高考数学 基本初等函数(Ⅱ)总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学直通车之,-,基本初等函数（,）,知识体系,第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1.,弧度制,(1),弧,AB,的长,=,半径,AOB=1,弧度,.,rad,=360,1,rad,=,.,(2),扇形半径为,r,，圆心角的弧度数是,则这个扇形的弧长,l=|,|r,面积,S=|,周长,=|r+2r.,2.,角的概念的推广,(1),任意角的定义,角可以看成平面内一条射线,所,成的图形,.,绕着端点从一个位置旋转到另一个位置,(2),按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转,形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角,.,(3),当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与,x,轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角,.,(4),所有与角,终边相同的角，连同角,在内，构成角的集合是,|,=k360+,kZ.,3.,任意角的三角函数,设,是一个任意角，,的终边上任意一点,P,的坐标是,(,x,y,),它与,原点的距离为,r(r,=),那么,sin=,，,cos,=,tan=(x0).,4.,单位圆与三角函数线,用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）,.,sin,=,MP,cos,=,OM,tan,=AT.,典例分析,题型一 象限角问题,【,例,1】,若,是第二象限的角，则 是第几象限的角,?,是第几象限的角,?2,是第几象限的角,?,5.,三角函数值在各象限的符号,象限,函数 符号,sin,+,+,-,-,cos,+,-,-,+,tan,+,-,+,-,分析,由于,是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出,的范围，进而求得,2,的范围，判定其所在的象限,.,解,由,是第二象限的角得,k360+90,k360+180,（,kZ,）,.,(1)k180+45,k180+90,（,kZ,）,当,k=2n,（,nZ,）时，,n360+45,n360+90,（,nZ,）,则 是第一象限角,;,当,k=2n+1,（,nZ,）时，,n360+225,n360+270,（,nZ,）,则 是第三象限角,.,综合、可知，是第一或第三象限角,.,（,2,）,360+30,360+60,（,kZ,）,当,k=3n,（,nZ,时）,n360+30,n360+60,（,nZ,）,则 是第一象限角,;,当,k=3n+1,（,nZ,）时，,n360+150,n360+180,（,nZ,）,则 是第二象限角；,当,k=3n+2,（,nZ,）时，,n360+270,n360+300,（,nZ,）,则 是第四象限角,.,综合、可知，是第一、第二或第四象限角,.,（,3,）,2k360+180,2,2k360+360,（,kZ,）,.,故,2,是第三、第四象限角或是终边落在,y,轴的负半轴上,.,举一反三,1.,设,为第三象限角，试判断 的符号,.,学后反思,知道,所在的象限，则,，,所在的象限也可由象限等分法得到，下面以 为例说明,.,如图所示，将每一个象限二等分（若是 则三等分，,，）从,x,轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字,1,，,2,，,3,，,4,，,1,，,2,，,3,，,4,；,若,是第一象限角，则 在标有数字,1,的区域内,;,若,是第二象限角，则 在标有数字,2,的区域内，,以此类推，则很容易确定 所在的象限,.,解析,:,为第三象限角，,2k+,2k+(,kZ,),k,+,k,+(,kZ,).,当,k=2n(nZ),时，,2n+,2n+,（,nZ,）,此时 在第二象限，,sin,0,cos,0,0,；,当,k=2n+1(nZ),时，,(2n+1)+,(2n+1)+(,nZ,),即,2n+,2n+(,nZ,),此时 在第四象限，,sin,0,cos,0,0.,综上可知,:,0.,题型二 扇形弧长、面积公式的应用,【,例,2】,一个扇形的周长为,20 cm,当扇形的圆心角,等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积,.,分析,运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题,.,学后反思,求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解,.,除此之外，也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值,.,解,设扇形的半径为,r,，则弧长为,l=20-2r,于是扇形的面积：,S=(20-2r)r=-+25.,当,r=5,时，,l=10,，,=2(,弧度,),S,取到最大值，此时最大值为,25 .,故当扇形的圆心角,=2,弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是,25 .,举一反三,2.,已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径为,r.,（,1,）若,=60,，,r=10 cm,，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积,;,(2),若扇形的周长是一定值,C,（,C,0,），当,为多少弧度时，该扇形有最大面积？,解析：,（,1,）设弧长为,l,，弓形面积为 ，,=60=,r=10,l=,(cm,),=-S=10-sin,=50 ().,扇形面积为,(2),方法一：扇形周长,C=2r+l=2r+r,r=,=,当且仅当,=,即,=2(=-2,舍去,),时，扇形面积有最大值,.,方法二：由已知,2r+l=,C,r,=(l,C),S=,=,当,l=,时,此时,=,当扇形圆心角为,2,弧度时，扇形面积有最大值,.,题型三 利用三角函数的定义求三角函数值,【,例,3】(12,分,),已知角,的终边经过点,P,（,-4a,3a,）,(a0),求,sin,、,cos,、,tan,的值,.,分析,根据任意角三角函数的定义，应首先求出点,P,到原点的距离,r,，由于含有参数,a,要注意分类讨论,.,解,r=5|a|2,若,a,0,，,r=5a,角在第二象限，,sin=,cos,=tan=,；,.6,若,a,0,r=-5a,角在第四象限，,.8,sin=,cos,=,tan=12,学后反思,（,1,）当角,的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论,.,（,2,）熟记几组常用的勾股数组，如,(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),等，会给我们解题带来很多方便,.,（,3,）若角,已经给定，不论点,P,选择在,的终边上的什么位置，角,的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角,终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角,的三角函数值也都是确定的,.,举一反三,3.,已知角,的终边过点,P,（,-4m,3m,）,(m0),则,2sin,+cos,的值为,(),A.1,或,-1 B.,或,C.1,或,D.,解析：,当,m,0,时，点,P,在第二象限，,|OP|=5m,有,2sin,+cos,=,当,m,0,时，点,P,在第四象限，,|OP|=-5m,有,2sin,+cos,=,答案：,B,4.,已知锐角,终边上一点,P,的坐标是（,2sin 2,-2cos 2,），,则,等于,(),A.2 B.-2 C.2-D.-2a,题型四 利用三角函数线解三角不等式,【,例,4】,解下列不等式,.,（,1,）,sin ;(2)cos .,分析,作出满足,sin=,、,cos,=,的角的终边，然后根据已知条件确定角,终边的范围,.,解析：,由题意得,当 时，,所以,答案：,C,解,(1),作直线,y=,交单位圆于,A,、,B,两点，连接,OA,、,OB,，则,OA,与,OB,围成的区域（图,1,中阴影部分）即为角,终边的范围,.,故满足条件的角,的集合,为,|2k+2k+,kZ,.,(2),作直线,x=-,交单位圆于,C,，,D,两点，连接,OC,与,OD,，则,OC,与,OD,围成的区域（图,2,中阴影部分）即为角,终边的范围,.,故满足条件的角,集合为,|2k+2k+,kZ,.,图,1,图,2,学后反思,对形如,f()m,或,f()m,的三角函数，求角,的范围的问题可利用三角函数线来求解,.,举一反三,5.,求下列函数的定义域,.,（,1,）,y=;(2)y=lg(3-4 ).,解析：,(1)2cos x-10,cos x .,如图,1,，在单位圆中，利用三角函数线可求得,x,的范围为：,2k-,2k+(,kZ,).,图,1,图,2,易错警示,（,2,）,3-4,0,-,sin x,，如图,2,，,由单位圆及三角函数线，得,x(k,-,k,+)(,kZ,).,【,例,】,已知,+,-,-,-,则,2-,的取值范围为,.,错解,由 ,+,得,0,所以,-,-,0,，,0,2,.,由,+,得,-,-,-,由,+,得,-,2-,.,错解分析,上述解题过程分别求出,、,的范围,所采用的做法是不等价的，扩大了范围,.,正解,设,2-=,A(+)+B(-)(A,B,为待定系数,),，,则,2-=(,A+B)+(A-B),.,对应两边系数得 解得,所以,2-=(,+,)+(,-,).,又 ,(,+,),-,(,-,),-,所以,-,2-,.,考点演练,半径为,4,的扇形，如果它的周长等于它所在圆的周长的一,半，则该扇形的面积为,.,解析,:,设扇形的圆心角为,，则有,8+4=4,所以,=-2,于是该扇形的面积为,.,答案,:,8-16,11.,已知角,的终边在直线,y=-3x,上,求 的值,.,解析：,如图,(1),当角,终边在第二象限时,取终边上一点,(-1,3),，,此时,x=-1,y=3,r=,，,（,2,）当角,终边在第四象限时，取点（,1,，,-3,），此时,x=1,y=-3,，,r=,12.,如图,动点,P,、,Q,从点,A,（,4,，,0,）出发沿圆周运动，点,P,按逆时针,方向每秒钟转 弧度，点,Q,按顺时针方向每秒钟转 弧度，求,P,、,Q,第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点,P,、,Q,各自走过的弧长,.,解析：,设,P,、,Q,第一次相遇时所用的时间是,t,，,则 ，所以,t=4(,秒,),，即第一次相遇的时间为,4,秒,.,设,第一次相遇点为,C,，第一次相遇时点,P,已运动到终边在 的位,置，则,所以点,C,的坐标为（,-2,，,-23,）,点,P,走过的弧长为,，点,Q,走过的弧长为,.,第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式,基础梳理,1.,同角三角函数基本关系式,（,1,）平方关系：,(2),商数关系：,cot,2.,诱导公式,-,cot,-,tan,-,tan,tan,tan,tan,sin,-,sin,-,cos,cos,-,cos,cos,cos,cos,cos,sin,-,sin,-,sin,sin,sin,-,-,+,角,三角函数,2.,诱导公式,cot,-,cot,-,tan,-,tan,tan,tan,tan,sin,-,sin,-,cos,cos,-,cos,cos,cos,cos,cos,sin,-,sin,-,sin,sin,sin,-,-,+,角,三角函数,即,+k2(kZ),-,的三角函数值，等于,的,同名函数值，前面加上一个把,看成锐角时原函数值,的符号；,的正弦（余弦）函数值，分别等于,的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把,看成锐角时,原函数值的符号,.,4.,必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，,见值知角”,.,角,0,30,45,60,90,120,150,180,270,角,的,弧度数,0,sin,0,1,0,-1,cos,1,0,-1,0,tan,0,1,不存在,0,不存在,典例分析,题型一 同角三角函数关系的应用（一）,【,例,1】,已知,cos,=,则,sin=,tan=.,分析,由,cos,求,sin,时,可利用公式,同时要注意象限的划分,.,解,cos,=,0,是第二、三象限的角,.,若,是第二象限角，则,sin,0,tan,0,sin=tan=,若,是第三象限角，则,sin,0,tan,0,sin=-=-,tan=,举一反三,学后反思,(1),掌握常用的勾股数组：（,3,4,5,）,;,（,5,12,13,）,;,（,8,15,17,）,.,(2),要根据问题的需要对公式 进行变形及“,1”,的代换，即,.,(3),若已知正弦、余弦或正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论和运算，做到不重不漏,.,1.,已知,=-1,，求下列各式的值,.,（,1,）,（,2,）,题型二 同角三角函数关系的应用（二）,解析,:,由已知得,tan=.,(1),(2),【,例,2】,已知,.,求,sin,x-cos,x,的值,.,分析,将已知条件平方得出,sin,xcos,x,再根据,sin,x-cos,x,与,sin,xcos,x,的,关系求解,.,解,分母切化弦，分子用二倍角的正弦公式化为含单角,x,的正,弦、余弦，代入已知条件求值,.,由,平方，得,即,.,.,又,0,sin,x-cos,x0,sin,x-cos,x=.,学后反思,如果已知,sin,+cos,sin,cos,sin,-cos,中,的一个，完全可通过列方程（组）求出另外两个值,.,这里,sin,cos,是,纽带，它把另外两个联系起来。,举一反三,2.,已知,(0,).,求值：,（,1,）,tan;(2)sin,-cos,;(3),解析：,(0,),平方得，,sin,cos,=0,cos 0,且,sin,cos,是方程 的两根，,解方程得,题型三 诱导公式的应用,【,例,3】,化简：,分析,化简上式，要认真观察“角”，显然需要利用诱导公式，注意诱导公,式的合理选用,.,解方法一：原式,=,方法二：原式,=,学后反思,当角中有 加减某个角时，,要考虑用诱导公式进行化简,.,（,1,）诱导公式应用原则是：负化正,大化小,化到锐角为终了,.,（,2,）,2-,可以化为,+(-,),也可以化为,2+(-);-,可以化,为,-(,+,),也可以化为,-2+(-).,举一反三,3.,已知,(1),化简,f,（,）,;,(2),若,是第三象限角,且,求,f(,),的值；,（,3,）若,求,f(,),的值,.,解析：,（,1,）,(2),且,是第三象限角,，,题型四 三角函数公式在解三角形中的应用,【,例,4】(12,分,),在,ABC,中，若,sin(2-A)=-,sin(,-B),cos,A=-,cos(,-B),求,ABC,的三个内角,.,分析,由诱导公式可化简得到,sin A=sin B,cos,A=,cos,B,进而由 可求出,A,，进一步即可求出,B,和,C.,学后反思,在,ABC,中，,A+B+C=,2A+2B+2C=2,sin(A+B,)=,sin(,-C)=sin C,解,由已知得,sin A=sin B,cos,A=,cos,B,.2,两式平方相加得,2 =1,cos A=.6,若,cos,A=-,则,cos,B=-,此时，,A,，,B,均为钝角，不可能，,cos,A=,，故,A=,8,cos,B=,cos,A=B=,.10,C=-(A+B)=.12,举一反三,cos(A+B,)=,cos(,-C)=-,cos,C,tan(A+B,)=,tan(,-C)=-tan C,sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin 2C,cos(2A+2B)=cos(2-2C)=,cos,2C,tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan 2C,以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用,.,4.,在锐角三角形,ABC,中，,求证：,sin,A+sin,B+sin,C,cos,A+cos,B+cos,C.,易错警示,证明：,ABC,是锐角三角形，,A+B,即 ,A,-B,0,sin A,sin(-B),即,sin A,cos,B;,同理,sin B,cos,C,，,sin C,cos,A,sin,A+sin,B+sin,C,cos,A+cos,B+cos,C.,【,例,】,已知直线,l,的倾斜角是,，且,sin=,则直线,l,的斜率,k,等于,.,错解,因为直线,l,的倾斜角是,又因为,sin=,，,所以,cos,=,于是,l,的斜率,k=,错解分析,在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范围，不注意对,进行分类讨论，而只得到,k=,的错误结果,.,因此在解决此类问题时，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯,.,正解,因为直线,l,的倾斜角是,，所以,0,).,又因为,sin,=,所以,cos,=,于是,l,的斜率,k=,10.,下列三角函数中，,与,sin,数值相同的是,.,解析,:,原式,=,则不是；,由诱导公式可求得与,sin,数值相同的是,.,答案,:,11.,若,sin(-,)=2cos(2-),求 的值,.,解析：,由,sin(-,)=2cos(2-),得,-sin=2cos,即,tan=-2.,所以原式,=,12.,在,ABC,中，角,A,B,C,的对边分别为,a,，,b,，,c,，,tan C=.,(1),求,cos,C;,(2),若 且,a+b,=9,求,c.,解析：,(1)tan C=,又,解得,cos,C=.,tan C,0,C,是锐角，,cos,C=.,(2),abcosC,=,ab,=20.,又,a+b,=9,=81,，,=41,，,-2abcos C=36,c=6.,基础梳理,第三节 两角和与差的正弦、余弦及正切公式,1.,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,:,cos(-,)=,cos,cos,+sin,sin,;,:,cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,;,:,sin(+,)=sin,cos,+cos,sin,;,:,sin(-,)=sin,cos,-cos,sin,;,:,tan(+,)=,:,tan(-,)=,2.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,:sin 2=2sin,cos,;,:,cos,2=,:tan,=,3.,形如,asin,+bcos,的代数式的化简,asin,+bcos,=,sin(+,).,其中,cos,=,sin,=,tan=,的终边所在象限由,a,、,b,的值来确定,.,典例分析,题型一 化简求值,分析,50,、,10,、,80,都不是特殊角，但注意到它们的和,60,、,90,都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外，正切函数化弦后出现分式，可通过约分去掉非特殊角,.,【,例,1】,求,2sin 50+sin 10(1+tan 10),的值,.,解,原式,=(2sin 50+sin 10,=2(sin 50+2sin 10 ),cos,10,=2,sin 50cos 10+sin 10cos(60-10),=2 sin(50+10)=2 =.,学后反思,对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：,（,1,）化为特殊角的三角函数值；,（,2,）化为正负相消的项，消去项求值；,（,3,）化分子、分母，使之出现公约数进行约分而求值,.,举一反三,1.,求,cos40(1+tan 10),的值,.,解析,:,原式,=sin 50(1+),=sin 50 =sin 50,=1.,题型二 知值求角,分析,（,1,）欲求角，应先求其某种三角函数值,.,（,2,）从已知条件找出角,+2,的范围，确定其值,.,【,例,2】,已知,3sin 2-2sin 2=0,且,、,都是锐角，求,+2,的值,.,解,方法一：由 得,即,cos,2=3 .,又由,3sin 2-2sin 2=0,得,sin 2=sin 2.,cos(+2)=,cos,cos,2-sin,sin,2,=,cos,3 -sin sin,=3 ,cos,-3cos =0.,又,0,90,0,90,0,+2,270.,故,+2=90.,学后反思,解决给值求角问题一般分如下三个步骤：,（,1,）求角的某一个三角函数值；,（,2,）确定角所在的范围；,（,3,）确定所求角的值,.,举一反三,方法二：由 得,3 =,cos,2,又由,3sin 2-2sin 2=0,得,sin 2=sin 2,得,tan=cot 2.0,90,0,2,90.,cot(90-)=cot 2,又,0,90-,90,0,2,90,，,+2=90.,2.,已知,tan=,tan=,并且,、,均为锐角，求,+2.,题型三 知值求值,解析：,tan=,1,tan=,1,且,、,均为锐角，,0,0,+2,.,又,tan,tan(+2)=,+2=.,【,例,3】,已知,0,且,cos(,-)=-,sin(-)=,求,cos(+,),的值,.,分析,要求的是,cos(+,),的值，已知条件不能直接利用，观察知,道,(-)-(-)=,，这样就可以先求出 的正弦值或余,弦值，再通过余弦的二倍角公式将问题解决,.,解,0,-(,).,又,cos(,-)=-,0,-(,),sin(,-)=.,-(-,),sin(-)=,0,-(0,),cos,(-)=.,=(-)-(-),cos,=,cos(,-)-(-),=,cos(,-),cos,(-,)+sin(,-)sin(-),=,cos(+,)=,举一反三,学后反思,三角恒等变换中经常用到角度变换，如：,=(,+,）,-=,（,-)+,2=(,+)+(-,)=(,+)-(,-,),+,=2 ,=(-)-(-),等，通过这些角的变换实现,利用已知条件达到整体求解的目的,.,如本题中通过,=(-)-,(-),实现了问题的转化，考生复习该部分时要注意领会这种思想,.,3.,已知,sin,sin,=16,(,),求,sin 4.,解析：,方法一：,sin,sin,=,sin,cos,=,sin(+2)=,即,cos,2=.,(,),2(,2),，,sin 2=-,sin 4=2sin 2cos 2=-.,题型四 实际应用,方法二：由条件得,(,cos,+sin,)(,cos,-sin)=,即,cos,2=.,由,2(,2),得,sin 2=,，,sin 4=-.,【,例,4】(12,分,),已知在,ABC,中，,tan,A+tan,B+=tan,Atan,B,且,sin,Acos,A=,试判断此三角形的形状,.,分析,提取系数 ，与,tan(+,)=,相联系,.,解,sin,Acos,A=sin 2A=,0,A,.2,A=30,或,60.4,学后反思,(1)tan,+tan,=tan(+)(1-tan,tan,),是一种常用的变化技巧，应熟记,.,（,2,）判断三角形的形状可以借助三角函数值之间的关系，另对于判断三角形是钝角或锐角三角形时，应利用余弦值或正切值的正负来判断,尽量不用正弦值来判断,.,举一反三,又,tan,A+tan,B=-(1-tan,Atan,B),tan(A+B,)=-,A+B=120.8,当,A=30,时，,B=90,，,tan B,无意义,;.10,当,A=60,时，,B=60,ABC,为正三角形,.12,4.,如图所示，,A,、,B,是单位圆,O,上的点，且,B,在第二象限，,C,是圆与,x,轴正半轴的交点，,A,点的坐标为,AOB,为正三角形,.,（,1,）求,sinCOA,;,（,2,）求,cosCOB,.,解析,:,(1),因为,A,点的坐标为,根据三角函数的定义，,sinCOA,=.,(2),因为,AOB,为正三角形，所以,AOB=60.,又因为,sinCOA,=,cosCOA,=,所以,cosCOB,=cos(COA+60),=,cosCOAcos,60-sinCOAsin 60,=,【,例,】,若,且,、,为锐角，求,+,的值,.,易错警示,错解,、,为锐角,0,+,+,=45,或,135.,错解分析,上述解法欠严密，仅由,sin(+,)=22,0,+,180,而得到,+,=45,或,135,，但没注意题设中,.,使得,0,+,60,故上述结论是错误的,.,实质上本题是由于方法不当导致运算量加大和忽视角的范,围限制而致错,.,我们若取,+,的余弦，则易求得,cos(+,)=,又由于,0,+,故,+,=.,这样就避免了上述角的范围的,探求,.,因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数，,往往能化繁为简,.,正解,由以上求得 ，,cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,=.,、,为锐角，,0,+,+,=,.,考点演练,10.,（,2009,天津和平区模拟）的值为,.,解析,答案：,1,11.,已知向量,m=(,cos,sin,),和,n=(-sin,cos,),(,2),且,|,m+n,|=,求 的值,.,解析：,方法一：,由已知,|,m+n,|=,，得,.,方法二：,由已知,12.(,创新题,),如图，在平面直角坐标系,xOy,中，以,Ox,轴为始边作两个锐角,、,，它们的终边分别与单位圆相交于,A,、,B,两点,.,已知,A,、,B,的横坐标分别为 、,.,（,1,）求,tan(+,),的值；,（,2,）求,+2,的值,.,解析：,由已知得,cos,=,cos,=.,、,为锐角，,sin,=,sin,=,tan,=7,tan=.,(1)tan(+)=,(2)tan2=,tan(+2)=,、,为锐角，,0,+,+2=.,第四节 简单的三角恒等变换,基础梳理,两角差的余弦公式为,cos(-,)=,cos,cos,+sin,sin,;,两角和的余弦公式为,cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,;,两角差的正弦公式为,sin(-,)=sin,cos,-cos,sin,;,两角和的正弦公式为,sin(+,)=sin,cos,+cos,sin,.,上述公式对任意的,、,都成立,.,2.,公式 是,tan(,-,)=,公式,是,tan(+,)=,它们成立的,条件是,k,+,k,+,k,+,kZ,.,3.,在 中，令,=,可得到,sin2=2sin,cos,简记为,.,在 中，令,=,可得到,cos2=,简记为,.,在 中，令,=,可得到,tan2=,简记为,.,4.,在 中考虑 可将 变形为,，它简记为,.,5.,在 中令,=,得,cos,=-1=1-,将公式变形,可得,2,C,a,6.,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,7.,升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：,升幂公式：,1+cos2=;1-cos2=.,降幂公式：,cos2=,典例分析,题型一,sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx,三者之间的转换问题,【,例,1】,已知,-,x,0,sin,x+cos,x=.,(1),求,sin,x-cos,x,的值；,(2),求 的值,.,分析,由,-4sin,xcos,x,知,只需求出,sin,xcos,x,即可,.,解,（,1,）方法一：由,sin,x+cos,x=,平方得,即,2sin,xcos,x=-.,=1-2sinxcosx=,又,-,x,0,sinx,0,cosx,0,sinx-cosx,0,故,sinx-cosx,=-.,方法二：联立方程 ,由得,sinx,=-,cosx,将其代入,整理得,25 -5cosx-12=0,cosx=-,或,cosx,=,-,x,0,sinx-cosx,=-.,举一反三,(2),=sin,xcos,x(2-cos x-sin x),=,学后反思,sin,xcos,x,sin,xcos,x,之间的关系为,=12sin,xcos,x,=2,，由此知三者知其一，可求其二，但需注意角,x,的范围对结果的影响,.,1.,已知,sin(,-)=,cos,2=,求,sin,及,tan(,+).,解析,:,由题设条件，应用两角差的正弦公式得，,sin(,-)=(,sin-cos,)=,即,sin-cos,=.,由题设条件，应用二倍角余弦公式得，,cos2=(,cos-sin)(cos+sin,),=-(,cos+sin,)=,故,cos+sin,=-.,由和得,sin,=,cos,=-,因此,tan,=-,由两角和的正切公式得,题型二 三角函数公式的灵活应用,【,例,2】,化简下列各式,.,(1)(2),分析,（,1,）注意应用公式,asin+bcos,=,sin(+,).,（,2,）注意,1sin,1cos,形式的转化,.,解,(1),原式,=,（,2,）原式,=2,=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.,又,4,sin,4+cos 4,0,cos 4,0,原式,=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思,对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式则套用相应的公式,.,举一反三,题型三 三角恒等变换中角的拆变,2.,化简,:,解析：,原式,=,【,例,3】,已知,求,sin 2,的值,.,分析,抓住条件中的角“,-,”,、“,+,”,与结论中的角,2,的关系：（,-,）,+(,+,)=2.,解,又,举一反三,学后反思,掌握常用的拆角、拼角关系，如,=(,+)-,=,-(-),=(,+)+(-,),=-.,3.,已知,cos,=,cos(-,)=,且,0,.,(1),求,tan2,的值；（,2,）求,.,解析：,（,1,）由,cos,=,0,得,sin,=,tan,=,(2),由,0,得,0,-,又,cos(-,)=,sin(-,)=,题型四 三角恒等式的证明,【,例,4】,（,12,分）已知,tan(+,)=2tan.,求证：,3sin=sin(+2).,分析,观察条件与结论间的差异可知,:,(1),函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同,.,(2),角的差异是,+,;,+2.,通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：,(,+)-,=,;(+)+,=+2,由此可化异为同,.,由,=,-(-,),得：,cos,=,cos-(-,)=,coscos(-)+sinsin(-,),=,0,=.,学后反思,分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异,.,对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证,.,证明,由已知,tan(+,)=2tan,可得,sin(+)cos,=2cos(+)sin.4,而,sin(+2)=,sin(+)+,=,sin(+)cos,+cos(+)sin,=2cos(+)sin,+cos(+)sin,=3cos(+)sin,7,又,sin=,sin(+)-,=,sin(+)cos,-cos(+)sin,=2cos(+)sin,-cos(+)sin,=,cos(+)sin,.10,sin(+2)=3sin 12,举一反三,4.,已知,A,、,B,为锐角，求证：,A+B=,的充要条件是,（,1+tan A,）,(1+tan B)=2.,证明：,（,充分性）,(1+tan A)(1+tanB)=2,1+(tanA+tanB)+tanAtan B=2,tan(A+B,),（,1-tanAtanB,）,=1-tanAtanB,tan(A+B,)=1,0,A,0,B,0,A+B,A+B,=.,(,必要性,)A+B=,tan(A+B,)=tan,，,即 整理得（,1+tanA,）,(1+tanB)=2.,综上，若,A,、,B,为锐角，则,A+B=,的充要条件是,(1+tanA),（,1+tanB,）,=2.,易错警示,【,例,】,已知,且,tan,tan,是方程 的两,个根，则,+,的值为,(),A.,或,-B.-,C.-,或,D.-,错解,tan,tan,是方程 的两个根,则,tan(+,)=,+(-,).,在,(-,),内，正切值等于 的角只有 和,-.,+,=,或,-.,考点演练,错解分析,没有对条件 进行深入地分析，,扩大了,+,的取值范围,.,事实上，由,tan+tan,=-,0,tantan=4,0,可知,tan,0,，,tan,0,(-,0)+(-,0).,正解,tan,tan,是方程 的两个根，,tan,0,tan,0.,(-,0)+(-,0).,又,tan(+,)=,在,(-,0),内，正切值等于 的角只有,-,+,=-.,10.,（,2009,南通模拟）已知,则,tan(-2)=,.,解析,:,由,答案：,-1,11.,（,1,）若,=2,求,2cos,+sin,的值,;,(2),若,2cos,+sin,=1,求 的值,.,解析,（,1,）,12.,已知函数,f(x,)=,x .,(1),求,f(x,),的最大值和最小值；,(2),若不等式,|,f(x)-m,|,2,在,x,上恒成立,求实数,m,的取值范围,.,(2),由,2cos,+sin,=1,得,整理得,解析：,（,1,）,f(x,),=1+sin2x-cos2x=1+2sin ,又,x ,2x-,sin 1,即,21+2sin 3,，,=3,=2.,(2)|f(x)-m|,2f(x)-2,m,f(x)+2,m,-2,且,m,+2,1,m,4,即,m,的取值范围是,(1,4).,第五节 三角函数的图象与性质（,）,基础梳理,1.,周期函数,(1),周期函数的定义,对于函数,f(x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个,值时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数,.,非零常数,T,叫,做这个函数的周期,.,(2),最小正周期,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个,最小正数就叫做函数,f(x,),的最小正周期,.,2.,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,函数,y=sin x,y=,cos,x,y=tan x,图,象,定义域,xR,xR,xR,且,x +,k,kZ,值域,y|-1y1,y|-1y1,R,单调性,+2k,+2k,上递增,kZ,;,+2k,+2k,上递减，,kZ,(2k-1),2k,上递增,kZ,;,2k,(2k+1),上递减,kZ,(-+,k,+,k,),上递增，,kZ,函数,y=sin x,y=,cos,x,y=tan x,最值,x=+2k(kZ),时，,=1;,x=-+2k(kZ,时，,=-1,x=2k(kZ),时，,=1;,x=+2k(kZ),时，,=-1,无最值,奇偶,性,奇,偶,奇,对,称,性,对称中心,(k,0),kZ,对称轴,l:,x=,k,+(,kZ,),对称中心,（,k,+,0,（,kZ,）,对称轴,l:,x=,k,（,kZ,）,对称中心,(,0),kZ,无,周期,2,2,题型一 三角函数的定义域,分析,(1),需注意对数的真数大于零，然后利用玄函数的图象求解,.,(2),需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解,.,【,例,1】,求函数,y=1-,的定义域,.,解,由题意得：,解得,即,x +2k,+2k),kZ.,学后反思,求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，,常常借助于三角函数的图象和周期解决,;,求交集时可以利用单位,圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可,.,本题,中因为,y=sin,x,y,=,cos,x,的周期都是,2k,所以先在区间,0,2),内求出交集 后，再加上,2k,即可,.,举一反三,1.,求,y=,的定义域。,解析,要使函数有意义，必须使,sinx-cosx0.,方法一：利用图象，在同一坐标系中画出,0,2,上,y=sin x,和,y=,cos,x,的图象，如图所示,.,在,0,2,内，满足,sin x=,cos,x,的,x,为,再结合正弦、,余弦函数的周期是,2,所以定义域为,x|2k+x2k+,kZ,.,方法二：,sinx-cosx,=,sin(x,-)0,将,x-,视为一个整体，由正弦函数,y=,sinx,的图象和性质可知,2kx-2k+,解得,2k+x2k+.,kZ,所以定义域为,x|2k+x2k+,kZ,.,题型二 三角函数的单调性、周期,【,例,