高考数学 40导数的应用2考点专项复习课件 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,原创,2011,届高考数学考点专项复习课件,40,导数的应用,2,导数的应用,一、复习目标,了解可导函数的单调性与其导数的关系,.,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,(,导数在极值点两侧异号,),会求一些实际问题,(,一般指单峰函数,),的最大值和最小值,.,二、重点解析,对于可导函数,f,(,x,),先求出,f,(,x,),利用,f,(,x,)0(,或,0,则,y,=,f,(,x,),为,增,函数,如果,f,(,x,)0(,x,0,).,显然,f,(,x,)=,x,3,在,(,-,1,1),上仍旧是增函数,.,极大值与极小值统称为,极值,.,是函数,f,(,x,),的一个,极小值,记作,:,y,极小值,=,f,(,x,0,),如果对,x,0,附近的所有点,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),就说,f,(,x,0,),2.,函数极值的定义,设函数,f,(,x,),在点,x,0,及其附近有定义,如果对,x,0,附近的所有点,都有,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极大值,;,(2),如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极小值,.,一般地,当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时,4.,求可导函数,f,(,x,),的极值的步骤,:,(1),确定函数的定义域,;,(3),求方程,f,(,x,)=0,的根,;,5.,函数的,最大值与最小值,在闭区间,a,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,b,上必有最大值与最小值,.,但在开区间,(,a,b,),内连续的函数,f,(,x,),不一定有最大值与最小值,例如,f,(,x,)=,x,x,(,-,1,1).,6.,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,求,f,(,x,),在,a,b,上的,最大值与最小值的,步骤如下,:,(1),求,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,;,(2),将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),f,(,b,),比较,其中最大的一个是,最大,值,最小的一个是最小值,.,(2),求导数,f,(,x,);,(4),检查,f,(,x,),在方程,f,(,x,)=0,的根左右的值的符号,如果左正右负,那么,f,(,x,),在这个根处取得极大值,;,如果左负右正,那么,f,(,x,),在这个根处取得极小值,.,典型例题,1,已知,a,R,求函数,f,(,x,)=,x,2,e,ax,的单调区间,.,解,:,函数,f,(,x,),的,导数,f,(,x,)=2,xe,ax,+,ax,2,e,ax,=(2,x,+,ax,2,),e,ax,.,(1),当,a,=0,时,由,f,(,x,)0,得,x,0,得,x,0,.,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0),单调递增区间为,(0,+,),(2),当,a,0,时,由,f,(,x,)0,得,-,x,0,得,x,0,.,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0);,2,a,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,-,),和,(0,+,).,2,a,(3),当,a,0,时,由,f,(,x,)0,得,x,-,;,2,a,由,f,(,x,)0,得,0,x,-,.,2,a,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0),和,(,-,+,);,2,a,f,(,x,),的单调递增区间为,(0,-,).,2,a,典型例题,2,已知,a,为实数,f,(,x,)=(,x,2,-,4)(,x,-,a,).(1),求导函数,f,(,x,);(2),若,f,(,-,1,)=0,求,f,(,x,),在,-,2,2,上的最大值和最小值,;(3),若,f,(,x,),在,(,-,-,2,和,2,+,),上都是递增的,求,a,的取值范围,.,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,-,4,x,+4,a,f,(,x,)=3,x,2,-,2,ax,-,4.,(2),由,f,(,-,1,)=0,得,a,=,.,1,2,f,(,x,)=3,x,2,-,x,-,4.,由,f,(,x,)=0,得,x,=,-,1,或,.,4,3,f,(,-,2,)=0,f,(,-,1,)=,f,(,)=,-,f,(,2,)=0,9,2,4,3,27,50,f,(,x,),在,-,2,2,上的最大值为,最小值为,-,.,9,2,27,50,(3),f,(,x,),的图象为开口向上的抛物线且过点,(0,-,4),由题设得,f,(,-,2,),0,且,f,(,2,),0,.,8+4,a,0,且,8,-,4,a,0.,-,2,a,2,.,故,a,的取值范围是,-,2,2,.,典型例题,3,解,:,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,(,-,1,+,).,f,(,x,)=,-,1,1+,x,1,令,f,(,x,)=0,得,x,=0,.,当,-,1,x0,;,当,x,0,时,f,(,x,)0,.,又,f,(0)=0,故当且仅当,x=,0,时,f,(,x,),取得最大值,最大值为,0,.,(2),由题设,g,(,x,)=ln,x,+1,.,设,F,(,x,)=,g,(,a,)+,g,(,x,),-,2,g,(,),a,+,x,2,已知函数,f,(,x,)=ln(1+,x,),-,x,g,(,x,)=,x,ln,x,.(1),求,函数,f,(,x,),的最大值,;(2),设,0,a,b,证明,:0,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,a,+,b,2,则,F,(,x,)=,ln,x,-,ln,a,+,x,2,当,0,xa,时,F,(,x,)a,时,F,(,x,)0,F,(,x,),在,(,a,+,),上为增函数,.,从而当,x=a,时,F,(,x,),取极小值,F,(,a,)=0.,ba,F,(,b,)0.,0,0,时,G,(,x,)a,G,(,a,)=0,G,(,b,)0.,F,(,b,)(,b,-,a,)ln2.,即,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,a,+,b,2,a,+,b,2,0,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,典型例题,4,设,t,0,点,P(,t,0),是函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,与,g,(,x,)=,bx,2,+,c,的图象的一个公共点,两函数的图象在点,P,处有相同的切线,.(1),用,t,表示,a,b,c,;(2),若函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,求,t,的取值范围,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(,t,0),f,(,t,)=0,t,3,+,at,=0.,t,0,a,=,-,t,2,.,又,函数,g,(,x,),的图象也过点,P(,t,0),g,(,t,)=0,bt,2,+,c,=0.,c,=,ab,.,两函数的图象在点,P,处有相同的切线,f,(,t,)=,g,(,t,).,而,f,(,x,)=3,x,2,+,a,g,(,x,)=2,bx,3,t,2,+,a,=2,bt,.,将,a,=,-,t,2,代入上式得,b,=,t,.,c,=,ab,=,-,t,3,.,综上所述,a,=,-,t,2,b,=,t,c,=,-,t,3,.,(2),方法一,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=3,x,2,-,2,tx,-,t,2,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,当,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,)0,时,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),为减函数,.,由,y,0,则,-,x,t,;,若,t,0,则,t,x,-,.,3,t,3,t,函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,(,-,1,3)(,-,t,),或,(,-,1,3)(,t,-,).,3,t,3,t,t,3,或,-,3.,3,t,t,3,或,t,-,9.,t,的取值范围是,(,-,-,9,3,+,).,(2),方法二,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,),的图象是开口向上的抛物线,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,),0,对于,x,(,-,1,3),恒成立,.,则,y,|,x,=,-,1,0,且,y,|,x,=3,0.,即,(,-,3+,t,)(,-,1,-,t,),0,且,(9+,t,)(3,-,t,),0.,解得,t,3,或,t,-,9.,t,的取值范围是,(,-,-,9,3,+,).,典型例题,5,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,+,d,(,a,0),是,R,上的奇函数,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2.(1),求,f,(,x,),的单调区间和极大值,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|4,恒成立,.,(1),解,:,函数,f,(,x,),是,R,上的奇函数,f,(,-,x,)=,-,f,(,x,),即,-,ax,3,-,cx,+,d,=,-,ax,3,-,cx,-,d,对,x,R,恒成立,.,d,=0.,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,f,(,x,)=3,ax,2,+,c,.,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2,f,(1)=,-,2,且,f,(1)=0.,a,+,c,=,-,2,且,3,a,+,c,=0.,a,=1,c,=,-,3.,f,(,x,)=3,x,2,-,3.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数,.,当,x,=,-,1,时,f,(,x,),取得极,大,值,f,(,-,1)=2.,故,函数,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,1,1),单调递增区间是,(,-,-,1),和,(1,+,);,f,(,x,),的极大值为,2.,典型例题,5,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,+,d,(,a,0),是,R,上的奇函数,当,x,=1,时,f,(,x,),取得极值,-,2.(1),求,f,(,x,),的单调区间和极大值,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|4,恒成立,.,(2),证,:,由,(1),知,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,在,-,1,1,上是减函数,且,f,(,x,),在,-,1,1,上的最大值,M,=,f,(,-,1)=2,f,(,x,),在,-,1,1,上的最小值,m,=,f,(1)=,-,2,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|0,u,(,x,),是,0,1,上的增函数,.,0,u,e,.,f,(,u,)=(,u,-,1,),2,-,4,g,(,x,),在,0,1,上的值域是,-,4,e,2,-,2,e,-,3,.,(3),设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,e,x,),上任两点,不妨,x,1,x,2,.,解得,a,0.,x,1,-,x,2,a,+,.,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,y,1,-,y,2,(,x,1,-,x,2,)(,a,+,),即,1,a,f,(,e,x,1,),-,f,(,e,x,2,),(,x,1,-,x,2,)(,a,+,),亦即,1,a,f,(,e,x,1,),-,x,1,(,a,+,),f,(,e,x,2,),-,x,2,(,a,+,),恒成立,.,1,a,1,a,函数,h,(,x,)=,f,(,e,x,),-,x,(,a,+,),是增函数,.,1,a,h,(,x,)=,f,(,e,x,),-,(,a,+,),0,恒成立,.,1,a,a,+,(,2,e,x,-,2,),e,x,=2(,e,x,-,),2,-,恒成立,.,1,a,1,2,1,2,而,2(,e,x,-,),2,-,当,x,=,ln,时取最小值,-,1,2,1,2,1,2,1,2,1,a,a,+,-,.,1,2,2,a,2,+,a,+2,a,即,0.,故,a,的取值范围是,(,-,0),.,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,3,依题意得,f,(,-,1)=,f,(1)=0.,解得,a,=1,b,=0.,3,a,-,2,b,-,3=0,且,3,a,+2,b,-,3=0.,f,(,x,)=3,x,2,-,3,.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数,.,f,(,-,1)=2,是极大值,f,(1)=,-,2,是极小值,.,点,A(0,16,),不在曲线上,.,设切,点为,M(,x,0,y,0,),则,y,0,=,x,0,3,-,3,x,0,.,f,(,x,0,)=3,x,0,2,-,3,.,切线方程为,y,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,x,-,x,0,),.,点,A(0,16,),在切线上,16,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,-,x,0,),.,化简得,x,0,3,=,-,8,.,x,0,=,-,2,.,切线方程为,y,-,(,-,8+6)=9(,x,+2),即,9,x,-,y,+16=0,.,课后练习,2,已知向量,a,=(,x,2,x,+1),b,=(1,-,x,t,).,若,函数,f,(,x,)=,a,b,在区间,(,-,1,1),是增函数,求,t,的取值范围,.,解,:,由题设,f,(,x,)=,x,2,(1,-,x,)+,t,(,x,+1),=,-,x,3,+,x,2,+,tx,+,t,.,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,x,+,t,.,函数,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),是增函数,f,(,x,),0,即,-,3,x,2,+2,x,+,t,0,亦即,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(,-,1,1),恒成立,.,考虑函数,g,(,x,)=3,x,2,-,2,x,x,(,-,1,1).,g,(,x,),的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线,x,=,1,3,故,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(,-,1,1),恒成立等价于,t,g,(,-,1),即,t,5,.,而当,t,5,时,f,(,x,),在,(,-,1,1),上满足,f,(,x,)0,故,t,的取值范围是,5,+,).,即,f,(,x,),在,(,-,1,1),是增函数,课后练习,3,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的图象过点,P(0,2),且在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,(1),求函数,y,=,f,(,x,),的解析式,;(2),求函数,y,=,f,(,x,),的单调区间,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(0,2),f,(0)=2,d,=2.,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,2,f,(,x,)=3,x,2,+2,bx,+,c,.,f,(,x,),图象,在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,-,6,-,f,(,-,1)+7=0,即,f,(,-,1)=1,且,f,(,-,1)=6.,3,-,2,b,+,c,=6,且,-,1+,b,-,c,+2=1.,即,2,b,-,c,=,-,3,且,b,-,c,=0.,b,=,c,=,-,3.,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,2,-,3,x,+,2.,(2),由,(1),知,f,(,x,)=3,x,2,-,6,x,-,3.,令,f,(,x,)0,得,x,1+2,.,令,f,(,x,)0,得,1,-,2,x,1+2,;,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,1,-,2,),和,(1+2,+,).,f,(,x,),的单调递减区间为,(1,-,2,1+2,);,课后练习,4,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,2,函数,f,(,x,),在,x,=,-,2,x,=1,处取得极值,12,a,-,4,b,-,2=0,且,3,a,+2,b,-,2=0.,由,f,(,x,)0,得,-,2,x,0,得,x,1.,y,=,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,2,1);,单调递增区间是,(,-,-,2,),和,(1,+,).,f,(,-,2)=,f,(1)=0.,(2),由,(1),知,f,(,x,)=,x,2,+,x,-,2,.,解得,a,=,b,=,.,1,2,1,3,f,(,x,)=,x,3,+,x,2,-,2,x,.,1,2,1,3,课后练习,5,设函数,f,(,x,)=,x,sin,x,(,x,R,).,(1),证明,:,f,(,x,+2,k,),-,f,(,x,)=,2,k,sin,x,其中,k,为整数,;(2),设,x,0,为,f,(,x,),的一个极值点,证明,:,1+,x,0,2,x,0,4,f,(,x,0,),2,=,.,证,:,(1),f,(,x,)=,x,sin,x,k,为整数,f,(,x,+2,k,),-,f,(,x,)=(,x,+2,k,)sin(,x,+2,k,),-,x,sin,x,=(,x,+2,k,)sin,x,-,x,sin,x,=,2,k,sin,x,.,f,(,x,+2,k,),-,f,(,x,)=,2,k,sin,x,.,(2),f,(,x,)=,x,sin,x,(,x,R,),f,(,x,)=,sin,x,+,x,cos,x,.,令,f,(,x,)=0,得,sin,x,+,x,cos,x,=0.,显然,cos,x,0.,x,=,-,ta,n,x,.,x,0,为,f,(,x,),的一个极值点,x,0,=,-,ta,n,x,0,.,sin,2,x,=,=,sin,2,x,sin,2,x,+cos,2,x,tan,2,x,1+tan,2,x,tan,2,x,0,1+tan,2,x,0,sin,2,x,0,=.,f,(,x,0,),2,=,x,0,2,sin,2,x,0,=,x,0,2,tan,2,x,0,1+tan,2,x,0,=,x,0,2,1+,x,0,2,x,0,2,1+,x,0,2,x,0,4,=,.,1+,x,0,2,x,0,4,f,(,x,0,),2,=,.,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,b,(,a,b,R,).,(1),若,a,=1,函数,f,(,x,),的图象能否总在直线,y,=,b,的下方,?,说明理由,;(2),若函数,f,(,x,),在,0,2,上是增函数,x,=2,是方程,f,(,x,)=0,的一个根,求证,:,f,(1),-,2;(3),若曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,求,a,的取值范围,.,课后练习,6,(1),解,:,当,a,=1,时,令,x,=,-,1,得,f,(,-,1,)=1+1+,b,=2+,b,b,点,(,-,1,2+,b,),在函数图象上,且在,直线,y,=,b,的上方,.,函数,f,(,x,),的图象不能总在直线,y,=,b,的下方,.,另,解,:,当,a,=1,时,f,(,x,)=,-,x,3,+,x,2,+,b,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,x,.,令,f,(,x,)=0,得,x,1,=0,x,2,=.,2,3,而,f,(,)=,-,+,b,=,+,b,b,2,3,4,9,27,4,27,8,函数,f,(,x,),的图象不能总在直线,y,=,b,的下方,.,点,(,+,b,),在函数图象上,且在,直线,y,=,b,的上方,.,2,3,27,4,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,b,(,a,b,R,).,(1),若,a,=1,函数,f,(,x,),的图象能否总在直线,y,=,b,的下方,?,说明理由,;(2),若函数,f,(,x,),在,0,2,上是增函数,x,=2,是方程,f,(,x,)=0,的一个根,求证,:,f,(1),-,2;(3),若曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,求,a,的取值范围,.,课后练习,6,(2),证,:,x,=2,是方程,f,(,x,)=0,的一个根,f,(2)=0,即,-,8,+4,a,+,b,=0,b,=8,-,4,a,.,又,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,ax,令,f,(,x,)=0,得,x,1,=0,x,2,=,a,.,2,3,函数,f,(,x,),在,0,2,上是增函数,a,2.,2,3,a,3.,f,(1)=,-,1,+,a,+,b,=7,-,3,a,-,2,即,f,(1,),-,2.,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,b,(,a,b,R,).,(3),若曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,求,a,的取值范围,.,课后练习,6,(3),解,:,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,x,),上任两点,x,1,x,2,.,曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,x,1,x,2,亦即,1,恒成立,.,-,(,x,1,-,x,2,)(,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,),+,a,(,x,1,-,x,2,)(,x,1,+,x,2,),x,1,-,x,2,1,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,-,x,1,3,+,ax,1,2,+,b,-,(,-,x,2,3,+,ax,2,2,+,b,),x,1,-,x,2,即,1,x,1,x,2,1+(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,),恒成立,.,而,x,1,x,2,(,x,1,+,x,2,),2,恒成立,1,4,1+(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,),(,x,1,+,x,2,),2,恒成立,.,1,4,(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,)+1,0,恒成立,.,3,4,a,2,-,3,0.,-,3,a,3,.,已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+,ax,2,+,b,(,a,b,R,).,(3),若曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,求,a,的取值范围,.,课后练习,6,另,解,:,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,x,),上任两点,不妨,x,1,x,2,.,曲线,f,(,x,),上任意不同两点的连线的斜率小于,1,x,1,x,2,1,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,x,1,-,x,2,x,1,-,x,2,.,即,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,),x,1,-,x,2,.,f,(,x,1,),-,x,1,f,(,x,2,),-,x,2,.,记,g,(,x,)=,f,(,x,),-,x,则,g,(,x,1,),g,(,x,2,),.,g,(,x,),为,R,上的减函数,.,g,(,x,),0,即,-,3,x,2,+2,ax,-,1,0,对,x,R,恒成立,.,a,2,-,3,0.,-,3,a,3,.,