高考数学总复习 第13单元 统计、 概率课件(理)苏教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十三单元 统计,、,概率,知识体系,第一节 抽样方法,基础梳理,1.,简单随机抽样,（,1,）定义：一般地，从个体数为,N,的总体中,取出,n,个个体作为样本,(n0,且,a1),在定义域上是增函数,;,实数的绝对值不小于零；,举一反三,在标准大气压下，水在,1,结冰；,a,、,bR,则,ab=ba.,其中必然事件是,;,不可能事件是,;,随机事件是,.,解析：,可能发生也可能不发生为随机事件；当,a1,时为增函数，当,0a1,时为减函数，所以为随机事件；为必然事件；为不可能事件,.,答案：,题型二 互斥事件、对立事件的概率,【,例,2】(14,分,),袋中有,12,个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少,.,分析,从中任取一球得到黑球，黄球、绿球不可能同时发生，因此是互斥事件，利用互斥事件的概率公式构造关系式，求得所求概率,.,解,设事件,A,、,B,、,C,、,D,分别为“任取一球，得到红球”、“任取一球，得到黑球”、“任取一球，得到黄球”、“任取一球，得到绿球”,.3,由已知得,P(A)=,.5,P(B+C)=P(B)+P(C)=,.7,P(C+D)=P(C)+P(D)=,.9,P(B+C+D)=1-P(A)=1-=,.11,可解得,P(B)=,P(C)=,P(D)=.12,故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为,.14,学后反思,此题综合利用方程思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解,.,关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，再合理的选择公式,.,2.,射击队的队员为在,2009,年世界射击锦标赛中取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中,7,10,环的概率如下表所示,.,举一反三,命中环数,10,环,9,环,8,环,7,环,概率,0.32,0.28,0.18,0.12,求该射击队员射击一次,（,1,）射中,9,环或,10,环的概率；,（,2,）至少命中,8,环的概率；,（,3,）命中不足,8,环的概率,.,解析：,记事件“射击一次，命中,k,环”为,A,k,(kN,k10),则事件,A,k,(0k10),彼此互斥,.,（,1,）记“射击一次，射中,9,环或,10,环”为事件,A,，那么当,A,9,、,A,10,之一发生时，事件,A,发生，由互斥事件概率的加法公式得,P,（,A,）,=P,（,A,9,）,+P,（,A,10,）,=0.32+0.28=0.60.,（,2,）设“射击一次，至少命中,8,环”的事件为,B,，那么当,A,8,A,9,A,10,之一发生时，事件,B,发生,.,由互斥事件概率的加法公式得,P(B)=P(A,8,)+P(A,9,)+P(A,10,)=0.18+0.28+0.32=0.78.,（,3,）由于事件“射击一次，命中不足,8,环”是事件,B,：“射击一次，至少命中,8,环”的对立事件,即,B,表示事件“射击一次，命中不足,8,环”，,根据对立事件的概率公式得,P =1-P(B)=1-0.78=0.22.,易错警示,【,例,】,抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,），事件,A,表示“朝上一面的数是奇数”，事件,B,表示“朝上一面的数不超过,3”,，求,P,（,A+B,）,.,错解,因为,所以,错解分析,错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件,.,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过,3”,二者不是互斥事件，即出现,1,或,3,时，事件,A,、,B,同时发生，所以不能应用,P,（,A+B,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）求解,.,正解,将,A+B,分成出现“,1,、,2,、,3”,与“,5”,这两个事件，记出现“,1,、,2,、,3”,为事件,C,，出现“,5”,为事件,D,，则,C,与,D,两事件互斥，所以，,考点演练,10.,甲、乙两人玩游戏，规则如流程图所示，求甲胜的概率,.,解析：,给红色球编号为红,1,、红,2,、红,3,则总的取法为,(,红,1,，红,2),（红,1,，红,3,）,（红,2,，红,3,）,（红,1,，白）,（红,2,，白）,（红,3,，白）,共,6,种,甲获胜的有,3,种，故甲胜概率为,.,11.,袋中有,12,个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,14,得到黑球或黄球的概率是,512,得到黄球或绿球的概率是,12,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少,?,解析：,分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件,A,、,B,、,C,、,D.,由于,A,、,B,、,C,、,D,为互斥事件,根据已知条件得,解得,得到黑球、黄球、绿球的概率各是,.,12.,盒中有,6,只灯泡，其中,2,只次品，,4,只正品，有放回地从中任取两次，每次取,1,只，试求下列事件的概率,.,(1),取到的,2,只都是次品；,（,2,）取到的,2,只中正品、次品各,1,只；,（,3,）取到的,2,只中至少有,1,只正品,.,解析：,从,6,只灯泡中有放回地任取,2,只，共有,(,种,),不同的取法,.,（,1,）取到的,2,只都是次品有,(,种,),取法，,因而所求概率为,.,（,2,）由于取到的,2,只中正品、次品各,1,只有,2,种可能：第一次取到正品，第二次取到次品,;,第一次取到次品，第二次取到正品,.,因而所求概率为,.,（,3,）由于“取到的,2,只中至少有,1,只正品”是事件“取到的,2,只都是次品”的对立事件，因而所求概率为,.,第五节 古典概型,基础梳理,1.,基本事件,在一次试验中可能出现的每一个,称为基本事件,.,2.,古典概型,具有以下两个特点的概率模型称为古典概型,.,（,1,）所有的基本事件,;,（,2,）每个基本事件的发生都是,的,.,3.,古典概型的概率公式,P(A)=,.,基本结果,只有有限个,等可能,典例分析,题型一 有关古典概型概念,【,例,1】,判断下列命题正确与否,.,（,1,）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是,;,（,2,）射击运动员向一靶心进行射击,.,试验的结果为：命中,10,环，命中,9,环,，命中,0,环，这个试验是古典概型；,（,3,）袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；,（,4,）,4,个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同,.,解,所有命题均不正确,.,(1),应为,4,种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”,.,（,2,）不是古典概型,.,因为命中,10,环，命中,9,环，,，命中,0,环不是等可能的,.,（,3,）摸到红球的概率为,白球的概率为,黑球的概率为,因此每种颜色的球被摸到的可能性不相同,.,（,4,）抽签有先有后，但每人抽到某号签的概率是相同的,.,其理由是：假设,4,号签为中奖签，甲先抽，抽到中奖签的概率为 ，乙接着抽，其抽中,4,号签的概率为,=.,依此类推，丙、丁抽到,4,号签的概率都为,.,分析,弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式,.,学后反思,弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面,.,判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分,;,而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性,.,1.,下列试验中，是古典概型的有,.,种下一粒种子观察它是否发芽,;,从规格直径为,2500.6 mm,的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径,d;,抛一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面,;,某人射击中靶或不中靶,.,举一反三,解析,:,根据古典概型的定义及特点知，中每个基本事件出现的可能性不相等,.,答案,:,题型二 求基本事件数并求概率,【,例,2】,（,2009,维坊模拟）一只口袋内装有大小相同的,5,只球，其中,3,只白球，,2,只黑球，从中一次摸出两只球,.,问：,（,1,）共有多少个基本事件？,（,2,）摸出的两只球都是白球的概率是多少？,分析,分析基本事件时，抓住基本事件的特点，能够一一列举出来，进而求解,.,解,(1),分别记白球为,1,、,2,、,3,号，黑球为,4,、,5,号，从中摸出,2,只球,有如下基本事件（如摸到,1,、,2,号球用（,1,，,2,）表示）,:,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此，共有,10,个基本事件,.,（,2,）上述,10,个基本事件发生的可能性相同，且只有,3,个基本事件是摸到两只白球（记为事件,A,），即（,1,，,2,），（,1,，,3,），（,2,，,3,），故,P,（,A,）,=.,学后反思,（,1,）对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复,.,（,2,）取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，许多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验,解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响,.,关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误,.,2.,做投掷两颗骰子的试验：用（,x,，,y,）表示结果，其中,x,表示第,1,颗骰子出现的点数,y,表示第二颗骰子出现的点数，写出：,（,1,）试验的基本事件；,（,2,）事件“出现点数之和大于,8”,的基本事件；,举一反三,（,3,）事件“出现点数相等”的基本事件；,（,4,）事件“出现点数之和大于,10”,的基本事件,.,解析：,（,1,）这个试验的基本事件为：,（,1,，,1,），（,1,，,2,），（,1,，,3,），（,1,，,4,），（,1,，,5,），（,1,，,6,），,（,2,，,1,），（,2,，,2,），（,2,，,3,），（,2,，,4,），（,2,，,5,），（,2,，,6,），,（,3,，,1,），（,3,，,2,），（,3,，,3,），（,3,，,4,），（,3,，,5,），（,3,，,6,），,（,4,，,1,），（,4,，,2,），（,4,，,3,），（,4,，,4,），（,4,，,5,），（,4,，,6,），,（,5,，,1,），（,5,，,2,），（,5,，,3,），（,5,，,4,），（,5,，,5,），（,5,，,6,），,（,6,，,1,），（,6,，,2,），（,6,，,3,），（,6,，,4,），（,6,，,5,），（,6,，,6,）,.,(2)“,出现点数之和大于,8”,包含以下,10,个基本事件：（,3,，,6,），,（,4,，,5,），（,4,，,6,），（,5,，,4,），（,5,，,5,），,(5,6),（,6,，,3,），,（,6,，,4,），（,6,，,5,），（,6,，,6,）,.,（,3,）“出现点数相等”包含以下,6,个基本事件：,（,1,，,1,），（,2,，,2,），（,3,，,3,），（,4,，,4,），（,5,，,5,），（,6,，,6,）,.,(4)“,出现点数之和大于,10”,包含以下,3,个基本事件：,（,5,，,6,），（,6,，,5,），（,6,，,6,）,.,题型三 古典概型问题,【,例,3】,同时抛掷两枚骰子,.,（,1,）求“点数之和为,6”,的概率；,（,2,）求“至少有一个,5,点或,6,点”的概率,.,分析,因为抛掷两枚骰子出现的点数的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等,故是古典概型,.,因此，可以列出所有基本事件，利用古典概型求解,.,解,同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：,共有,36,个不同的结果,.,（,1,）点数之和为,6,的共有,5,个结果，所以点数之和为,6,的概率,P=.,（,2,）方法一：从表中可以得其中至少有一个,5,点或,6,点的结果有,20,个，所以至少有一个,5,点或,6,点的概率,P=.,方法二：“至少有一个,5,点或,6,点”的对立事件是“既没有,5,点又没有,6,点”,.,如上表“既没有,5,点又没有,6,点”的结果共有,16,个，则“既没有,5,点又没有,6,点”的概率,P=,所以“至少有一个,5,点或,6,点”的概率为,.,学后反思解,决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数,n,与事件,A,所含的基本事件数,m,因此要注意以下几个方面：,(1),明确基本事件是什么；,(2),试验是否是等可能性的试验；,(3),基本事件总数是多少；,(4),事件,A,包含多少个基本事件,.,举一反三,3.(2009,福建,),袋中有大小、形状都相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取三次,每次摸取一个球,.,试问,:,(1),一共有多少种不同的结果,?,请列出所有可能的结果,;,(2),若摸到红球时得,2,分,摸到黑球时得,1,分,求三次摸球所得总分为,5,的概率,.,解析：,(1),一共有,8,种不同的结果,列举如下,:,(,红、红、红,),、,(,红、红、黑,),、,(,红、黑、红,),、,(,红、黑、黑,),、,(,黑、红、红,),、,(,黑、红、黑,),、,(,黑、黑、红,),、,(,黑、黑、黑,).,(2),记“三次摸球所得总分为,5”,为事件,A.,事件,A,包含的基本事件为,:(,红、红、黑,),、,(,红、黑、红,),、,(,黑、红、红,),事件,A,包含的基本事件数为,3,由,(1),可知,基本事件总数为,8,所以事件,A,的概率为,P(A)=.,题型四 复杂的古典概型的概率的求法,【,例,4】(14,分,),袋中装有黑球和白球共,7,个，从中任取,2,个球都是白球的概率为,17.,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，,，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止,.,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,.,（,1,）求袋中原有白球的个数；,（,2,）求取球两次即终止的概率；,（,3,）求甲取到白球的概率,.,分析,因为袋中共有,7,个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型,.,另外要注意是不放回地摸球，每次摸出的球不能重复,.,解,(1),设袋中原有,n,个白球，且,nN*,2n7,从袋中任取,2,个球都是白球的结果数为,3,从袋中任取,2,个球的所有可能的结果为,.5,由题意知,.,7,所以,n(n-1)=6,解得,n=3(,舍去,n=-2).8,即袋中原有白球,3,个,.,（,2,）设事件,A,表示“取球,2,次即终止”,.,取球,2,次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球,则,.11,（,3,）设事件,B,为“甲取到白球”，“第,i,次取到白球”为事件,Ai,i=1,2,3,4,5,，因为甲先取，所以甲只可能在第,1,次，第,3,次和第,5,次取白球,.12,所以,.14,学后反思,从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概率只是解决问题的工具而已,.,另外该题涉及到无放回的抽样,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次,;,与其相对应的是有放回的抽样，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去,.,举一反三,4.,在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有,3,个黄色、,3,个白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：“摸球方法：从小布袋中随机摸出,3,个球，若摸得同一颜色的,3,个球，摊主送给摸球者,5,元钱；若摸得非同一颜色的,3,个球，摸球者付给摊主,1,元钱”,.,（,1,）摸出的,3,个球为白球的概率是多少？,(2),摸出的,3,个球为,2,个黄球,1,个白球的概率是多少？,（,3,）假定一天中有,100,人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按,30,天计）能赚多少钱？,解析：,把,3,个黄球标记为,A,、,B,、,C,，,3,个白球标记为,1,、,2,、,3.,从,6,个球中随机摸出,3,个的基本事件为：,ABC,、,AB1,、,AB2,、,AB3,、,AC1,、,AC2,、,AC3,、,A12,、,A13,、,A23,、,BC1,、,BC2,、,BC3,、,B12,、,B13,、,B23,、,C12,、,C13,、,C23,、,123,，共,20,个,.,（,1,）事件,E=,摸出的,3,个球为白球,，事件,E,包含的基本事件有,1,个，即摸出,123,号,3,个球,P,（,E,）,=0.05.,（,2,）事件,F=,摸出的,3,个球为,2,个黄球,1,个白球,，事件,F,包含的基本事件有,9,个，,P,（,F,）,=0.45.,(3),事件,G=,摸出的,3,个球为同一颜色,=,摸出的,3,个球为白球或摸出的,3,个球为黄球,，,P,（,G,）,=0.1.,假定一天中有,100,人次摸奖，由摸出的,3,个球为同一颜色的概率可估计事件,G,发生有,10,次,不发生有,90,次,则一天可赚,901-105=40,所以每月可赚,1 200,元,.,【,例,】,曲线,C,的方程为,其中,m,、,n1,2,3,4,5,6,事件,A=,方程 表示焦点在,x,轴上的椭圆,那么,P(A)=,.,易错警示,错解,由已知条件知，方程 表示的曲线包括焦点在,x,轴上的椭圆和焦点在,y,轴上的椭圆两种，故所求的概率为,.,错解分析,事件,A,所包含的基本事件的个数搞错,.,若仔细审题，我们可发现：当,m,、,n1,2,3,4,5,6,时，若方程为 表示的曲线是椭圆，则焦点在,x,轴和,y,轴上的椭圆是等可能出现的,其概率确实为,12.,但由题意知,方程 表示的曲线可以是椭圆，也可以是圆（只需要,m,、,n,取同一个数即可）,.,正解,方程 表示的曲线共有,66=36(,种,),，而方程,表示焦点在,x,轴上的椭圆的个数为,5+4+3+2+1=15.,故,P,（,A,）,=.,考点演练,10.,袋中有,3,只白球和,a,只黑球，从中任取,2,只，全是白球的概率为,求,a,的值,.,解析：,分别记白球为,1,2,3,号，黑球为,4,5,，,a+3,号，从中任取,2,只,有如下基本事件（,1,，,2,），（,1,，,3,），,，（,1,，,a+3,）；（,2,，,3,），（,2,，,4,），,，（,2,a+3,）,;,（,a+2,a+3,）,共（,a+2,）,+(a+1)+1,=,个，“全部是白球”记为事件,A,，事件,A,有,(1,2),(1,3),(2,3),共,3,个，所以,解得,a=4.,11.,把一颗骰子投掷,2,次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为,a,第二次出现的点数为,b,试就方程组,ax+by=3,x+2y=2,解答下列各题：,(1),求方程组只有一个解的概率；,（,2,）求方程组只有正数解的概率,.,解析：,事件（,a,b,）的基本事件共有,36,个,.,由方程组,ax+by=3,x+2y=2,可得,(2a-b)x=6-2b,(2a-b)y=2a-3.,(1),方程组只有一个解，需满足,2a-b0,即,b2a;,而,b=2a,的事件有（,1,，,2,），（,2,，,4,），（,3,，,6,）共,3,个，所以方程组只有一个解的概率为,P=.,(2),方程组只有正数解，需,b-2a0,且,即,2a,b,a,32,b,3,或,2a,b,a,32,b,3.,其包含的事件有,13,个：,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率为,.,12.(2009,天津,),为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从,A,B,C,三个区中抽取,7,个工厂进行调查,已知,A,B,C,区中分别有,18,27,18,个工厂,.,(1),求从,A,B,C,区中分别抽取的工厂个数,;,(2),若从抽取的,7,个工厂中随机抽取,2,个进行调查结果的对比,用列举法计算这,2,个工厂中至少有,1,个来自,A,区的概率,.,解析：,(1),工厂总数为,18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数之比为,所以从,A,B,C,三个区中应分别抽取的工厂个数为,2,3,2.,(2),设,为在,A,区中抽得的,2,个工厂,为在,B,区中抽得的,3,个工厂,为在,C,区中抽得的,2,个工厂,这,7,个工厂中随机地抽取,2,个,全部的可能结果有 种,随机抽取的,2,个工厂至少有一个来自,A,区的结果有,共有,11,种,.,所以所求的概率为,第六节 几何概型,基础梳理,1.,几何概型的概念,对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样,;,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是,、,、,等,.,用这种方法处理随机试验，称为几何概型,.,2.,几何概型的特点,（,1,）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是,.,（,2,）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是,.,线段,平面图形,立体图,形,无限的,均等的,因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”,.,即随机事件,A,的概率可以用“事件,A,包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示,.,3.,几何概型的计算公式,一般地，在几何区域,D,中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域,d,内”为事件,A,，则事件,A,发生的概率,P(A)=.,4.,几何概型与古典概型的区别与联系,（,1,）共同点：,.,（,2,）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的,.,基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关,.,基本事件都是等可能的,典例分析,题型一 与长度有关的几何概型,【,例,1】,（,2009,盐城模拟）某公共汽车站每隔,10,分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过,7,分钟的概率,.,分析,因为乘客在两车间隔的,10,分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题,.,解,每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻,t,可以看成是均匀落在长为,10,分钟的时间区间,(0,10,上的一个随机点，等待时间不超过,7,分钟则是指点落在区间,3,10,上,.,如图所示,.,设第一辆车于时刻,T,1,到达，而第二辆车于时刻,T,2,到达，线段,T,1,T,2,的长度为,10,，设,T,是线段,T,1,T,2,上的点，且,TT,2,的长度等于,7.,记“等车时间不超过,7,分钟”为事件,A,，事件,A,发生即点,t,落在线段,TT,2,上，则,D,的长度,=T,1,T,2,=10,A,的长度,=TT,2,=7,所以,P,（,A,）,=.,故等车时间不超过,7,分钟的概率是,.,学后反思,我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样,;,而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点,.,这样的概率模型就可以用几何概型求解,.,举一反三,1.,两根相距,6 m,的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于,2 m,的概率,.,解析：,记“灯与两端距离都大于,2 m”,为事件,A,则,P(A)=.,题型二 与面积（体积）有关的几何概型,【,例,2】,在,5,升高产小麦种子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出,10,毫升，则取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？,分析,因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子只与取得种子的体积有关,.,解,病种子在这,5,升中的分布可以看作是随机的，取得的,10,毫升种子可视作构成事件的区域，,5,升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率,.“,取出,10,毫升种子中含有病种子”这一事件记为,A,，,所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是,0.002.,学后反思,解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件,A,和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出,.,2.,如图，射箭比赛的箭靶上涂有,5,个彩色的分环，,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心,为金色,.,金色靶心叫做“黄心”,.,奥运会的比赛靶面,直径是,122 cm,靶心直径是,12.2 cm,运动员在,70 m,外射箭,.,假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？,举一反三,解析：,记“射中黄心”为事件,B,，由于中靶点随机地落在面积为,122,2,cm,2,的大圆内，而当中靶点落在面积为,12.2,2,cm,2,的黄心时，事件,B,发生,.,于是事件,B,发生的概率为,题型三 会面问题中的概率,【,例,3】(14,分,),两人约定在,20:00,到,21:00,之间相见，并且先到者必须等迟到者,40,分钟方可离去,.,如果两人出发是各自独立的，在,20:00,至,21:00,各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率,.,分析,两人不论谁先到最多只等,40,分钟，即 小时,设两人到的时间分别为,x,、,y,则当且仅当,|x-y|,时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型,.,解,设两人分别于,x,时和,y,时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当,|x-y|.3,如图，两人到达约见地点的所有时刻,（,x,y,）的可能结果可用图中的单位正,方形内（包括边界）的点来表示；,6,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（,x,y,）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）的点来表示,.9,因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，,12,即,P=S,阴影部分,S,单位正方形,=12-13212=89.14,学后反思,对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件,A,对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率,.,根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系,;,在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域,.,解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题,.,3.,甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠,6,小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率,.,举一反三,解析：,如图，设甲到达时间为,x,，乙到达时间,为,y,则,0 x24,0y24.,设“至少有一艘轮船,在停靠泊位时必须等待”为事件,A,则,0y-x6,或,0 x-y6.,所以,P,（,A,）,=.,【,例,】,向面积为,S,的矩形,ABCD,内任投一点,P,，试求,PBC,的面积小于 的概率,.,易错警示,错解,如图甲所示，设,PBC,的边,BC,上的高为,PF,，线段,PF,所在的直线交,AD,于,E,则当,P,点到底边,BC,的距离小于,EF,，即,0,PF,EF,时,有,0,BCPF,BCEF,即,0,S,PBC,.,设“,PBC,的面积小于 ”为事件,A,，则,A,表示的范围是,(0,),即,A,=,而,=S,，所以由几何概型求概率的公式得,.,所以,PBC,的面积小于 的概率是,.,易错分析,如图乙所示，,P,为矩形,ABCD,内任意点，,PBC,的边,BC,上的高,PF,为矩形,ABCD,内任意线段，但应满足,PBC,的面积小于,.,当,PBC,的面积等于 时，即,BCPF=BCEF,所以,PF=EF.,过点,P,作,GH,平行于,BC,交,AB,于,G,、交,CD,于,H,点,P,的轨迹是线段,GH.,满足条件“,PBC,的面积小于”的点,P,应落在矩形区域,GBCH,内，而不是三角形区域,PBC,内,.,错解的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形,.,正解,如图乙所示，设,PBC,的边,BC,上的高为,PF,，线段,PF,所在的直线交,AD,于,E,，当,PBC,的面积等于 时，即,BCPF=BCEF,有,PF=EF.,过点,P,作,GH,平行于,BC,交,AB,于,G,交,CD,于,H.,所以满足,S,PBC,=,的点,P,的轨迹是线段,GH.,所以满足条件“,PBC,的面积小于 ”的点,P,应落在矩形区域,GBCH,内，设“,PBC,的面积小于 ”为事件,A,，则,A,表示的范围是（,0,）即,A,=,而,=S.,所以由几何概型求概率的公式得,所以,PBC,的面积小于 的概率是,.,考点演练,10.(2009,济宁模拟,),甲、乙两人约定上午,7:00,至,8,：,00,之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有,3,班公共汽车，它们开车时刻分别为,7:20,7,：,40,8,：,00.,如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率,.,解析：,如图，设甲到达汽车站的时刻,为,x,乙到达汽车站的时刻为,y,则,7x8,7y8,，即甲乙两人到达汽车站的时刻,（,x,y,）所对应的区域在平面直角坐标系,中画出（如图所示）是大正方形,.,将三班车,到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要,想乘同一班车，必须满足,7x ,7y ;,x ,y ;x8,y8.,即（,x,y,）必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以,由几何概型的计算公式得，所求概率,.,11.,设关于,x,的一元二次方程,.,若,a,是从区间,0,3,任取的一个数,b,是从区间,0,2,任取的一个数，求上述方程有实根的概率,.,解析：,设事件,A,为“方程 有实根”,当,a0,b0,时，方程 有实根的充要条件为,ab.,试验的全部结果所构成的区域为,(a,b)|0a3,0b2,构成事件,A,的区域为,(a,b)|0a3,0b2,ab,如图,.,由几何概型的定义得,12.,街道旁边有一游戏：在铺满边长为,9 cm,的正方形塑料板的地面上，掷一枚半径为,1 cm,的小圆板，规则如下：每掷一次交,5,角钱,若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交,5,角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获得,1,元钱,.,试问：,（,1,）小圆板压在塑料板的边上（包含压在顶点上）的概率是多少？,（,2,）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？,解析：,小圆板中心用,O,表示，考虑,O,落在正方形,ABCD,的哪个范围时，能使小圆板与塑料板,ABCD,的边相交，以及,O,落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板,ABCD,的顶点上,.,(1),因为,O,落在正方形,ABCD,内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板,ABCD,的边相交是在小圆板的中心,O,到与它靠近的边的距离不超过,1,时，所以,O,落在图,1,中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板,ABCD,的边相交,.,因此，区域是边长为,9 cm,的正方形，图中阴影部分表示事件,A,：“小圆板压在塑料板的边上,.”,于是,=99=81,=99-77=32.,故所求概率,P,（,A,）,=.,(2),小圆板与正方形的顶点相交是在中心,O,到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径,1,时，如图,2,所示阴影部分，图中阴影部分表示事件,B,：“小圆板压在塑料板顶点上”,.,于是,=99=81,.,故所求的概率,P,（,B,）,=.,