高考数学总复习 9.3 圆的方程课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,圆的定义,在平面内，到,的距离等于,的点的,叫圆,.,2.,确定一个圆最基本的要素是,和,.,3.,圆的标准方程,（,x,-,a,）,2,+,（,y,-,b,）,2,=,r,2,（,r,0,）,其中,为圆心,为半径,.,9.3,圆的方程,基础知识 自主学习,集合,圆心,半径,(,a,b,),r,定点,定长,4.,圆的一般方程,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,表示圆的充要条件是,其中圆心为,半径,r,=,.,5.,确定圆的方程的方法和步骤,确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：,（,1,）,；,（,2,）,；,（,3,）,.,D,2,+,E,2,-4,F,0,根据题意，选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于,a,b,r,或,D,、,E,、,F,的方程组,解出,a,、,b,、,r,或,D,、,E,、,F,代入标准方程或一,般方程,6.,点与圆的位置关系,点和圆的位置关系有三种,.,圆的标准方程,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,点,M,(,x,0,y,0,),（,1,）点在圆上,:,;,（,2,）点在圆外,:,;,（,3,）点在圆内,:,.,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,=,r,2,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,r,2,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,r,2,基础自测,1.,方程,x,2,+,y,2,+,ax,+2,ay,+2,a,2,+,a,-1=0,表示圆，则,a,的取值,范围是 （）,A.,a,-2,或,a,B.,a,0,C.-2,a,0 D.-2,a,解析,方程,x,2,+,y,2,+,ax,+2,ay,+2,a,2,+,a,-1=0,转化为,+(,y,+,a,),2,=,a,2,-,a,+1,所以若方程表示圆，则有,3,a,2,+4,a,-4,0,-2,a,.,D,2.,圆,x,2,+,y,2,-2,x,+2,y,+1=0,的圆心到直线,x,-,y,+1=0,的距离,是 （）,A.B.C.D.,解析,配方得,(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=1,圆心（,1,，,-1,）,到直线的距离,d,=,D,3.,（,2009,重庆文，,1,）,圆心在,y,轴上，半径为,1,，,且过点（,1,，,2,）的圆的方程是 （）,A.,x,2,+(,y,-2),2,=1,B.,x,2,+(,y,+2),2,=1,C.(,x,-1),2,+(,y,-3),2,=1,D.,x,2,+(,y,-3),2,=1,解析,设圆的圆心,C,（,0,，,b,）,则,=1,b,=2.,圆的标准方程是,x,2,+(,y,-2),2,=1.,A,4.,当,a,为任意实数时，直线（,a,-1,）,x,-,y,+,a,+1=0,恒过,定点,C,，则以,C,为圆心，为半径的圆的方程为,（）,A.,x,2,+,y,2,-2,x,+4,y,=0,B.,x,2,+,y,2,+2,x,+4,y,=0,C.,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,=0,D.,x,2,+,y,2,-2,x,-4,y,=0,解析,直线方程变为（,x,+1,）,a,-,x,-,y,+1=0,C,（,-1,，,2,）,.,所求圆的方程为,(,x,+1),2,+(,y,-2),2,=5.,即,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,=0.,C,5.,过点,A,（,1,，,-1,），,B,（,-1,，,1,），且圆心在直线,x,+,y,-2=0,上的圆的方程是 （）,A.,（,x,-3,）,2,+(,y,+1),2,=4,B.,（,x,+3,）,2,+(,y,-1),2,=4,C.,（,x,-1,）,2,+(,y,-1),2,=4,D.,（,x,+1,）,2,+(,y,+1),2,=4,解析,设圆心,C,的坐标为,(,a,b,),半径为,r,.,圆心,C,在直线,x,+,y,-2=0,上，,b,=2-,a,.,|,CA,|,2,=|,CB,|,2,，,（,a,-1,）,2,+,（,2-,a,+1,）,2,=,（,a,+1,）,2,+,（,2-,a,-1,）,2,，,a,=1,，,b,=1.,r,=2,，方程为,(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=4.,C,题型一 求圆的方程,【,例,1,】,求与,x,轴相切，圆心在直线,3,x,-,y,=0,上，且被,直线,x,-,y,=0,截得的弦长为,2,的圆的方程,.,由条件可设圆的标准方程求解，也可设,圆的一般方程，但计算较繁琐,.,解,方法一,设所求的圆的方程是,（,x,-,a,）,2,+,（,y,-,b,）,2,=,r,2,，,则圆心（,a,，,b,）到直线,x,-,y,=0,的距离为 ，,r,2,=,题型分类 深度剖析,思维启迪,即,2,r,2,=(,a,-,b,),2,+14,由于所求的圆与,x,轴相切，,r,2,=,b,2,.,又因为所求圆心在直线,3,x,-,y,=0,上，,3,a,-,b,=0.,联立，解得,a,=1,b,=3,r,2,=9,或,a,=-1,b,=-3,，,r,2,=9.,故所求的圆的方程是,(,x,-1),2,+(,y,-3),2,=9,或,(,x,+1),2,+(,y,+3),2,=9.,方法二,设所求的圆的方程是,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,，,圆心为 半径为,令,y,=0,，得,x,2,+,Dx,+,F,=0,由圆与,x,轴相切，得,=0,，即,D,2,=4,F,.,又圆心 到直线,x,-,y,=0,的距离为,由已知，得,即（,D,-,E,）,2,+56=2,（,D,2,+,E,2,-4,F,）,又圆心 在直线,3,x,-,y,=0,上，,3,D,-,E,=0.,联立，解得,D,=-2,E,=-6,F,=1,或,D,=2,，,E,=6,，,F,=1.,故所求圆的方程是,x,2,+,y,2,-2,x,-6,y,+1=0,或,x,2,+,y,2,+2,x,+6,y,+1=0.,探究提高,求圆的方程，一般用待定系数法,.,圆的,一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程,形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径,有关的条件，应优先选择圆的标准形式,.,知能迁移,1,（,2009,辽宁文，,7,）,已知圆,C,与直线,x,-,y,=0,及,x,-,y,-4=0,都相切，圆心在直线,x,+,y,=0,上，,则圆,C,的方程为 （）,A.,（,x,+1,）,2,+(,y,-1),2,=2,B.,（,x,-1,）,2,+(,y,+1),2,=2,C.,（,x,-1,）,2,+(,y,-1),2,=2,D.,（,x,+1,）,2,+(,y,+1),2,=2,解析,由题意可设圆心坐标为（,a,-,a,）,则,解得,a,=1,，故圆心坐标为,（,1,，,-1,），半径,r,=,所以圆的方,程为（,x,-1,）,2,+(,y,+1),2,=2.,B,【,例,2,】,(12,分,),已知实数,x,、,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0.,（,1,）求,y,-,x,的最大值和最小值；,（,2,）求,x,2,+,y,2,的最大值和最小值,.,根据代数式的几何意义，借助于平面,几何知识，数形结合求解,.,解,圆的标准方程为,(,x,-2),2,+,y,2,=3.1,分,（,1,）,y,-,x,可看作是直线,y,=,x,+,b,在,y,轴上的截距，当,直线,y,=,x,+,b,与圆相切时，纵截距,b,取得最大值或最,小值，,3,分 此时 解得,b,=-2,.5,分,所以,y,-,x,的最大值为 最小值为,7,分,思维启迪,题型二 与圆有关的最值问题,（,2,）,x,2,+,y,2,表示圆上的一点与原点距离的平方，由,平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交,点处取得最大值和最小值,.9,分,又圆心到原点的距离为,10,分,所以,x,2,+,y,2,的最大值是,x,2,+,y,2,的最小值是,12,分,探究提高,与圆有关的最值问题，常见的有以下几,种类型：,(1),形如 形式的最值问题，可转,化为动直线斜率的最值问题；,(2),形如,t,=,ax,+,by,形式的,最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；,(3),形,如（,x,-,a,）,2,+(,y,-,b,),2,形式的最值问题，可转化为动点,到定点的距离的平方的最值问题,.,知能迁移,2,已知点,P,（,x,，,y,）是圆,(,x,+2),2,+,y,2,=1,上,任意一点,.,（,1,）求,P,点到直线,3,x,+4,y,+12=0,的距离的最大值,和最小值；,（,2,）求,x,-2,y,的最大值和最小值；,（,3,）求 的最大值和最小值,.,解,（,1,）圆心,C,（,-2,，,0,）到直线,3,x,+4,y,+12=0,的,距离为,P,点到直线,3,x,+4,y,+12=0,的距离的最大值为,d,+,r,=+1=,，最小值为,d,-,r,=-1=.,（,2,）设,t,=,x,-2,y,则直线,x,-2,y,-,t,=0,与圆（,x,+2,）,2,+,y,2,=1,有公共点,.,t,max,=-2,，,t,min,=-2-.,（,3,）设,k,=,则直线,kx,-,y,-,k,+2=0,与圆（,x,+2,）,2,+,y,2,=1,有公共点，,题型三 与圆有关的轨迹问题,【,例,3,】,设定点,M,（,-3,，,4,），动点,N,在圆,x,2,+,y,2,=4,上,运动，以,OM,、,ON,为两边作平行四边形,MONP,，,求点,P,的轨迹,.,先设出,P,点、,N,点坐标，根据平行四边,形对角线互相平分，用,P,点坐标表示,N,点坐标,代,入圆的方程可求,.,思维启迪,解,如图所示，设,P,（,x,，,y,），,N,（,x,0,，,y,0,），则线段,OP,的中点坐标为,线段,MN,的中点坐标为,由于平行四边形的对角线互相平分，,N,（,x,+3,，,y,-4,）在圆上，故（,x,+3,）,2,+,（,y,-4,）,2,=4.,因此所求轨迹为圆：,(,x,+3),2,+(,y,-4),2,=4,，但应除去,两点,(,点,P,在直线,OM,上时的情况,).,探究提高,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条,件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目,提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定,义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程,;,代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点,满足的关系式等,.,知能迁移,3,已知圆,x,2,+,y,2,=4,上一定点,A,（,2,，,0,），,B,（,1,，,1,）为圆内一点，,P,，,Q,为圆上的动点,.,（,1,）求线段,AP,中点的轨迹方程；,（,2,）若,PBQ,=90,，求,PQ,中点的轨迹方程,.,解,（,1,）设,AP,中点为,M,（,x,，,y,），由中点坐标公式,可知，,P,点坐标为（,2,x,-2,2,y,）,.,P,点在圆,x,2,+,y,2,=4,上，,（,2,x,-2,）,2,+,（,2,y,）,2,=4.,故线段,AP,中点的轨迹方程为（,x,-1),2,+,y,2,=1.,（,2,）设,PQ,的中点为,N,（,x,，,y,），,在,R,t,PBQ,中，,|,PN,|=|,BN,|,，设,O,为坐标原点，,连结,ON,，则,ON,PQ,，,所以,|,OP,|,2,=|,ON,|,2,+|,PN,|,2,=|,ON,|,2,+|,BN,|,2,所以,x,2,+,y,2,+(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=4.,故,PQ,中点,N,的轨迹方程为,x,2,+,y,2,-,x,-,y,-1=0.,题型四 圆的综合应用,【,例,4,】,已知圆,x,2,+,y,2,+,x,-6,y,+,m,=0,和直线,x,+2,y,-3=0,交,于,P,，,Q,两点，且,OP,OQ,（,O,为坐标原点），求,该圆的圆心坐标及半径,.,（,1,）利用垂直列出坐标之间关系，,再化为,m,的方程求解；（,2,）,OP,OQ,得到,O,点,在以,PQ,为直径的圆上，再利用勾股定理求解；,（,3,）利用圆的性质列出,m,的方程求解,.,思维启迪,解,方法一,将,x,=3-2,y,代入方程,x,2,+,y,2,+,x,-6,y,+,m,=0,得,5,y,2,-20,y,+12+,m,=0.,设,P,（,x,1,y,1,）,Q,(,x,2,y,2,),则,y,1,、,y,2,满足条件：,y,1,+,y,2,=4,y,1,y,2,=,OP,OQ,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0.,而,x,1,=3-2,y,1,x,2,=3-2,y,2,x,1,x,2,=9-6(,y,1,+,y,2,)+4,y,1,y,2,m,=3,此时,0,圆心坐标为 ，半径,r,=.,方法二,如图所示，设弦,PQ,中点为,M,，,O,1,M,PQ,，,O,1,M,的方程为,y,-3=2,即：,y,=2,x,+4.,由方程组,解得,M,的坐标为（,-1,，,2,）,.,则以,PQ,为直径的圆可设为（,x,+1,）,2,+,（,y,-2,）,2,=,r,2,.,OP,OQ,，点,O,在以,PQ,为直径的圆上,.,（,0+1,）,2,+,（,0-2,）,2,=,r,2,，即,r,2,=5,MQ,2,=,r,2,.,在,R,t,O,1,MQ,中，,O,1,Q,2,=,O,1,M,2,+,MQ,2,.,m,=3.,半径为,圆心为,方法三,设过,P,、,Q,的圆系方程为,x,2,+,y,2,+,x,-6,y,+,m,+(,x,+2,y,-3)=0.,由,OP,OQ,知，点,O,（,0,，,0,）在圆上,.,圆系方程可化为,x,2,+,y,2,+,x,-6,y,+3 +,x,+2,y,-3 =0,即,x,2,+(1+),x,+,y,2,+2(-3),y,=0.,又圆心在,PQ,上,.,+2,（,3-,）,-3=0,，,=1,，,m,=3.,圆心为 半径为,.,探究提高,（,1,）在解决与圆有关的问题中，借助,于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简,化思路，简便运算,.,（,2,）本题中三种解法都是方程思想求,m,值，即三,种解法围绕,“,列出,m,的方程,”,求,m,值,.,知能迁移,4,已知圆,C,：（,x,-1,）,2,+(,y,-2),2,=25,及直,线,l,:(2,m,+1),x,+(,m,+1),y,=7,m,+4(,m,R,).,（,1,）证明：不论,m,取什么实数，直线,l,与圆,C,恒相,交；,（,2,）求直线,l,被圆,C,截得的弦长的最短长度及此时,的直线方程,.,（,1,）,证明,直线,l,可化为,x,+,y,-4+,m,(2,x,+,y,-7)=0,即不论,m,取什么实数，它恒过两直线,x,+,y,-4=0,与,2,x,+,y,-7=0,的交点,.,两方程联立，解得交点为（,3,，,1,），,又有（,3-1,）,2,+,（,1-2,）,2,=5,25,点（,3,，,1,）在,圆内部，,不论,m,为何实数，直线,l,与圆恒相交,.,（,2,）,解,从（,1,）的结论和直线,l,过定点,M,（,3,，,1,）,且与过此点的圆,C,的半径垂直时，,l,被圆所截的弦,长,|,AB,|,最短，由垂径定理得,|,AB,|=2,此时，,k,l,=-,从而,k,l,=-=2.,l,的方程为,y,-1=2(,x,-3),即,2,x,-,y,=5.,方法与技巧,1.,确定一个圆的方程，需要三个独立条件,.,“,选形,式、定参数,”,是求圆的方程的基本方法：是指根,据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定,其中的三个参数,.,2.,解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆,的几何性质，简化运算,.,思想方法 感悟提高,失误与防范,1.,求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设,哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程,.,2.,过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，,若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在,的情况,.,一、选择题,定时检测,1.,已知,C,：,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,，则,F,=,E,=0,且,D,0,是,C,与,y,轴相切于原点的 （）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,由,F,=,E,=0,D,0,圆心为,(,0),，半径,r,=,C,与,y,轴相切于原点,.,而,C,与,y,轴相切于,原点能得到,F,=,E,=0,，但,D,不一定小于,0.,A,2.,（,2009,宁夏，海南文，,5,）,已知圆,C,1,：,(,x,+1),2,+,(,y,-1),2,=1,，圆,C,2,与圆,C,1,关于直线,x,-,y,-1=0,对称，则,圆,C,2,的方程为 （）,A.(,x,+2),2,+(,y,-2),2,=1,B.(,x,-2),2,+(,y,+2),2,=1,C.(,x,+2),2,+(,y,+2),2,=1,D.(,x,-2),2,+(,y,-2),2,=1,解析,圆心,C,1,（,-1,，,1,），设,C,2,（,x,y,）是点,C,1,关,于直线,x,-,y,-1=0,的对称点，则,x,=2,y,=-2.,圆,C,2,的方程为,(,x,-2),2,+(,y,+2),2,=1.,答案,B,3.,已知两点,A,（,-2,，,0,），,B,（,0,，,2,），点,C,是圆,x,2,+,y,2,-2,x,=0,上任意一点，则,ABC,面积的最小值,是 （）,A.3-B.3+,C.3-D.,解析,l,AB,：,x,-,y,+2=0,，圆心（,1,，,0,）到,l,的距离,d,=,，,AB,边上的高的最小值为,S,min,=,（,2,）,=3-.,A,4.,若,PQ,是圆,x,2,+,y,2,=9,的弦，,PQ,的中点是（,1,，,2,）,则直线,PQ,的方程是 （）,A.,x,+2,y,-3=0 B.,x,+2,y,-5=0,C.2,x,-,y,+4=0 D.2,x,-,y,=0,解析,PQ,中点,M,（,1,，,2,），,k,OM,=2.,k,PQ,=-.,l,PQ,：,y,-2=-,（,x,-1,），即,x,+2,y,-5=0.,B,5.,圆心在抛物线,y,2,=2,x,上且与,x,轴和该抛物线的准线,都相切的一个圆的方程是 （）,A.,x,2,+,y,2,-,x,-2,y,-=0,B.,x,2,+,y,2,+,x,-2,y,+1=0,C.,x,2,+,y,2,-,x,-2,y,+1=0,D.,x,2,+,y,2,-,x,-2,y,+=0,答案,D,解析,6.,已知圆,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+1=0,关于直线,2,ax,-,by,+2=0,（,a,b,R,）对称，则,ab,的取值范围是（）,A.B.,C.D.,解析,配方得（,x,+1,）,2,+(,y,-2),2,=4,圆心（,-1,，,2,）,在直线上,.,a,+,b,=1,，,ab,A,二、填空题,7.,已知圆,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+,a,=0,关于直线,y,=2,x,+,b,成轴对称,则,a,-,b,的取值范围是,.,解析,圆的方程变为（,x,+1,）,2,+(,y,-2),2,=5-,a,其圆心为（,-1,，,2,），且,5-,a,0,，即,a,5.,又圆关于直线,y,=2,x,+,b,成轴对称，,2=-2+,b,，,b,=4.,a,-,b,=,a,-4,1.,（,-,，,1,）,8.,以直线,3,x,-4,y,+12=0,夹在两坐标轴间的线段为直径,的圆的方程为,.,解析,方法一,直线,3,x,-4,y,+12=0,与两坐标轴的,交点分别为,A,（,-4,，,0,）、,B,（,0,，,3,），,所以线段,AB,的中点为,故所求圆的方程为,(,x,+2),2,+,方法二,易得圆的直径的两端点为,A,（,-4,，,0,）、,B,（,0,，,3,），,设,P,（,x,，,y,）为圆上任一点，则,PA,PB,.,k,PA,k,PB,=-1,，即,(,x,-4,x,0),亦即,x,(,x,+4)+,y,(,y,-3)=0.,化简得,(,x,+2),2,+,答案,9.,直线,ax,+,by,=1,过点,A,（,b,，,a,），则以坐标原点,O,为圆,心，,OA,长为半径的圆的面积的最小值是,.,解析,直线过点,A,（,b,，,a,），,ab,=,，,圆面积,S,=,r,2,=,（,a,2,+,b,2,）,2,ab,=.,三、解答题,10.,根据下列条件求圆的方程：,（,1,）经过点,P,（,1,1,）和坐标原点,并且圆心在直,线,2,x,+3,y,+1=0,上；,（,2,）圆心在直线,y,=-4,x,上，且与直线,l,:,x,+,y,-1=0,相,切于点,P,（,3,，,-2,）；,（,3,）过三点,A,（,1,，,12,）,B,（,7,，,10,）,C,（,-9,，,2,）,.,解,（,1,）设圆的标准方程为,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,由题意列出方程组,圆的标准方程是（,x,-4,）,2,+(,y,+3),2,=25.,（,2,）,方法一,设圆的标准方程为（,x,-,a,）,2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,解得,a,=1,b,=-4,r,=2 .,圆的方程为（,x,-1,）,2,+(,y,+4),2,=8.,方法二,过切点且与,x,+,y,-1=0,垂直的直线为,y,+2=,x,-3,与,y,=-4,x,联立可求得圆心为（,1,，,-4,）,.,半径,r,=,所求圆的方程为（,x,-1,）,2,+,（,y,+4,）,2,=8.,（,3,）,方法一,设圆的一般方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,，,解得,D,=-2,E,=-4,F,=-95.,所求圆的方程为,x,2,+,y,2,-2,x,-4,y,-95=0.,方法二,由,A,（,1,，,12,），,B,（,7,，,10,），,得,A,、,B,的中点坐标为（,4,，,11,），,k,AB,=-,，,则,AB,的中垂线方程为,3,x,-,y,-1=0.,同理得,AC,的中垂线方程为,x,+,y,-3=0.,联立,即圆心坐标为（,1,，,2,），半径,r,=,=10.,所求圆的方程为（,x,-1,）,2,+(,y,-2),2,=100.,11.,在平面直角坐标系,xOy,中，已知圆心在第二象限,半径为,2,的圆,C,与直线,y,=,x,相切于坐标原点,O,.,（,1,）求圆,C,的方程；,（,2,）试探求,C,上是否存在异于原点的点,Q,，使,Q,到定点,F,（,4,，,0,）的距离等于线段,OF,的长,.,若存,在，请求出点,Q,的坐标；若不存在，请说明理由,.,解,（,1,）设圆心为,C,（,a,b,）,由,OC,与直线,y,=,x,垂直，,知,O,，,C,两点的斜率,k,OC,=-1,，故,b,=-,a,则,|,OC,|=2,，即,结合点,C,（,a,，,b,）位于第二象限知,故圆,C,的方程为（,x,+2,）,2,+,（,y,-2,）,2,=8.,（,2,）假设存在,Q,（,m,，,n,）符合题意，,故圆,C,上存在异于原点的点 符合题意,.,12.,（,14,分）有一种大型商品，,A,、,B,两地都有出售，且,价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：,A,地每公里的运费是,B,地每公里运费的,3,倍,.,已知,A,、,B,两地距离为,10,公里，顾客选择,A,地或,B,地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低,.,求,P,地居民选择,A,地或,B,地购物总费用相等时,点,P,所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？,解,如图，以,A,、,B,所在的直线为,x,轴，,线段,AB,的中点为原点建立直角坐标系，,|,AB,|=10,，,A,（,-5,，,0,），,B,（,5,，,0,）,.,设,P,（,x,y,），,P,到,A,、,B,两地购物的运,费分别是,3,a,、,a,（元,/,公里）,.,当由,P,地到,A,、,B,两地购物总费用相等时，,有：价格,+,A,地运费,=,价格,+,B,地运费，,化简整理，,（,1,）当,P,点在以 为圆心、为半径的圆上时，,居民到,A,地或,B,地购物总费用相等,.,（,2,）当,P,点在上述圆内时，,故此时到,A,地购物合算,.,（,3,）当,P,点在上述圆外时，,故此时到,B,地购物合算,.,返回,