高考数学 6.4数列的通项及数列求和总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,若已知数列,a,n,，满足,a,n,+1,-,a,n,=,f,（,n,），且,f,（,1,）,+,f,（,2,）,+,+,f,（,n,）可求，则可用,求数列的,通项,a,n,.,2.,若已知数列,a,n,，满足,=,f,（,n,），且,f,(1),f,(2),f,（,n,）可求，则可用,求数列的通项,a,n,.,6.4,数列的通项及数列求和,累加法,累积法,基础知识 自主学习,3.,等差数列前,n,项和,S,n,=,=,，,推导方法：,；,等比数列前,n,项和,推导方法,:,乘公比，错位相减法,.,S,n,=,，,na,1,=,q,=1,q,1.,，,倒序相加法,4.,常见数列的前,n,项和,（,1,）,1+2+3+,+,n,=,;,（,2,）,2+4+6+,+2,n,=,;,（,3,）,1+3+5+,+(2,n,-1)=,;,（,4,）,1,2,+2,2,+3,2,+,+,n,2,=,;,（,5,）,1,3,+2,3,+3,3,+,+,n,3,=,.,n,2,+,n,n,2,5.,（,1,）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列,.,（,2,）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和,.,（,3,）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和,.,（,4,）倒序相加：例如，等差数列前,n,项和公式的推导,.,6.,常见的拆项公式有,基础自测,1.,已知等比数列,a,n,a,1,=3,且,4,a,1,、,2,a,2,、,a,3,成等差数,列，则,a,3,+,a,4,+,a,5,等于（）,A.33B.72C.84D.189,解析,由题意可设公比为,q,则,a,2,=,a,1,q,a,3,=,a,1,q,2,4,a,2,=4,a,1,+,a,3,4,a,1,q,=4,a,1,+,a,1,q,2,又,a,1,=3,q,=2.,a,3,+,a,4,+,a,5,=,a,1,q,2,(1+,q,+,q,2,),=3,4,(1+2+4)=84.,C,2.,如果数列,a,n,满足,a,1,a,2,-,a,1,a,3,-,a,2,a,n,-,a,n,-1,是首项为,1,，公比为,3,的等比数列，则,a,n,等于（）,A.B.,C.D.,解析,a,1,+,（,a,2,-,a,1,）,+,（,a,3,-,a,2,）,+,+,（,a,n,-,a,n,-1,）,=,a,n,=,C,3.,已知数列,a,n,的通项公式是,a,n,=,，其中前,n,项和,S,n,=,，则项数,n,等于（）,A.13 B.10 C.9 D.6,解析,a,n,=,S,n,=,n,-=,n,-1+,而,D,4.,若数列,a,n,的通项公式为,a,n,=2,n,+2,n,-1,则数列,a,n,的前,n,项和为（）,A.2,n,+,n,2,-1 B.2,n,+1,+,n,2,-1,C.2,n,+1,+,n,2,-2 D.2,n,+,n,2,-2,解析,S,n,=2,n,+1,-2+,n,2,.,C,5.,数列 的前,n,项,和为（）,A.B.,C.D.,解析,由数列通项公式,得前,n,项和,B,题型一 由递推公式求通项公式,【,例,1,】,分别求满足下列条件的数列的通项公式,.,(1),设,a,n,是首项为,1,的正项数列，且（,n,+1,）,+,a,n,+1,a,n,=0(,n,=1,2,3,);,(2),已知数列,a,n,满足,a,n,+1,=,a,1,=2.,依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项的差,a,n,-,a,n,-1,或通项的商,的规律,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,（,1,）,方法一,数列,a,n,是首项为,1,的正项数列,a,n,a,n,+1,0,+1=0,令,=,t,(,n,+1),t,2,+,t,-,n,=0,(,n,+1),t,-,n,(,t,+1)=0,t,=,或,t,=-1,（舍去），,即,方法二,由（,n,+1,）,+,a,n,+1,a,n,=0,得,n,()+,a,n,+1,(,a,n,+1,+,a,n,)=0,即（,a,n,+1,+,a,n,）,(,n,+1),a,n,+1,-,na,n,=0.,a,n,0,a,n,+1,+,a,n,0,(,n,+1),a,n,+1,-,na,n,=0,即,（,2,）将已知递推式化为,将以上（,n,-1,）个式子相加得,探究提高,已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由,a,1,和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想,a,n,的方法,以及累加：,a,n,=(,a,n,-,a,n,-1,)+,(,a,n,-1,-,a,n,-2,)+,+(,a,2,-,a,1,)+,a,1,;,累乘：,a,n,=,等方法,.,知能迁移,1,由已知在数列,a,n,中,a,1,=1,求满足下列条件的数列的通项公式,.,（,1,）,a,n,+1,=;(2),a,n,+1,=2,a,n,+2,n,+1,.,解,（,1,）因为对于一切,n,N,*,a,n,0,因此由,a,n,+1,=,，得,即,数列 是等差数列，,(,n,-1),2=2,n,-1,即,a,n,=,（,2,）根据已知条件得,即 数列 是等差数列,.,即,a,n,=(2,n,-1)2,n,-1,.,题型二 错位相减法求和,【,例,2,】,设数列,a,n,满足,a,1,+3,a,2,+3,2,a,3,+,+3,n,-1,a,n,=,n,N,*,.,（,1,）求数列,a,n,的通项；,（,2,）设,b,n,=,，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,（,1,）由已知写出前,n,-1,项之和，两式相减,.,（,2,）,b,n,=,n,3,n,的特点是数列,n,与,3,n,之积可用错位相减法,.,解,（,1,）,a,1,+3,a,2,+3,2,a,3,+,+3,n,-1,a,n,=,当,n,2,时，,a,1,+3,a,2,+3,2,a,3,+,+3,n,-2,a,n,-1,=,思维启迪,-,得,3,n,-1,a,n,=,a,n,=,在中，令,n,=1,得,a,1,=,，适合,a,n,=,a,n,=,(2),b,n,=,b,n,=,n,3,n,.,S,n,=3+2,3,2,+3,3,3,+,+,n,3,n,3,S,n,=3,2,+2,3,3,+3,3,4,+,+,n,3,n,+1,.,-,得,2,S,n,=,n,3,n,+1,-(3+3,2,+3,3,+,+3,n,),即,2,S,n,=,n,3,n,+1,-,探究提高,解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列,3,n,-1,a,n,的前,n,项和,从而利用,a,n,与,S,n,的关系求出通项,3,n,-1,a,n,进而求得,a,n,;,另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养,.,知能迁移,2,(2008,全国,文，,19),在数列,a,n,中，,a,1,=1,，,a,n,+1,=2,a,n,+2,n,.,（,1,）设,b,n,=.,证明：数列,b,n,是等差数列；,（,2,）求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,.,（,1,）,证明,a,n,+1,=2,a,n,+2,n,，,b,n,=,，,b,n,+1,=,b,n,+1,，即,b,n,+1,-,b,n,=1,b,1,=1,故数列,b,n,是首项为,1,，公差为,1,的等差数列,.,(2),解,由（,1,）知,b,n,=,n,a,n,=,n,2,n,-1,则,S,n,=1,2,0,+2,2,1,+,+(,n,-1),2,n,-2,+,n,2,n,-1,2,S,n,=1,2,1,+2,2,2,+,+(,n,-1),2,n,-1,+,n,2,n,两式相减，得,S,n,=,n,2,n,-1,2,0,-2,1,-,-2,n,-1,=,n,2,n,-2,n,+1.,题型三 分组转化求和,【,例,3,】,求和,S,n,=1+,数列的通项,a,n,=,2,，求,S,n,可用分,组求和法,.,解,和式中第,k,项为,思维启迪,探究提高,先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数列的和,.,它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法,.,解,前,n,项和为,S,n,=,（,1+1,）,+,=+,1+4+7+,+(3,n,-2),，,设,S,1,=,当,a,=1,时，,S,1,=,n,；,当,a,1,时，,S,1,=,知能迁移,3,求下列数列的前,n,项和：,S,2,=1+4+7+,+,（,3,n,-2,）,=,当,a,=1,时，,S,n,=,S,1,+,S,2,=,当,a,1,时，,S,n,=,S,1,+,S,2,=,题型四 裂项相消法求和,【,例,4,】,（,12,分）已知数列,a,n,中，,a,1,=1,，当,n,2,时，其前,n,项和,S,n,满足,（,1,）求,S,n,的表达式；,（,2,）设,b,n,=,，求,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解,（,1,）,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,，（,n,2,）,=,（,S,n,-,S,n,-1,）,(,S,n,-),即,2,S,n,-1,S,n,=,S,n,-1,-,S,n,，,3,分,由题意,S,n,-1,S,n,0,，,式两边同除以,S,n,-1,S,n,，得,数列 是首项为 公差为,2,的等差数列,.4,分,=1+2,（,n,-1,）,=2,n,-1,，,S,n,=6,分,（,2,）又,b,n,=,8,分,T,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,12,分,使用裂项法求和时，要注意正负项相消,时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被,消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质,上造成正负相消是此法的根源与目的,.,探究提高,知能迁移,4,已知等差数列,a,n,的首项,a,1,=1,公差,d,0,，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项,.,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,）设,b,n,=(,n,N,*,),，,S,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,，是否存在最大的整数,t,，使得对任意的,n,均有,S,n,总,成立？若存在，求出,t,;,若不存在，请说明理由,.,解,（,1,）由题意得（,a,1,+,d,）,(,a,1,+13,d,)=(,a,1,+4,d,),2,，,整理得,2,a,1,d,=,d,2,.,a,1,=1,，解得,d,=2,，,d,=0,（舍）,.,a,n,=2,n,-1,（,n,N,*,）,.,（,2,）,b,n,=,S,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,假设存在整数,t,满足,S,n,总成立，,又,S,n,+1,-,S,n,=,0,数列,S,n,是单调递增的,.,S,1,=,为,S,n,的最小值，故 ，即,t,9.,又,t,N,*,，适合条件的,t,的最大值为,8.,方法与技巧,1.,求数列通项的方法技巧：,(1),通过对数列前若干项的观察、分析,找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；,(2),理解数列的项与前,n,项和之间满足,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,（,n,2,）的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题,.,2.,a,n,的两种常见变形,a,n,=,a,1,+,（,a,2,-,a,1,）,+,（,a,3,-,a,2,）,+,+,（,a,n,-,a,n,-1,）（累加法）；,a,n,=,a,1,（累乘法）,.,思想方法 感悟提高,3.,数列求和的方法技巧,（,1,）倒序相加：用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和,.,（,2,）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和,.,（,3,）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和,.,失误与防范,1.,直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程,.,2.,重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和,.,求和过程中同时要对项数作出准确判断,.,3.,含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论,.,一、选择题,1.,等差数列,a,n,的通项公式,a,n,=2,n,-1,数列,b,n,=,其前,n,项和为,S,n,，则,S,n,等于（）,A.B.,C.D.,以上都不对,定时检测,解析,a,n,=2,n,-1,，,答案,B,2.,已知数列,a,n,满足,a,1,=1,a,n,+1,=,a,n,+2,n,，则,a,10,等于,（）,A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 047,解析,利用叠加法及等比数列求和公式，,可求得,a,10,=2,10,-1=1 023.,B,3.,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=,n,2,-4,n,+2,，则,|,a,1,|+|,a,2,|+,+|,a,10,|,等于（）,A.66B.65C.61D.56,解析,当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=-1;,当,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=,n,2,-4,n,+2-,（,n,-1,）,2,-4,（,n,-1,）,+2,=2,n,-5,，,a,2,=-1,，,a,3,=1,，,a,4,=3,，,，,a,10,=15,，,|,a,1,|+|,a,2,|+,+|,a,10,|=1+1+,=2+64=66.,A,4.,数列,1,，,1+2,，,1+2+4,，,，,1+2+2,2,+,+2,n,-1,，,的前,n,项和,S,n,1 020,，那么,n,的最小值是（）,A.7 B.8 C.9 D.10,解析,1+2+2,2,+,+2,n,-1,=2,n,-1,，,S,n,=,（,2+2,2,+,+2,n,）,-,n,=-,n,=2,n,+1,-2-,n,.,若,S,n,1 020,，则,2,n,+1,-2-,n,1 020,n,10.,D,5.,若数列,a,n,的通项为,a,n,=4,n,-1,b,n,=,n,N,*,则数列,b,n,的前,n,项和是（）,A.,n,2,B.,n,(,n,+1),C.,n,(,n,+2)D.,n,(2,n,+1),解析,a,1,+,a,2,+,+,a,n,=(4,1-1)+(4,2-1)+,+(4,n,-1),=4(1+2+,+,n,)-,n,=2,n,(,n,+1)-,n,=2,n,2,+,n,b,n,=2,n,+1,b,1,+,b,2,+,+,b,n,=(2,1+1)+(2,2+1)+,+(2,n,+1),=,n,2,+2,n,=,n,(,n,+2).,C,6.,数列,a,n,=,其前,n,项之和为,则在平面直角坐,标系中,直线,(,n,+1),x,+,y,+,n,=0,在,y,轴上的截距为（）,A.-10 B.-9 C.10 D.9,解析,数列的前,n,项和为,直线方程为,10,x,+,y,+9=0.,令,x,=0,得,y,=-9,在,y,轴上的截距为,-9.,B,二、填空题,7.,等比数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=2,n,-1,，则,.,解析,当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=1,当,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=2,n,-1-,（,2,n,-1,-1,）,=2,n,-1,，,又,a,1,=1,适合上式,.,a,n,=2,n,-1,，,=4,n,-1,.,数列,是以,=1,为首项，以,4,为公比的等比数列,.,8.,已知数列,2 008,2 009,，,1,，,-2 008,，,-2 009,，,这,个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的,前后两项之和，则这个数列的前,2 009,项之和,S,2 009,等于,.,解析,由题意,a,n,+1,+,a,n,-1,=,a,n,a,n,+,a,n,+2,=,a,n,+1,两式相加得,a,n,+2,=-,a,n,-1,a,n,+5,=,a,n,-1,即,a,n,是以,6,为周期的数列,.,2 009=334,6+5.,a,1,+,a,2,+,+,a,2 009,=,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,=2 008+2 009+1-2 008-2 009=1,即,S,2 009,=1.,1,9.,有限数列,a,n,中，,S,n,为,a,n,的前,n,项和,若把,称为数列,a,n,的,“,优化和,”,，现有一个共,2 009,项的数列：,a,1,a,2,a,3,a,2 009,若其,“,优化和,”,为,2 010,，则有,2 010,项的数列：,1,，,a,1,a,2,a,3,a,2 009,的优化和为,.,解析,依题意，,S,1,+,S,2,+,+,S,2 009,=2 009,2 010.,又数列,1,a,1,a,2,a,2 009,相当于在数列,a,1,a,2,a,2 009,前加一项,1,，,其优化和为,2 010,三、解答题,10.,数列,a,n,中,a,1,=3,a,n,+,a,n,-1,+2,n,-1=0(,n,N,*,且,n,2).,（,1,）求,a,2,、,a,3,的值；,（,2,）证明：数列,a,n,+,n,是等比数列，并求,a,n,的通项,公式；,（,3,）求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,.,（,1,）,解,a,1,=3,，,a,n,+,a,n,-1,+2,n,-1=0,（,n,N,*,且,n,2,），,a,2,=-,a,1,-4+1=-6,a,3,=-,a,2,-6+1=1.,（,2,）,证明,数列,a,n,+,n,是首项为,a,1,+1=4,公比为,-1,的等比数列，,a,n,+,n,=4,（,-1,）,n,-1,，即,a,n,=4,(-1),n,-1,-,n,a,n,的通项公式是,a,n,=4,(-1),n,-1,-,n,(,n,N,*,).,（,3,）,解,a,n,=4,（,-1,）,n,-1,-,n,（,n,N,*,），,S,n,=,a,1,+,a,2,+,+,a,n,=,4(-1),0,-1,+,4(-1),1,-2,+,4(-1),2,-3,+,+,4(-1),n,-1,-,n,=4,(-1),0,+(-1),1,+(-1),2,+,+(-1),n,-1,-,（,1+2+3+,+,n,）,=2,1-(-1),n,-,11.,已知数列,a,n,的各项均为正数，,S,n,为其前,n,项和，对于任意的,n,N,*,满足关系式,2,S,n,=3,a,n,-3.,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,）设数列,b,n,的通项公式是,b,n,=,前,n,项和为,T,n,，求证：对于任意的正数,n,，总有,T,n,1.,2,S,n,=3,a,n,-3,2,S,n,-1,=3,a,n,-1,-3(,n,2).,故,2,（,S,n,-,S,n,-1,）,=2,a,n,=3,a,n,-3,a,n,-1,，,即,a,n,=3,a,n,-1,(,n,2).,（,1,）,解,由已知得,故数列,a,n,为等比数列，且公比,q,=3.,又当,n,=1,时，,2,a,1,=3,a,1,-3,a,1,=3.,a,n,=3,n,（,2,）,证明,b,n,=,T,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,12.,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,，对一切正整数,n,，点（,n,，,S,n,）都在函数,f,(,x,)=2,x,+2,-4,的图象上,.,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,）设,b,n,=,a,n,log,2,a,n,，求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解,（,1,）由题意，,S,n,=2,n,+2,-4,，,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=2,n,+2,-2,n,+1,=2,n,+1,当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=2,3,-4=4,也适合上式，,数列,a,n,的通项公式为,a,n,=2,n,+1,，,n,N,*,.,（,2,）,b,n,=,a,n,log,2,a,n,=,（,n,+1,）,2,n,+1,，,T,n,=2,2,2,+3,2,3,+4,2,4,+,+,n,2,n,+,（,n,+1,）,2,n,+1,，,2,T,n,=2,2,3,+3,2,4,+4,2,5,+,+,n,2,n,+1,+,（,n,+1,）,2,n,+2,.,-,，得,T,n,=-2,3,-2,3,-2,4,-2,5,-,-2,n,+1,+,（,n,+1,）,2,n,+2,=-2,3,-+,（,n,+1,）,2,n,+2,=-2,3,-2,3,（,2,n,-1,-1,）,+,（,n,+1,）,2,n,+2,=,（,n,+1,）,2,n,+2,-2,3,2,n,-1,=,（,n,+1,）,2,n,+2,-2,n,+2,=,n,2,n,+2,.,返回,