高考数学 7.4基本不等式总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,基本不等式,(1),基本不等式成立的条件,:_.,(2),等号成立的条件,:,当且仅当,_,时取等号,.,7.4,基本不等式,:,a,0,b,0,a,=,b,基础知识 自主学习,2.,几个重要的不等式,(1),a,2,+,b,2,_(,a,b,R,).,(2)_(,a,b,同号,).,(3)(,a,b,R,).,(4)(,a,b,R,).,3.,算术平均数与几何平均数,设,a,0,b,0,，则,a,b,的算术平均数为,几何平均,数为,_,，基本不等式可叙述为：,_,_.,2,ab,2,术平均数不小于它们的几何平均数,两个正数的算,4.,利用基本不等式求最值问题,已知,x,0,y,0,则,(1),如果积,xy,是定值,p,，那么当且仅当,_,时，,x,+,y,有最,_,值是,_.,（简记：积定和最小）,(2),如果和,x,+,y,是定值,p,那么当且仅当,_,时,xy,有最,_,值是,_.,（简记：和定积最大）,x,=,y,小,x,=,y,大,基础自测,1.,下列结论中不正确的是 （）,A.B.,C.,a,2,+,b,2,2,ab,D.,解析,只有当,a,、,b,同号且不为零时,成立，,B,2.,已知向量,a,=(,x,-1,1),b,=,则,|,a,+,b,|,的最小,值 是 （）,A.1 B.C.D.2,解析,a,+,b,=,|,a,+,b,|=,B,3.,当,x,1,时，关于函数 下列叙述正确,的是 （）,A.,函数,f,(,x,),有最小值,2,B.,函数,f,(,x,),有最大值,2,C.,函数,f,(,x,),有最小值,3,D.,函数,f,(,x,),有最大值,3,解析,x,1,x,-10,C,4.,已知,a,0,b,0,，则,a,+2,b,的最小值为,（）,A.B.C.D.14,解析,据题意知,A,5.,若,0,x,1,，则,f,(,x,)=,x,(4-3,x,),取得最大值时，,x,的值为,（）,A.B.C.D.,解析,0,x,0,x,(4-3,x,)=,3,x,(4-3,x,),当且仅当,3,x,=4-3,x,即,x,=,时取得等号,.,D,题型一 利用基本不等式证明不等式,【,例,1,】,已知,x,0,y,0,z,0.,求证：,由题意，先局部运用基本不等式，再利,用不等式的性质即可得证,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,证明,x,0,y,0,z,0,当且仅当,x,=,y,=,z,时等号成立,.,利用基本不等式证明不等式是综合法证明,不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题,的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经,过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题,.,探究提高,知能迁移,1,（,1,）证明：,a,4,+,b,4,+,c,4,+,d,4,4,abcd,;,(2),已知,a,0,b,0,a,+,b,=1,求证,:,证明,（,1,）,a,4,+,b,4,+,c,4,+,d,4,2,a,2,b,2,+2,c,2,d,2,=2(,a,2,b,2,+,c,2,d,2,)2,2,abcd,=4,abcd,.,原不等式得证,.,（,2,）,a,0,b,0,a,+,b,=1,，,所以原不等式成立,.,题型二 利用基本不等式求最值,【,例,2,】,求下列各题的最值,.,（,1,）已知,x,0,y,0,lg,x,+lg,y,=1,求 的最,小值；,（,2,）,x,0,求 的最小值；,（,3,）,x,0,是常数，故可直接利用基本,不等式,.,（,3,）由于 不是常数，故需变形,.,又,x,-30,y,0,lg,x,+lg,y,=1,可得,xy,=10.,当且仅当,2,y,=5,x,即,x,=2,y,=5,时等号成立,.,方法二,由,x,0,y,0,lg,x,+lg,y,=1,可得,当且仅当 即,x,=2,y,=5,时等号成立,.,(2),x,0,等号成立的条件是 即,x,=2,f,(,x,),的最小值是,12.,(3),x,3,x,-30,当且仅当 即,x,=1,时，等号成立,.,故,f,(,x,),的最大值为,-1.,(4),令,sin,2,x,+1=,t,则,t,1,，,2,，故,任取,t,1,t,2,1,，,2,且,t,1,t,2,t,1,t,2,且,t,1,t,2,1,，,2,，,t,1,-,t,2,0,t,1,t,2,-50,g,(,t,1,),g,(,t,2,),g,(,t,),在,1,，,2,上是减函数，,f,(,x,),min,=,等号成立的条件是,sin,2,x,+1=2.,sin,x,=,1,故,f,(,x,),的最小值是,利用基本不等式求最值问题,基本方法,是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注,意元的范围,同时也要注意,“,拆项,”,、,“,凑项,”,的技,巧，特别要注意等号能否取到,.,探究提高,知能迁移,2,（,1,）已知,x,0,y,0,，且 求,x,+,y,的最小值；,（,2,）已知,x,0,y,0,当且仅当 时，上式等号成立，,x,=4,y,=12,时，,(,x,+,y,),min,=16.,(2),x,0,-2+3=1,当且仅当,即,x,=1,时，上式等号成立，,故当,x,=1,时，,y,max,=1.,(3),由,2,x,+8,y,-,xy,=0,得,2,x,+8,y,=,xy,当且仅当 即,x,=2,y,时取等号，,又,2,x,+8,y,-,xy,=0,x,=12,y,=6,当,x,=12,y,=6,时，,x,+,y,取最小值,18.,题型三 利用基本不等式解应用题,【,例,3,】,(12,分,),某造纸厂拟建一座平,面图形为矩形且面积为,162,平方米的,三级污水处理池,池的深度一定,(,平面图如图所示,),如果池四周围墙建造单价为,400,元,/,米，中间两道隔,墙建造单价为,248,元,/,米,池底建造单价为,80,元,/,米,2,水池所有墙的厚度忽略不计,.,（,1,）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，,并求出最低总造价；,（,2,）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过,16,米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求,出最低总造价,.,思维启迪,设污水处理池的宽为,x,米,则长为 米,由题意可建立总造价与,x,的函数关系,进而通过求函数,的最值确定,x,的取值,.,解,（,1,）设污水处理池的宽为,x,米，,则长为 米,.1,分,当且仅当,(,x,0),即,x,=10,时取等号,.5,分,当长为,16.2,米，宽为,10,米时总造价最低，最低总造,价为,38 880,元,.6,分,（,2,）由限制条件知,8,分,g,(,x,),有最小值，,10,分,即,f,(,x,),有最小值为,当长为,16,米，宽为 米时，,总造价最低，为,38 882,元,.12,分,（,1,）解应用题时，一定要注意变量的实,际意义，即变量的取值范围,.,（,2,）在求函数最值时，除应用基本不等式外,有时会,出现基本不等式取不到,“,=,”,，此时要考虑函数的单,调性,.,探究提高,知能迁移,3,某学校拟建一块周长为,400 m,的操场如,图所示，操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学,生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操,区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？,解,设中间矩形区域的长，宽分别为,x,m,y,m,中间的矩形区域面积为,S,，则半圆的周长为,因为操场周长为,400,所以,即把矩形的长和宽分别设计为,100 m,和 时，,矩形区域面积最大,.,1.,恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代,数式要进行适当变形,.,比如：,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.,常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接,.,(1)(,a,0,且,a,R,),当且仅当,a,=1,时,“,=,”,成立,.,(2)(,a,0,b,0,a,b,R,),当且仅当,a,=,b,时,“,=,”,成立,.,3.,二次配方：,a,0,a,R,应用不等式 可解,决部分分式不等式的最值问题,.,比如：当,x,2,时，,使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在,前提,“,一正、二定、三相等,”,的忽视,.,要利用基本不,等式求最值，这三个条件缺一不可,.,失误与防范,(1),确保,“,一正,”,.,对于负数，很多不等关系就不一定,成立,.,如：当,x,0,时，,y,2,x,0,，,b,0,若 是,3,a,与,3,b,的,等比中项，则 的最小值为 （）,A.8 B.4 C.1 D.,解析,由题意知,3,a,3,b,=3,即,3,a,+,b,=3,，所以,a,+,b,=1.,因为,a,0,b,0,当且仅当,a,=,b,时，等号成立,.,B,3.,已知,x,0,，,y,0,，,lg 2,x,+lg 8,y,=lg 2,则 的最,小值是 （）,A.2 B.C.4 D.,解析,由,lg 2,x,+lg 8,y,=lg 2,得,lg 2,x,+3,y,=lg 2,x,+3,y,=1,C,4.,已知 （,a,2),(,x,n,B.,m,则 的最小值为,(),A.-3 B.2 C.5 D.7,解析,D,6.,函数,x,(0,3),，则,（）,A.,f,(,x,),有最大值,B.,f,(,x,),有最小值,-1,C.,f,(,x,),有最大值,1 D.,f,(,x,),有最小值,1,解析,x,(0,3),x,-1(-1,2),(,x,-1),2,0,，,4),，,当且仅当 且,x,(0,3),即,x,=2,时取等号，当,x,=2,时，函数,f,(,x,),有最小值,1.,D,二、填空题,7.,若正数,a,、,b,满足 则,a,+,b,的最小值为,_.,解析,8.,函数,y,=,a,x,-1,(,a,0,且,a,1),的图象恒过定点,A,若点,A,在一次函数,y,=,mx,+,n,的图象上，其中,m,n,0,则,的最小值为,_.,解析,由题知,A,（,1,，,1,），,m,+,n,=1,，,m,n,0.,4,9.,若实数,a,b,满足,ab,-4,a,-,b,+1=0(,a,1),，则,(,a,+1)(,b,+2),的最小值为,_.,解析,ab,-4,a,-,b,+1=0,ab,=4,a,+,b,-1,(,a,+1)(,b,+2)=,ab,+2,a,+,b,+2=6,a,+2,b,+1,a,1,a,-10.,当且仅当,(,a,-1),2,=1,即,a,=2,时成立,.,最小值为,27.,答案,27,三、解答题,10.(1),求函数,y,=,x,(,a,-2,x,)(,x,0,，,a,为大于,2,x,的常数,),的,最大值；,(2),设,x,-1,求函数 的最值,.,解,（,1,）,x,0,a,2,x,当且仅当 时取等号，故函数的最大值为,（,2,）,x,-1,x,+10.,设,x,+1=,z,0,则,x,=,z,-1,当且仅当,z,=2,即,x,=1,时上式取等号,.,x,=1,时,函数,y,有最小值,9,无最大值,.,11.(1),已知,a,0,b,0,c,0,且,a,+,b,+,c,=1.,求证,:,（,2,）已知,a,0,b,0,求证：,证明,（,1,）,a,+,b,+,c,=1,=3+2+2+2=9.,等号成立的条件是,a,=,b,=,c,故,（,2,）,方法一,方法二,a,0,b,0,由不等式的性质,+,得：,12.,西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，,对生产的羊皮手套进行促销,.,在,1,年内,据测算年销售,量,S,（万双）与广告费,x,（万元）之间的函数关系为,(,x,0,),已知羊皮手套的固定投入为,3,万元,每生产,1,万元羊皮手套仍需再投入,16,万元,.,（年销售,收入,=,年生产成本的,150%+,年广告费的,50%,）,(1),试将羊皮手套的年利润,L,（万元）表示为年广告,费,x,(,万元,),的函数；,(2),当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利,润最大,最大利润为多少？（年利润,=,年销售收入,-,年广告费）,解,(1),由题意知,羊皮手套的年成本为,(16,S,+3),万元,年销售收入为（,16,S,+3,）,150%+,x,50%,，,年利润,L,=,（,16,S,+3,）,150%+,x,50%-,（,16,S,+3,）,-,x,，,当且仅当 即,x,=4,时，,L,有最大值为,21.5,，,因此，当年广告费投入为,4,万元时，此公司的年利润,最大，最大利润为,21.5,万元,.,返回,