高考数学一轮复习 函数模型及应用课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十节 函数模型及应用,一、几类函数模型及其增长差异,1.,几类函数模型,函数模型,函数解析式,一次函数模型,f(x,),ax,b(a,、,b,为常数，,a0),二次函数模型,f(x,),ax,2,bx,c(a,，,b,，,c,为常数，,a0),函数模型,函数解析式,指数函数模型,f(x,),ba,x,c(a,，,b,，,c,为常数，,a0,且,a1),对数函数模型,f(x,),b,log,a,x,c,(a,，,b,，,c,为常数，,a,0,且,a1),幂函数模型,f(x,),ax,n,b(a,，,b,为常数，,a0),2.,三种增长型函数之间增长速度的比较,(1),指数函数,y,a,x,(a,1),与幂函数,y,x,n,(n,0),在区间,(0,，,),上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围,内,a,x,会小于,x,n,，但由于,a,x,的增长,x,n,的增长，因而,总存在一个,x,0,，当,x,x,0,，时有,.,a,x,x,n,快于,(2),对数函数,y,log,a,x(a,1),与幂函数,y,x,n,(n,0),对数函数,y,log,a,x(a,1),的增长速度，不论,a,与,n,值的大小,如何总会,y,x,n,的增长速度，因而在定义域内总存在,一个实数,x,0,，使,x,x,0,时有,.,由,(1)(2),可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但,它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在,(0,，,),上，总会存在一个,x,0,，使,xx,0,时有,.,慢于,log,a,x,2.,则应选,A.,答案：,A,2.,设甲、乙两地的距离为,a(a,0),，小王骑自行车以匀速从甲,地到乙地用了,20,分钟，在乙地休息,10,分钟后，他又以匀速从,乙地返回到甲地用了,30,分钟，则小王从出发到返回原地所经,过的路程,y,和其所用的时间,x,的函数图象为,(,),解析：,注意到,y,为,“,小王从出发到返回原地所经过的路,程,”,而不是位移，用定性分析法不难得到答案为,D.,答案：,D,3.,某企业去年销售收入,1000,万元，年成本为生产成本,500,万,元与年广告成本,200,万元两部分,.,若年利润必须按,p%,纳税，,且年广告费超出年销售收入,2%,的部分也按,p%,纳税，其他,不纳税,.,已知该企业去年共纳税,120,万元,.,则税率,p%,为,(,),A.10%,B.12%,C.25%D.40%,解析：,利润,300,万元，纳税,300,p,%,万元，,年广告费超出年销售收入,2%,的部分为,200,10002%,180(,万元,),，,纳税,180,p,%,万元，,共纳税,300,p,%,180,p,%,120(,万元,),，,p,%,25%.,答案：,C,4.,据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为,b,2009,年产生的垃圾量为,a,t,，由此预测，该区下一年的垃圾量,为,t,2014,年的垃圾量为,t.,解析：,由于,2009,年的垃圾量为,a,t,，年增长率为,b,，故下一年的垃圾量为,a,ab,a,(1,b,)t,，同理可知,2011,年的垃圾量为,a,(1,b,),2,t,，,，,2014,年的垃圾量为,a,(1,b,),5,t.,答案：,a(1,b),a(1,b),5,5.,某工厂生产某种产品固定成本为,2 000,万元，并且每生产,一单位产品，成本增加,10,万元,.,又知总收入,K,是单位产品数,Q,的函数，,K(Q),40Q,，则总利润,L(Q),的最大值,是,.,解析：,总利润,L(Q),40Q,10Q,2 000,(Q,300),2,2 500.,故当,Q,300,时，总利润最大值为,2 500,万元,.,答案：,2 500,万元,1.,在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次,函数模型，其增长特点是直线上升,(,自变量的系数大于,0),或直线下降,(,自变量的系数小于,0),；,2.,有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、,利润问题、产量问题等,.,一般利用函数图象的开口方向和,对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否,则极易出错,.,某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本,y(,万元,),与年产量,x(,吨,),之间的函数关系式可以近似地表示为,y,48x,8 000,，已知此生产线年产量最大为,210,吨,.,(1),求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；,(2),若每吨产品平均出厂价为,40,万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？,(1),用,x,表示出平均成本；,(2),利润收入支出，其收入为,40 x,，支出为,y.,【,解,】,(1),每吨平均成本为,(,万元,).,则,当且仅当 ，即,x,200,时取等号,.,年产量为,200,吨时，每吨平均成本最低为,32,万元,.,(2),设年获得总利润为,R(x,),万元，,则,R(x,),40 x,y,40 x,48x,8 000,88x,8 000,(x,220),2,1 680(0 x210).,R(x,),在,0,210,上是增函数，,x,210,时，,R(x,),有最大值为,(210,220),2,1 680,1 660.,年产量为,210,吨时，可获得最大利润,1 660,万元,.,1.,某厂生产某种产品的年固定成本为,250,万元，每生产,x,千,件，需另投入成本为,C(x,),，当年产量不足,80,千件时，,C(x,),10 x(,万元,),；当年产量不小于,80,千件时，,C(x,),51x,1450(,万元,).,通过市场分析，若每件售价为,500,元时，该厂年内生产该商品能全部销售完,.,(1),写出年利润,L(,万元,),关于年产量,x(,千件,),的函数解析式；,(2),年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利,润最大？,解：,(1),当,0 x80,，,x,N,*,时，,当,x,80,，,x,N,*,时，,(2),当,0,x,950.,综上所述，当,x,100,时，,L(x,),取得最大值,1000,，即年产量为,100,千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大,.,1.,很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，,而是由几个不同的关系式构成分段函数,.,如出租车票价与路,程之间的关系，就是分段函数,.,2.,分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可,以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，,再将其合到一起,.,要注意各段变量的范围，特别是端点值,.,某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过,4,吨时，每吨为,1.80,元，当用水超过,4,吨时，超过部分每吨,3.00,元,.,某月甲、乙两户共交水费,y,元，已知甲、乙两户该月用水量分别为,5x,3x(,吨,).,(1),求,y,关于,x,的函数；,(2),若甲、乙两户该月共交水费,26.4,元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费,.,用水量的不同，收费标准不同，甲、乙两户的,用水量分别为,5x,、,3x,，需分段列函数式，根据,所列的分段函数分析判断共交水费,26.4,元，甲、乙应分别为多少,.,【,解,】,(1),当甲的用水量不超过,4,吨时，即,5x4,，乙的用水量也不超过,4,吨，,y,1.8(5x,3x),14.4x,；,当甲的用水量超过,4,吨，乙的用水量不超过,4,吨，即,3x4,，且,5x4,时，,y,41.8,3x1.8,3(5x,4),20.4x,4.8.,当乙的用水量超过,4,吨，即,3x4,时，,y,241.8,3(3x,4),(5x,4),24x,9.6.,所以,(2),由于,y,f(x,),在各段区间上均单调递增，,当,x,0,，,时，,yf,()26.4,；,当,x,(,时，,yf,()26.4,；,当,x,(,，,),时，令,24x,9.6,26.4,，解得,x,1.5.,所以甲户用水量为,5x,7.5,吨，,付费,S,1,41.8,3.53,17.70(,元,),；,乙户用水量为,3x,4.5,吨，,付费,S,2,41.8,0.53,8.70(,元,),2.,某隧道长,2150,m,，通过隧道的车速不能超过,20,m,/,s,.,一个,由,55,辆车身长都为,10,m,的同一车型组成的车队,(,这种型号,的车能行驶的最高速度为,40,m,/,s,),匀速通过该隧道，设车,队的速度为,x,m,/,s,，根据安全和车流的需要，当,0 x10,时，,相邻两车之间保持,20,m,的距离；当,10 x20,时，相邻两车,之间保持,(),m,的距离,.,自第,1,辆车车头进入隧道,至第,55,辆车车尾离开隧道所用的时间为,y(,s,).,(1),将,y,表示为,x,的函数；,(2),求车队通过隧道所用的时间,y,的最小值及此时车队的速度,.(),解：,(1),由题意知，,当,0 x10,时，,当,10 x20,时，,当,10329.4,，,所以当车队的速度约为,17.3,m,/,s,时，车队通过隧道所用的时间,y,有最小值,329.4,s,.,指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查,.,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示,.,通常可表示为,y,a(1,p),x,(,其中,a,为原来的基础数，,p,为增长率，,x,为时间,),的形式,.,急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负,.,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前,.,(1),世界人口在过去,40,年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？,(2),我国人口在,1998,年底达到,12.48,亿，若将人口平均增长率控制在,1%,以内，我国人口在,2008,年底至多有多少亿？,以下数据供计算时使用：,数,N,1.010,1.015,1.017,1.310,2.000,对数,lg,N,0.0043,0.0065,0.0073,0.1173,0.3010,数,N,3.000,5.000,12.48,13.11,13.78,对数,lg,N,0.4771,0.6990,1.0962,1.1176,1.1392,增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型,.,【,解,】,(1),设每年人口平均增长率为,x,，,n,年前的人口,数为,y,，则,y(1,x),n,60,，则当,n,40,时，,y,30,，,即,30(1,x),40,60,，,(1,x),40,2.,两边取对数，则,40,lg,(1,x),lg,2,，,则,lg,(1,x),0.007525,，,1,x1.017,，得,x,1.7%.,故每年人口平均增长率是,1.7%,，,(2),依题意，,y12.48(1,1%),10,，,得,lg,y,lg,12.48,10,lg,1.01,1.1392,，,y13.78,，故人口至多有,13.78,亿,.,3.,某城市现有人口总数,100,万，如果年自然增长率为,1.2%,，,试解答下列问题：,(1),写出该城市人口总数,y(,万人,),与年数,x(,年,),的函数关系式；,(2),计算,10,年后该城市人口总数,(,精确到,0.1,万人,).,解：,(1)1,年后该城市人口总数为,y,100,1001.2%,100(1,1.2%).,2,年后该城市人口总数为,y,100(1,1.2%),100(1,1.2%)1.2%,100(1,1.2%),2,.,3,年后该城市人口总数为,y,100(1,1.2%),2,100(1,1.2%),2,1.2%,100(1,1.2%),3,.,x,年后该城市人口总数为,y,100(1,1.2%),x,.,所以该城市人口总数,y(,万人,),与年数,x(,年,),的函数关系是,y,100(1,1.2%),x,.,(2)10,年后人口总数为,100(1,1.2%),10,112.7(,万,).,所以,10,年后该城市人口总数为,112.7,万,.,本节内容以解答题为主，考查数学建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力，综合性较强，属于中高档题，考查内容多与导数、不等式等知识相结合,.2009,年湖南卷考查了函数的实际应用,.,(2009,湖南高考,),某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距,m,米,.,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,.,经测算，一个桥墩的工程费用为,256,万元；距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为,(2,),x,万元,.,假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素,.,记余下工程的费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式；,(2),当,m,640,米时，需新建多少个桥墩才能使,y,最小？,解,(1),设需新建,n,个桥墩，则,(,n,1),x,m,，,即,n,1,，,所以,y,f,(,x,),256,n,(,n,1)(2,),x,(2),由,(1),知，,f,(,x,),令,f,(,x,),0,，得 ，所以,x,64.,由于,f,(,x,),在区间,(0,64),上单调递减，在,(64,640),上单调递增,.,所以,f,(,x,),在,x,64,处取得最小值，,此时,故需新建,9,个桥墩才能使,y,最小,.,很多考生在解答本题时解题结果正确，但由于由,f(x,),0,得,x,64,，从而直接得,x,64,处取得最小值，其步骤不完整，从而失掉步骤分，造成,(,答案,),对而,(,得分,),不全的现象,.,