第二章 矩阵运算和行列式课件.pdf

第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算.历史“矩阵(matrix)”这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.他为了将数字的矩形 阵列区别于行列式(determinant)而发明 了这个述语.James Joseph Sylvester(1814.9.31897.3.15)2.2 2.3 2.4 2.5第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念，并发表了一系 列关于这个题目的 文章.Arthur Cayley(1821.8.161895.1.26)“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算实例例L某厂家向A,B,C三个商场发送四款产品.产品单价（元/箱）重量（Kg/箱）数量（箱）ABC甲2016200180190乙5020100120100丙3016150160140T2516180150150190100140150,180120160150200100150_180甲乙丙丁单价20 50 30 25_重量 L16 20 16 16_Ml第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算例2.四个城市间的单向航线如图所示.若用均表示从，市到/市航线的条数,则上图信息可表示为aua21a41。12 13。1422 23 2432 33。34“42 43 44111 0 0 0 10 0 0 10310即01“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算三.定义1.JMX矢巨阵歹 ij(column)J(J“11 412 ln-21 22 。2n 行(row)元素(element/entry)q 行(imlj ti)J元素都是实数实矩阵(real)元素都是复数-复矩阵(complex)注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.“第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算2.方阵(square matrix)阶方阵:矩阵 见例2.一个1x1的矩阵就是一个娄3.向量(vector)行 向 量(column vector)av%z列向量(row vector)/维/(n-dimensional)第汾量(Ith component)的(i=1,，n)“第二章 矩阵运算和行列式 2.1矩阵及其运算4.同型(same-sized):行数相等,列数也相等20 _1620165020502030一 16_SO-16b c2 3同型20 16-与50 20不同型-30 16-、5.两个矩阵相等(equal)大前提：同型与1A=闻1皿与8=的加义相等:工 IJ工入，I L IJ工人，IXV1 imljn =源都成立J J记为4=B.*第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算四.几种特殊的矩阵1.对称矩阵(symmetric matrix)1 22 1i o r0 x3-13 0若矩阵N=%满足:m=且=a*圾 j=1,2,)则称Z为对称矩阵.“第二章 矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算2.对角矩阵(diagonal matrix)“1221 022。2n主对角线(leading/main/principal diagonal)对角矩阵4 o00.0 4o 简记为1 一 =diagUi，d 6.，I第二章 矩阵运算和行列式 2.1矩阵及其运算3.数量矩 阵/纯量矩阵(scalar matrix)diag区,k.k-数量矩阵/纯量矩阵.例如:3 00 3-2 0 0一 0-2 0 0 0-24.单位矩阵(identity matrix)10_0称为阶单位矩阵.“第二章 矩阵运算和行列式2矩阵及其运算注：有些书上用E表示单位矩阵.利用克罗内克(Kronecker)记号甬=阶单位矩阵也可以表示为吗J.数量矩阵k 0.0 0 k.0 .0 0.knxnL00.01.0 0.1nxnMl10第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算5.反对称矩阵0-22 00 1-1-10 31-3 0若矩阵N=叫满足：m=且=一%=1,2,n),则称N为反对称矩阵(antisymmetric matrix/skew-symmetric matrix).“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算6.零矩阵(zero matrix)0 0 00 0 00 00 00 0 0-0 0 00 0 0零矩阵一元素全为零.通常用O表示零矩阵.有时,加下标指明其阶数.例如,上述零矩阵分别可以记为:02。2义3 3“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.第一汰产品发到各商场日1 勺数量ABC甲200180190乙100、120100/第二次产品发到各商场日1 勺数量ABC甲220185200乙/105120110两次累计:京口、)m发到各商场白1 勺数量上BC甲420乙“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.第一次产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙10012b100第二次/产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105/120110两次累计:产品发到各商场日机数量A*C甲420365乙“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.产品发到各商场日1 勺数量ABC甲200180190V乙100120ioK产品发到各商场日1 勺数量ABC甲220185200乙1204410第一次 第二次/_ _、_/产品发到各商1 勺数量AB甲420365390乙2矩阵及其运算第二章矩阵运算和行列式五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.第人次产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100/第二次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110两次累计:口)叩、发到各商场白1 勺数量A/BC甲42p365390乙7A205“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.第一次、产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第N仅/产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙120/110两次累计:产品发到各商场白1 勺数量小、B/C甲420w390乙205240“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.第一次第二次两次累计:产品发到各商场白1 勺数量AR、C甲420365390乙2052402*0“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)例3.(1)大前提：同类型A=200 180 190_100 120 100_220 185105 120200110_B=(2)具体操作：对应元素相加A+B=420 365 390205 240 210“第二章 矩阵运算和行列式 2.1矩阵及其运算五.矩阵的线性运算1.力口法(addition of matrices)%=叫x办与8=%办的和(sum):。%阳义 1。)+)ijl注：设矩阵N=(%)/，记一)=(一%)叱,-的负矩阵(additive inverse oiA).设4 6是同型矩阵,则它们的差(subtraction)定义为N+(-B).记为4-B.即N-B=A+(-B).第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算2.数乘(scalar multiplication)设矩阵N=(%)/,数4与N的乘积定义为 aQmxn 记为4Z或即无4=Ak=kam2 注：矩阵的线性运算(linear operation)加法数乘“第二章 矩阵运算和行列式 2.1矩阵及其运算3.性质定理2.1设46 C,。是同型矩阵,/是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+Q,(3)A+O=A,(4)A+(-A)=。，(5)1A=4(6)k(lA)=(幼4(7)(k+l)A=kA+IA,(8)k(A+B)=kA+kB.“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算六矩阵的乘积（matrix-multiplicative product）例4.某厂家向三个代理商发送四种产品.产品单价（元/箱）重量（Kg/箱）数量（箱）南京苏州常州甲2016200180190乙50201001201003016150160140&2516180150150NX-总价（元）1180001815016750/N*里代或11048010240-9680A=fd20 56 30 25-216 20 16 16J、18000200100150180180120160150190100140150“第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算例工四个城市间的单向航线如图所示.若陶表示从，市直达/市航线的条数,则右图可用矩阵表示为从i市经一次中转到达/市航线的条数=?Ml第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算b 一+aa 1+a +Ml第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算乘法原理_人_2333+2443=叼旬+从i市经一次中转到达/市航线的条数=?B=(%)/“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算L设4=)B=(%)邓，则Z与6的乘积是一个/MX矩阵。=(%)，其中%=，/寸+ai2b2j+aisbsj=E aikbkj.k=l记为C=4B.称48为“以N左乘6”或“以6右乘2.方阵Z的正整数幕(power)A1=44=44,.Ak+1=AkA.“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算定理2.2设A是数,矩阵4区C使以下各式中 一端有意义,则另一端也有意义并且 等式成立(1)(AB)C=A(BQ,(2)A(B+Q=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).对于(1)的证明,我们先来看一个具体的例子:力口 Cn C12如4=B=阳 22 C=M“22“23 21 22 91。22_L31 32“第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算AB=21，11+，22,21+23/31 a2112a2222a2332BC=如。11+12c2122c21_ 32c21UC12+12C22 521cl2+22。22 3遥12+32c22.我们比较(4B)C和4(6。的“规格”以及它们的 第一行第一列处的元素.第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算AB如。11+12c21BC=22c21_ 32c2112 13A=c=C21“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算1112 2113 31 1212 2213 32AB=A=回a12 a13BC=如，1+d2c21 b21cli+b22c21 3遇11+832c21（11%+。1221+13“31）。11+（a1112+a1222+a1332）C21IIallllCll+012 21cli+a1331Cll+12c21+12”22c21+413 32c21II11（如。11+12c21）+。12（21。11+22。21）+。13（，31。11+，32。21）出第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算2 3W冷/ip）。1】3（Z，力p2）。21p=l+（。1112+。1222+。13,32）。21IIallllcu+21cli+31cli+12c21+22c21+41332c21II11（如。11+12c21）+。12（21。11+22。21）+。13（，31。11+，32。21）出第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算2 2 3 2 3夕一1 夕1 p一品 夕工一工（U 如十12“21+1331）。11+（1112+。12822+1332）。21II+12”21cli+13,31cli+12c21+128 22c21+13”32c21II12c21）+12（，21。11+22c21）+13（，31。11+32c21）3 2 3 2 3箫/跖%。=闺力d%i)=卒心“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算2 2 3 2 3石1，贝=we/ip%）。夕 J 贝）夕一1 夕1 pl 夕一 一工3 2 3 2 3盛厚3%。川=轩力/%1）1=空心“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算一般地,设力=矶X如B=也加,c=Cijsxn,AB=U=4-BC=V=勺鼠”，贝l(4B)C=UC与4(60=/都是机义矩阵，且(4B)C=UC的乞力元素是0c0=左喔fipbpq)C/1=石位fipbpq%)夕一 夕一lpi 夕_ p_1=*&ipbpqC垃=1%)=%它恰好是力。=NP的切方元素.可见(4B)C=Z(6C).第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算结合律的妙用之一（还有“妙用之二”喔!）1例6.%=6。，其中 5=2,C=1 2 3,3则N=6424=?963CB=1 2 3 2=1x1+2x2+3x3=14.=B(CB)(BC)C.B(CB)(CB)C“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算单位矩阵4的乘法特性:例7.证明下列条件等价：L0 0(i)4x=4;(11)VBnxnnxm 4“x/w，1 00 1nxnnxmHijlnxmMl第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算3.矩阵乘积的特殊性只有Z的列数=6的行数时,才有意义对于nxm力心/和勒都有意义 当/n w 时,48与区4谈不上相等不相等 即使/=与A4是同阶方阵也未必相.例如:*第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算11-2-2-2 4.2101L-2-2=0 0Lo o.-3-3 6-1 1 2_-2-2 4_r-3 3-1-3 3.G10 00 0.Ml第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算对于方阵4容易验证但即使/与万是同阶方阵,(AB)k=AkBk 也未必成立！注：若46=BA,贝=AkBk.N=0 1 _0 0.L0 0AB=0 0 _0 0.1 0-n 11方力=；,AB BA,B(AB)k=AkBkAL.“第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算要说明即使力与6是同阶方阵，(AB)k=AkBk也未必成立,只要举出一个反例即可.例如N=|l 1,刀=1 1,AB=2 0,Lo 0，Li Qy Lo oJ542 11/d2 10 q”0 0卜4加=1 o曰(AB)2=4 ,A2B2=AB=g?,7 Lo o Lo当然这里4BwA4=l 1.第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算补充.数学归纳法设P是一个关于自然数的命题,若P对于=0成立.当时，由“=九时成立”可推出“=1+1时P成立则P对于任意的自然数成立.“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算例6.设Z=cos sin。一_sin cos。求=cosnO-sinn 6 sinn 0 cosh 0 e证明：当=1时,结论显然成立.假设结论对于=A成立,即 r cosA;9 sin49-“一 sin A 9 cos。贝 ij/A+i=4k4coskO sinA。cos6一sinlS coskO sin 9一sin。cos“第二章矩阵运算和行列式2.1矩阵及其运算r coskO-sinkO“I-A 一 sinkO coskOT cos/9 sin。Rsin。cos 8cosk 0 cos 0-sinA：0 sin 0 sinAS cos 6+cosk 8 sin 0一 cosA 0 sin 0-sinl 0 cos 0-sinA：0 sin 6+cos1 0 cos 0r cos(A;+l)9 sin(4+l)。-sin(A;+l)9 cos(4+l)9因此对于任意正整数2Ancos-sinn 0-sinn 6 cosn 0成上.Ml第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算七.矩阵的转置1.定义:Z=。12的转置(transpose)“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算定理2.3矩阵的转置运算满足如下性质(小尸=4(2)(A+B)T=AT+(3)(kA)T=kA(4)(ABY=B3.注：N是对称矩阵O4T=/；N是反对称矩阵o AT=-A;N是方阵nf(A+AT)T=A+A(A-ATy=-(A-AT/A+AT,A-A/=+=“第二章矩阵运算和行列式2矩阵及其运算八.方阵的多项式A方阵/(x)-多项式/(x)=UgXs+as_x+.+atx+a0+atA+-方阵力的多项式(polynomial).“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式2.2方阵的行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G.W.Leibniz德(1646.7.11716.11.14)S.Takakazu H (1642?1708.10.24)“第二章 矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式二元线性方程组与二阶行列式J 1国+a12x2=既1 21X1+a22X2=b2(alla22a12a21)Xl=122，12”2(1122一 1221)“2=4121当 U22 1221 M 时,1，22-，1221122 1221 *2 1221Ml第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式记刀=a1222，5=则当刀=一1221时，J ar xx+a12x2=Al 21*1+a22X2=2 有唯一确定的解12”2 D 1。21 D?“1 U221221 D 221221 D问题:能用对角线法则定义四阶行列式吗？用对角线法则定义的“四阶行列式”有 用吗？“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式仿照三阶行列式的对角线法则可得110 012 0 00 0 1-10 0 12Ix2xlx2-lxlx(-l)xl=4+1=5.但方程组.X+x2+2x2=3=5X3-*4=0 x3+2x4=33 10 05 2 0 00 0 1-13 0 123x2xlx2-lx5x(-l)xl=12+5=17./巧=1 w斗(S)有唯一解j;二；X3-1 x4=1Ml第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式二.排列的逆序数与奇偶性1.全排列(简称排列)例如,1,2有二_个全排列：12,2 1.1,2,3有，个全排列：12 3,13 2,31 2,21 3,23 1,321=个不同元素的所有排列的种数,=1 x 2 x.x(-1)x n“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式2.逆序数先规定一个标准次序如自然次序：1 2 3 4.(n-1)n=6时,1 2 3 4 5 6 标准次序偶排列1 4 2 3 5 6有2个逆序j 2 )逆序数奇排列3 2 1 4 5 6有3个逆序2 13 13 2“第二章矩阵运算和行列式 2.2方阵的行列式例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)(2)(22)4213(23)(27).3.对换/邻对换1 5 3 4 2 6 3 2 1 4 5 61 3 2 4 5 6 1 2 4 3 5 6注：任一邻对换都改变排列的奇偶性.任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式2（）（）3 4（8）（3）56（）7812。（8）34（8）56定理24每一个对换都改变排列的奇偶性.推论.22时，个元素的所有排列中，奇、偶 排列各占一半,即各有加/2个.“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式三.阶行列式的定义1.三阶行列式的特点_ all2 3+2 3 23 32 一 12 21 33 一 13 22 31 每一项都是三个元素的乘积.每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的6项恰好对应于1,2,3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性 有关.Ml第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式“21”22EZ 0、N(jj)(T)2KJl J2“第二章矩阵运算和行列式2.珅介行列式的定义2.2方阵的行列式z/、N（办小（一1）%2/2%J1J2 Jn注：当=1时,一阶行列式Ml=a119这与绝 对值符号的意义是不一样的.设力=%为阶方阵,4的行列式记为,或 det4.“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式3.几个特殊的行列式(1)对角行列式4 0.00 22.0 0 0尢0.0 40.22 0n(w-l)(1)2 4几2心0 0Ml第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式上（下）三角形行列式aU a12 aln 22 一 22册.0 0 事实上，只有p/i=12）时，2P2UnP才有可能不为0若有某个P A,则必然有若有某个“V/,否贝1|1+2+.+=Pi+P2+*+Pn 1+2+.+%矛盾！an 0.021 22 0all 22.nlnn“第二章 矩阵运算和行列式 2.2方阵的行列式例2.设/=证明=|一是X的次多项式,并求心，心的系数及常数项.12 一01“11 a21 anl火力=1一川=an2 ann八=(2 11)(222)(2一%”)一-j N的迹,记为trZ)=-A=(-iyA.“第二章矩阵运算和行列式2.2方阵的行列式4.邢介行列式的另外一种定义。22 E Jl J 2 J n(-1)”1 J1“2E 1小1 2 n“第二章 矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算 2.3行列式的性质及计算 行列式的性质行列式加称为刀的转置.记与=%则DZ（T）N(P1P2 P吓（T）N(P1P2bPD.性质LDT=d.Ml第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算性质2.互换行列式中的两行（列行列式变号.证明：记互换行列式）中的第行得到的行列式为A5=Z(T=Z(T)(1)f)4X q 7 q 7Pi kp i Ip kqnP nq呼nE(、N(PPi Pk PnQ-(1)Q、9 9 9 Cl.9 9 9 Cl 7v 7 121 kp i Ipa叩nk=(X(T)N(P PiPv Pn)aq 7 q 7Pi kp i IpqnP n=D.“第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算注：互换第A,/行记为以一互换第快/列记为5%|雁箔痂巢行司聂方用者曲布加）凫至箱扃;工 那么D=0.事实上,若行列式刀中有两行完全相同,交换 这两行，得D=.因此。=0.对于有两列完全相同的情形,可类似地证明.;桂康行词聂而窠二行画）而公由字而议;I 提到行列式记号外.I“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算N(P1P2 Pn=Z（-1）=k(-1)N(pm1P1“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算性质4.若行列式刀中有两行（列）元素成比例,则 D=0.性质5.行列式可按某一行（列）拆成两个行列式 之和.如Hi，,力+2,力?力,，/+Hi，?B“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算D=21 222431 432333441 42434412 13 1421 22 23 24a31 0 0 041 42 43 44+12 13 14，21 22 23 24 打32 33 43441 42。43。4412 13 14“21 22 23 2431 0 0 041 42 43 4441 42“43的4240。44+12 13 140“22。23。24。33 041 42。43 4412 13“21 22。230 0 041 a42。43%4 a24 a34 44Ml第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算:畦康6.施行知密白勺窠二行（前）完去乘以同二 I 个数,再加到另一行（列）对应的元素上I 去，行列式的值不变.all +ka、(2,+ka?)a2a21册i.(%,+kan)anj.unnMl第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算注:用常数儿乘行列式刀中的第7行（列）再加到第 i行（歹U）上,记为ri+krj（q+g）.例2.0-3=22-46-75-7 t001-4 2=2 0 7 6 x（-1）0751-4 2=-2 0-7 6=-14.0 0-1“第二章矩阵运算和行列式3 11 31 11 111132.3行列式的性质及计算6 61 13 11 31112 0 00 2 0=48.0 0 2“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算(3)b c a+b a+b+c 2a+b 3a+2b+c 3a+b 6a+3b+ca+b+c+d 4+3+2c+10a+6+3c+X(-1)-X(-1)1X(-1)一a b0 a0 a0 aa+b 2a+b 3a+ba+b+c 3a+2b+c 6a+3b+ca000b c da a+b a+b+c0 a 2a+b x(-1)0 a 3a+b Ml第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算注：有些书上将上述转化过程用r”力+狂/,l+g等记号表示,并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.为了不引起混淆,每步最好只进行一个 操作.例如：a b c dr2Tl a b 口+、c-a d-bc-a d-b“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算例3.设D=证明：刀=)2证明：对刀1施行o+后;.这类运算,把化为下三 角形行列式：5=应用上M第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算对4施行q+g.这类运算,把刀2化为下三角形行列式:于是对D的前册行施行上述力+依）运算,再对D的后列 施行上述施行q+ACj运算,可得：=P11 PmmQll 夕刀2,“第二章 矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算性质7.方阵乘积的行列式等于方阵行列式的 乘积，即对于同阶方阵4厚有如下乘.法公式=周网行列式按行（列）展开二1122=n-(-l)1+1a22+12-(-1)1+221*第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算=a21a12all a22=a21-(-l)2+1a12+a22-(-l)2+2ana12 22 32 a12 220a13233313a230+a1221 a2231“21 a220 3213230a13a230+all a210au a210a12 a1322 23a32 33a12 13“22 23 a33Ml第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算31 0 031=QI)?all a120 32+(-1)2 120 0+(-I)?an a12a12 a13，22 23a320+0220023330=(-1)2+(-l)2+1+(1严32223313a23a122200a13230230a1222Ml第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算31=（I）?aU+（1 严+（1严2132 a12 22 33 13 2312220al a210au a210a13a230a13a230a1222/（TAa12 a13，22，23+32（T）2+1+%3（-1）2+2=%1（T）3+122 423+32（T）3+2应用本节的例3+33（T）3+3，21 22*第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算拆,移,降=3i(-1)3+1：+32(-1严+33(-1产3，22，23，21，23按第三行展开“21 422“第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算一般地,在阶行列式中，把元素陶所在的第，行 和第洌划去，留下来的阶行列式叫做元素%的余子式,记作凶力令Aj=(-1)型明,并称之 为%的代数余子式.例如，四阶阶行列式12 13 1421 22。23。24a31 a32 a33 3441 42 43 44中 32的余子式为弧2=21a13 a1423“2443 44代数余子式/32=(-1)3+2弧2=-久2Ml第二章矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算定理25 阶行列式刀等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和.即D=anAn+a12A12+.+alnAln=牝/21+22422+a2n2n=%1+On/nn=anAn+a21A21+anlAnl=12.12+22.22+an2n2=一+“2/2+Onnnn Ml第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算例4.计算刀2=国一一钟I D2n=adD2g厂皿g)依次类推可得=(ad-bc)n.“第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算例5.证明阶级（稔2）范德蒙（Vandermonde）行列式1 1.1刀 一 n-1 n-1 n-1 “证明：当=2时,Z2=(a2-i).脸曷”明现设等式对于5-1）阶范德蒙行列式成立,则“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算A%x21 做”“anH1x(-i)x(-i)X0 a2-a1=0 股(2i)0 a2n2(a2-aA)1.13一%3(3一 1)/(%一%)4国一%)产%)“第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算1 10 2一=0 a2（a2-a1）0 a2n 2（a2-a1）1.13一 11n%an 1）册册句）1=（做 一 1）（%1）1）A-2/y-2/y-2“2“3 =（。2-%）（。3-%）（%-%）稔1 勺）=4人明“2.3行列式的性质及计算第二章矩阵运算和行列式前面我们得到,12 13“21 a22 23a31 32 33=3/31+a3232+33Z33下面来看口11431+”1343=?由定理2.5容易看出12 13与/31+12/32+13力33=%1 心2 23=0.12 13推广到一般情形,我们有如下结论:“第二章 矩阵运算和行列式 2.3行列式的性质及计算濡藏工二法行司我而桌二行(丽克半写身二布加).|的对应的代数余子式乘积之和为零.即+生2&+a/jn=0(i wj)+a2iA2j+.+aniAnj=0(/wj)定理2.6.设九阶行列式D=|%儿则n nEai/jk=DBij)S akiAkj=DS.第二章矩阵运算和行列式2.3行列式的性质及计算定理2.6.设九阶行列式D=北则Z a/jk Dbg,Z。卜也团D3)k=l k=lZ*=A=41 41 力12 422AA=345 周022力12 2204/2+，12422“2/11+224 12 4221+，224 22“第二章矩阵运算和行列式2.4逆矩阵 2.4逆矩阵逆矩阵的概念数（一阶方阵）邢介方阵事实la=al=a,/aIA AI /A w 00Bb s.t.ab=ba=A满足20BB s.t.AB=BA=/应用ba=心 ax=c n x=lx=bax=beBA=I,AX=C X=IX=BAX=BCab=xa=c n x=xl=xab=cbAB=I,XA=Cn X=XI=XAB=CB“第二章矩阵运算和行列式 2.4逆矩阵1.定义：设/为方阵,若存在方阵厚使得AB=BA=I,则称为可逆(invertible),并称6为4的 逆矩阵(inverse matrix).2.逆矩阵的唯一性AB=BA=I,AC=CA=I,则6=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.定理14 Z可逆n N的逆矩阵唯一.注:N的逆矩阵记为“第二章矩阵运算和行列式2.4逆矩阵3.设Z=旬为方阵,元素%的代数余子式 为A/,则称如下矩阵=41 41 41412 22-ln 42n _为方阵/的伴随矩阵.由定理2.6可得命题2.3.设/为方阵,N*为其伴随矩阵.贝 ll4Z*=AA=AI.“第二章矩阵运算和行列式2.4逆矩阵4.逆矩阵的存在性命题24设/为方阵,若N可逆,则w 0.事实上，由48=区4=/得1=田=AB=AB.定理27方阵N可逆的充分必要条件是阂w 0.1当|N|wO时，有力-1=N*.注.说4为方阵，若=0,则称之为全昆（或退化）矩陛 若同w 0,则称之为非奇异（或非退化）矩阵.可见,力可逆o A w 0 非奇异（非退化）.“第二章矩阵运算和行列式2.4逆矩阵推论.设4 6为方阵,若4B=/(或区4=7),则6=4。_事实上,48=/nwOnN可逆n B=IB=(A*=4 T(AB)=A11=A1.BA=/n|Z|w 0 n/可逆=B=BI=BiAA1)=(BAjA1=IA1=A1.例6.设方阵/满足432/2+3/_/=o.证明:Z及N-2/可逆,并求它们的逆矩阵.“第二章 矩阵运算和行列式 2.4逆矩阵例7.求下列方阵的逆矩阵.ri 21 12 3(1)A=3(2)6=2 2 1.-3 4 3-解:.方力*=一：:.(2)但I=2 w 0,万口=(Ip+i =2,B21=6,*13=2,B23=2,刀33=22 63 6_2 2-45-2_M第二章矩阵运算和行列式2.4逆矩阵224例8.设/=1 2_3 4_1 B=2_331 Q3132 30 1求矩阵X使NXB=C.解：由例7可知46都可逆.WAXB=C 今 AAXB=AC o XB=AC o XBB1=A iCB i 1 J i U 1 Jx2b=iX.A+X,=OX4B=O x3a+x4=i解得x=X2=X3=X4=O.所以OB IX X4J-B1A-1 A1B1OMl第二章矩阵运算和行列式2.5矩阵的分块运算4.分块转置设矩阵4=则a=r J TA T“12_sl”s2412 力21422 41T42T“第二章矩阵运算和行列式2.5矩阵的分块运算例如。=%,夕2,J其中夕1=夕11夕21，夕2=夕12夕22QnlJinnQT=q1r夕2T,OS夕i夕2夕 1，2，夕1“第二章矩阵运算和行列式2.5矩阵的分块运算%夕22夕 1，夕2，夕%q1rq2.=q2rqi q2rq2 夕2 夕2T夕夕“第二章矩阵运算和行列式2.5矩阵的分块运算5.分块对角矩阵的行列式设分块对角矩阵力=一4 o.o o a2.oO O.人则=14冈4区x|4l.“第二章 矩阵运算和行列式 2.5矩阵的分块运算6.分块对角矩阵的逆矩阵-4 o.o 设分块对角矩阵z=二，O O.贝心可逆的充分必要条件是4,4,4都可逆.且当4,4都可逆时，有-Af1 O.O-1 o 4 T o力=2 o o.zj第二章矩阵运算和行列式 教学内容和基本要求1.理解矩阵的概念；2.理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵 的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算:3.理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三 角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性 质；4.理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的 计宜；5.知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排 列的逆序数，凝对换及对换对于排列的奇偶性 的影响；6.邠介行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式；“第二章矩阵运算和行列式教学内容和基本要求7.掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展 开公式，了解行列式的乘法定理；8.掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式 的计算；9.理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别 方法，掌握逆矩阵的性质；10.了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性 质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；11.理角星Cramer法贝U,掌握用Cramer法则求方程组 的解的方法；12.分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。“