a,+,b,i,r（cos+isin,）,的右边称为,非零复数,z,a+bi,的三角形,式,，,其,中的,称为,z,的辐角,.,在0，2）内的辐角称为z的,辐角主值,，,记作arg z,.,为,了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可,.,2,.,复数三角形式的乘法法则,r,1,（cos,1,+isin,1,）r,2,（cos,2,+isin,2,）,r,1,r,2,cos（,1,+,2,）+isin（,1,+,2,）.,3.复数三角形式的除法法则,cos（,1,-,2,）+isin（,1,-,2,）.,模,相乘,，辐角,相加,.,模,相除,，辐角,相减,.,