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,抓住,3,个考点,突破,3,个考向,揭秘,3,年高考,第,3,讲函数的奇偶性与周期性,【高考會這样考】,1判断函数的奇偶性,2运用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值,3考察函数的單调性与奇偶性的综合应用,4對三种性质的综合考察；借助函数图象处理問題,考點梳理,设函数yf(x)的定义域為D，假如對D内的任意壹种x，均有xD，且_，则這個函数叫做奇函数设函数yg(x)的定义域為D，假如對D内的任意壹种x，均有xD，且g(x)g(x)，则這個函数叫做偶函数奇函数的图象有关_對称；偶函数的图象有关,_對称,1,奇、偶函数的概念,f,(,x,),f,(,x,),原點,y,轴,(1)奇函数在有关原點對称的区间上的單调性_，偶函数在有关原點對称的区间上的單调性_,(2)在公共定义域内,两個奇函数的和是_，两個奇函数的积是_；,两個偶函数的和、积都是_；,壹种奇函数和壹种偶函数的积是_,2,奇、偶函数的性质,相似,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,(1)周期函数：對于函数yf(x)，假如存在壹种非零常数T，使得當x取定义域内的任何值時，均有_，那么就称函数yf(x)為周期函数，称T為這個函数的周期,(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么這個最小正数就叫做f(x)的最小正周期,3,周期性,f,(,x,T,),f,(,x,),存在壹种最小,壹条规律,奇、偶函数的定义域有关原點對称,函数的定义域有关原點對称是函数具有奇偶性的必要不充足条件,两個性质,(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.,(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它們的公共定义域上：,奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,【助學微博】,三条結论,(1)若對于R上的任意的x均有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象有关直线xa對称,(2)若對于R上的任意x均有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函数,(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中壹种周期為T2|ab|.,A1 B1 C2 D2,解析由于f(x)的周期為5，f(3)f(4)f(2)f(1),又f(x)為R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211，即f(3)f(4)1.,答案A,考點自测,1(徐州模拟)若f(x)是R上周期為5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)(),Af(x)|g(x)|是偶函数,Bf(x)|g(x)|是奇函数,C|f(x)|g(x)是偶函数,D|f(x)|g(x)是奇函数,解析由題知f(x)f(x)，g(x)g(x)，显然f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|.,答案A,2(广東)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列結论恒成立的是 (),A335 B338 C1 678 D2 012,解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期為6，因此f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，因此在壹种周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，因此f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338，故选B.,答案B,3(山東)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)當3x1時，f(x)(x2)2；當1x0的x的取值范围：(1,0)(1，),答案(1,0)(1，),5(開封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若當x(0，)時，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_,【例1】(广州模拟)判断下列函数的奇偶性：,考向壹函数奇偶性的判断,审題视點 确定函数的奇偶性時，必须先鉴定函数定义域与否有关原點對称若對称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0与否成立,(3)當x0，,f(x)(x)2xx2xf(x)；,當x0時，f(x)x2x，x0或x0時，f(x)x2x，则當x0，,故f(x)x2xf(x)，,當x0時，x0，,故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数,(1)求f(1)的值；,(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的結论；,(3)假如f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,审題视點 运用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰當赋值，变换出符合定义的条件,解(1)對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，,令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,考向二,函数奇偶性的应用,【例2】函数f(x)的定义域為Dx|x0，且满足對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2),(3)依題设有f(44)f(4)f(4)2，,由(2)知，f(x)是偶函数,f(x1)2f(|x1|)f(16),又f(x)在(0，)上是增函数,0|x1|16，解之得15x17且x1.,x的取值范围是x|15x17且x1,抽象函数奇偶性的判断措施,(1)运用函数奇偶性的定义，找准方向(想措施出現f(x)、f(x)；,(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；,(3)找出f(x)与f(x)的关系，得出結论,(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；,(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013),审題视點(1)只需证明f(xT)f(x)，即可阐明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式，進而求得f(x)在2,4上的解析式；(3)由周期性求和的值,考向三,函数的奇偶性与周期性,【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且對任意实数x，恒有,f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.,(1)求证：f(x)是周期函数；,(1)证明f(x2)f(x)，,f(x4)f(x2)f(x),f(x)是周期為4的周期函数,(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，,f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，,又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，,即f(x)x26x8，x2,4,(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.,又f(x)是周期為4的周期函数，,f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7),f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.,f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.,判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期為T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命題，是高考考察的重點問題,A2 B2 C98 D98,解析f(x4)f(x)，f(x)是周期為4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而當x(0,2)時，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选A.,答案A,【训练3】(成都质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，當x(0,2)時，f(x)2x2，则f(7)等于,(),【命題研究】通過對近三年高考试題的分析可以看出，考察函数的性质往往不是單纯考察壹种性质，而是综合考察，因此需要對函数的各個性质非常熟悉，并能結合函数图象的特點，對各個性质進行综合运用常考題型有选择題、填空題，題目為中等难度,热點突破4函数單调性、奇偶性、周期性的交汇問題,【真題探究1】(陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的為 (),教你审題 先确定奇函数，再确定函数單调递增,解法 选项A為壹次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，為奇函数，不是增函数；选项D，去绝對值号，变為分段函数，符合題意,答案 D,反思 通過題目的反复练习，纯熟掌握函数奇偶性的判断措施及函数單调性的判断措施,【试壹试1】(天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的為 (),答案B,答案,A,
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