高考数学总复习 第5单元基本初等函数Ⅱ课件(理)苏教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五单元 基本初等函数,知识体系,第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1.,角的概念的推广,(1),任意角的定义,角可以看成平面内一条射线绕着它的端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,.,(2),按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角；一条射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做 零角,.,(3),角的顶点为坐标原点，角的始边为,x,轴正半轴，角的终边,(,除端点外,),在第几象限，就说这个角是 第几象限角,.,(4),一般地，与角,终边相同的角的集合为,|,=k360+,kZ.,2.,弧度制,(1),长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫,1,弧度的角,;,用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做 弧度制,.,在弧度制下,1,弧度记作,1,rad,.,2,rad,=360,(2),设长度为,r,的线段,OA,绕端点,O,旋转形成的角为,（,为任意角，单位为弧度），旋转过程中点,A,所经过的路径看成是圆心角,所对的弧，设弧长为,l,，则有 ，即,l=|,|r,.,特别地，若取,r=1,，则有,l=|,，若,|2,，则有圆心角为,的扇形的面积为,.,3.,任意角的三角函数定义,设,是一个任意角，,的终边上任意一点,P,的坐标是,(,x,y,),它与原点的距离为 那么,5.,三角函数值在各象限的符号,+,+,-,-,sin,-,+,-,+,cos,-,+,+,-,tan,4.,单位圆与三角函数线,用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）,.,sin=MP,cos,=OM,tan=AT.,分析,由于,是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出,的范围，进而求得,2,的范围，判定其所在的象限,.,解,由,是第二象限的角,得,k360+90,k360+180,（,kZ,).,(1)k180+45,k180+90(kZ).,当,k=2n(nZ),时，,n360+45,n360+90(nZ),则 是第一象限角,;,典例分析,题型一 象限角问题,【,例,1,】,若,是第二象限的角，则 是第几象限的角？是第几象限的角,?,2,是第几象限的角,.,当,k=2n+1(nZ),时，,n360+225,n360+270(nZ),则 是第三象限角,.,综合,可知，是第一或第三象限角,.,（,2,）,360+30,360+60,kZ.,当,k=3n,nZ,时,n360+30,n360+60,nZ,则 是第一象限角,;,当,k=3n+1,nZ,时，,n360+150,n360+180,nZ,则 是第二象限角；,当,k=3n+2,nZ,时，,n360+270,n360+300,nZ,则 是第四象限角,.,综合，可知，是第一、第二或第四象限的角,.,（,3,）,2k360+180,2,2k360+360,kZ.,故,2,是第三、第四象限角或是终边落在,y,轴的非负半轴上,.,学后反思,知道,所在的象限，,所在的象限也可由象限等分法得到,.,下面以 为例说明，,如图所示：将每一个象限二等分（若是 则三等分，,），从,x,轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字,1,，,2,，,3,，,4,，,1,，,2,，,3,，,4,，若,是第一象限角，则 在标有数字,1,的区域内，若,是第二象限角，则 在标有数字,2,的区域内，依次类推，则很容易确定 所在的象限,.,举一反三,1.,若,=60+k360(kZ),则 为第象限角,.,解析,:,=30+k180(kZ).,当,k=2n(nZ),时，为第一象限的角；,当,k=2n+1(nZ),时，为第三象限的角,.,答案,:,一或三,题型二 扇形弧长、面积公式应用,【,例,2,】,一个扇形的周长为,20 cm,当扇形的圆心角,等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积,.,分析,运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题,.,解,设扇形的半径为,r,，则弧长为,l=20-2r,于是扇形的面积为,当,r=5,时，,l=10,，,=2(,弧度,),S,取到最大值，此时最大值为,25 cm,2,.,故当扇形的圆心角,等于,2,弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是,25 cm,2,.,学后反思,求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解,.,除此之外，也可直接设出两个参数，利用均值不等式求最值,.,举一反三,2.,已知一扇形的中心角是,所在圆的半径为,r.,（,1,）若,=60,，,r=10 cm,，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积,;,(2),若扇形的周长是一定值,C,（,C,0,），当,为多少弧度时，该扇形有最大面积？,解析：,（,1,）设弧长为,l,，弓形面积为,S,弓,.,(2),方法一：扇形周长,C=2r+l=2r+r,当且仅当,=,即,=2(=-2,舍去,),时，扇形面积有最大值,.,方法二：由已知得,2r+l=C,(l,C),当扇形圆心角为,2,弧度时，扇形面积有最大值,.,题型三 三角函数的定义,【,例,3,】,(,14,分,),已知角,的终边经过点,3x+4y=0,上,求,sin,、,cos,、,tan,的值,.,分析,本题求,的三角函数值,.,依据三角函数的定义，可在角,的终边上任取一点,P,（,4t,-3t,）,(t0),求出,r,由定义得出结论,.,解,角,的终边在直线,3x+4y=0,上，,在角,的终边上任取一点,P(4t,-3t)(t0),2,则,x=4t,y=-3t,r=5|t|,4,当,t,0,时，,r=5t,8,当,t,0,时，,r=-5t,12,综上可知，,t,0,时，,sin,=-,cos,=,tan,=-;,t,0,时，,sin,=,cos,=-,tan,=-.14,学后反思,某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定,.,但当终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解,.,举一反三,3.,已知角,的终边在直线,y=x,上，求,sin,tan,的值,.,解析：,设点,P,（,a,a,）,(a0),是角,终边,y=3x,上一点，则,tan=.,若,a,0,，则,是第一象限角，,r=2a,sin=,若,a,0,，则,是第三象限角，,r=-2a,sin=,题型四 求函数的定义域,【,例,4,】,求下列函数的定义域,.,分析,首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角,x,满足条件的终边范围,.,解,(1),如图,1,(2),如图,2,，,3-4sin2x,0,sin,2,x,-,sin x,学后反思,求定义域的问题，其实质是解不等式，当不等式中含有三角函数时，可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解,.,举一反三,4.,当,x,取什么值时，有意义？,解析,：由题意知,tan x0,xk(kZ).,又,xk,+(,kZ),x,k(kZ,),当,xx|x,k,kZ,时，有意义,.,【,例,】,已知 则,2-,的范围为,.,错解,由,所以,-,-,0,即,0,2,由,+,得,-,-,-,易错警示,由,+,得,-,2-,错解分析,上述解题过程分别求出,、,的范围，所采用的做法是不等价的，扩大了范围,.,正解,设,2-=,A(+)+B(-)(A,B,为待定系数,),，,则,2-=(,A+B)+(A-B),.,比较两边系数,得,解得,所以,2-=(,+,)+(,-,).,10.,若点,P,从（,1,，,0,）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达,Q,点，求,Q,点的坐标,.,考点演练,11.,已知,是第二象限角，试判断,sin(cos,)cos(sin,),的符号,.,解析：,x,Q,=1cos =-,y,Q,=1sin =.,Q,点的坐标为,解析,:,在第二象限，,-1,cos,0,0,sin,1,cos,作为角在第四象限，,sin,作为角在第一象限，,sin(cos,),0,cos(sin),0,sin(cos,)cos(sin,),0.,12.,如图，,=30,=300,OM,、,ON,分别是,、,的终边,.,（,1,）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；,（,2,）求始边在,OM,位置，终边在,ON,位置上的所有角的集合,.,解析,：,(1)300=-60+360,|-60+k36030+k360,kZ.,（,2,）,-,=300-30=270,|,=270+k360,kZ.,第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式,基础梳理,1.,同角三角函数基本关系式,（,1,）平方关系：,;,(2),商数关系：,即同一个角,的正弦、余弦的 等于,1,，等于角,的正切,.,2.,商数关系 成立的角,的取值范围是,平方和,商,sin2+cos2=1,3.,诱导公式,(1),公式一,sin(+k2)=sin,cos(+k2)=,cos,tan(+k2)=tan,其中,kZ,.,(2),公式二,sin(-)=-sin,cos(-,)=,cos,tan(-)=-tan.,(3),公式三,sin(-,)=sin,cos(-,)=-,cos,tan(-,)=-tan.,(4),公式四,sin(+,)=-sin,cos(+,)=-,cos,tan(+,)=tan.,(5),公式五,(6),公式六,即,+k2(kZ),-,的三角函数值，等于,的 函数值，前面加上一个把,看成 时原函数值的符号；的正弦（余弦）函数值，分别等于,的 函数值，前面加上一个把,看成锐角时原函数值的符号,.,4.,必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”,.,角,0,30,45,60,90,120,150,180,270,角,的弧度数,0,sin,0,1,0,-1,cos,1,0,-1,0,tan,0,1,不存在,0,不存在,同名,锐角,余弦（正弦）,题型一 三角函数式的求值,【,例,1,】,已知,分析,由,cos,求,sin,可利用公式,sin,2,+cos,2,=1,同时要注意象限的划分,.,典例分析,解,0,是第二或第三象限角,.,若,是第二象限角，则,sin,0,tan,0,若,是第三象限角，则,sin,0,tan,0,学后反思,(1),掌握常用的勾股数组：“,3,4,5”;“5,12,13”;“8,15,17”.,(2),要根据问题的需要对公式,sin,2,+cos,2,=1,进行变形及,1,的代换，即,sin,2,=1-cos,2,cos,2,=1-sin,2,1=sin,2,+cos,2,.,(3),根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值,(,可简称为“知一求二”,),时,要注意由于这个角所在象限的情况不同,从而可能出现一组或两组结果,:,如果已知三者之中其一的具体值且角所在的象限也已指定,那么只有一组结果,;,如果已知三者之中其一的具体值但未指定角所在的象限,那么要按角所在的象限进行讨论,这时一般有两组结果,.,举一反三,1.,已知,sin(-)-cos(+,)=,求下列各式的值：,（,1,）,sin,-cos,;,(2).,解析,:,由,sin(-)-cos(+,)=,得,sin+cos,=.,将两边平方，得,1+2sincos=,2sincos=-.,又 ,sin,0,cos,0.,(1)=1-2sincos=,sin-cos,=.,(2),题型二 三角函数式的化简,【,例,2,】,化简：,分析,化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用,.,解,方法一：,方法二：,学后反思,当角中含有,2,加减某个角时，要考虑用诱导公式进行化简,.,（,1,）诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了,.,（,2,）,2-,可以化为,+(-,),也可以化为,2+(-),-,可以化为,-(,+,),也可以化为,-2+(-).,举一反三,2.,化简,题型三 三角函数恒等变形中的分类讨论思想,【,例,3,】,化简：,分析,化简时注意观察题设中的角出现了,k,需讨论,k,是奇数还是偶数,.,解析：,原式,解,当,k=2n(nZ),时，,当,k=2n+1(nZ),时，,综上，原式,=-1.,学后反思,对角中含有,k,的三角函数化简时，要对,k,分为偶数和奇数进行讨论：,k,为偶数时，参照,2,进行化简,;k,为奇数时，去掉偶数倍的,后，参照,进行化简,.,3.,求证：,kZ,.,举一反三,证明：,若,k,是偶数，即,k=2n(nZ),，则,左边,=,;,若,k,是奇数，即,k=2n+1(nZ),，则,左边,=,.,原式成立,.,题型四 三角函数公式在解三角形中的应用,【,例,4,】,(,14,分,),在,ABC,中，若,求,ABC,的三个内角,.,分析,由诱导公式可化简得,sin A=sin B,cos,A=,cos,B,进而由,sin,2,A+cos,2,A=1,可求出角,A,，进一步即可求出角,B,和角,C.,解,由已知得,sin A=sin B,cos,A=,cos,B,，,2,两式平方相加,得 ，,6,10,学后反思,在,ABC,中，,A+B+C=,2A+2B+2C=2,sin(A+B,)=,sin(,-C)=sin C,cos(A+B,)=,cos(,-C)=-,cos,C,tan(A+B,)=,tan(,-C)=-tan C.,以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用,.,举一反三,4.,在锐角三角形,ABC,中，求证：,sin,A+sin,B+sin,C,cos,A+cos,B+cos,C.,12,14,证明,:ABC,是锐角三角形，,A+B,即 ,A,-B,0,sin A,sin(-B),即,sin A,cos,B;,同理,sin B,cos,C,sin C,cos,A,sin,A+sin,B+sin,C,cos,A+cos,B+cos,C.,易错警示,【,例,】(2008,曲阜月考,),已知直线,l,的倾斜角是,，且,则直线,l,的斜率,k=_,错解,因为直线,l,的倾斜角是,所以,0,),又因为,sin,2,+cos,2,=1,所以,.,于是,l,的斜率,错解分析,在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范围，不注意对,进行分类讨论，而只得到 的错误结果,.,因此在解决此类问题中，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯,.,正解,因为直线,l,的倾斜角是,，所以,0,),又因为,sin=,sin,2,+cos,2,=1,所以,于是,l,的斜率,考点演练,10.,已知,sin(3+)=,求,的值,.,解析,:,sin(3+)=,sin=-,原式,11.(2009,扬州模拟,),已知,sin,+cos,=,(0,),求,tan,的值,.,解析,：,方法一：,sin,+cos,=,两边平方,得,(sin,+cos,),2,=1+2sin,cos,=,2sin,cos,=,又,(0,),sin,0,又,sin,cos,0,且,0,的,前提下的定义,否则当,A0,或,0,且,xR,所以,又因为,00).,(1),求函数,f(x,),的值域；,（,2,）若函数,y=,f(x,),的图象与直线,y=-1,的两个相邻交点间的距离为 ，求函数,y=,f(x,),的单调增区间,.,解析：（,1,）,f(x,)=,由,-1sin(x-)1,得,-32sin(x-)-11.,可知函数,f(x,),的值域为,-3,1,.,(2),由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=,f(x,),的周期为,又由,0,得,=,即得,=2.,于是有,f(x,)=2sin(2x-)-1,再由,2k-2x-2k+(,kZ,),解得,k,-,xk,+(,kZ,).,所以,y=,f(x,),的单调增区间为,k,-,k,+(,kZ,).,易错警示,【,例,】,函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 所得函数解析式为,.,错解,方法一：,将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,方法二：将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,方法三：将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,错解分析,这三种解法都是错误的,其原因在于没有抓住变换的对象,.,方法一在平移变换时把,5x,看做变换的对象；方法二在伸缩变换时把 看成了变换的对象；方法三则犯了上述两种错误，即把,5x,看做变换的对象，又把 看成了变换的对象,.,事实上，无论是平移变换还是伸缩变换，都应紧紧抓住变元是谁这个关键,.,在本例中，变元,x,才是变换的对象，图象向右平移 个单位，是将自变量,x,减去 个单位长度，即将,x,换成,其余的不变，压缩横坐标到原来的 ，是将,x,换成,2x,，其余的不变,.,正解,将原函数向右平移 个单位长度，所得函数解析式为,考点演练,10.,关于,x,的方程,-,xcos,Acos,B-=0,有一个根,1,，判断,ABC,的形状,.,解析：,把,x=1,代入得,:1-cos,Acos,B-=0,-,cos,Acos,B=0,即,-,cos,Acos,B=0,+,cos(A+B)-cos,Acos,B=0,-,cos,Acos,B-sin,Asin,B=0,cos(A,-B)=1,即,A=B.,故,ABC,为等腰三角形,.,11.,（,2009,陕西）已知函数,f(x,)=,Asin(x+,),，,xR,（其中,A,0,0,0,）的图象与,x,轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为,M,（,-2,）,.,(1),求,f(x,),的解析式；,（,2,）当,x,时，求,f(x,),的值域,.,解析,:,(1),由最低点为,M(,-2),得,A=2,由,x,轴上相邻两个交点之间的距离为,得,即,T=,=2.,由点,M(,-2),在函数图象上得,2sin(2 +)=-2,即,sin(+)=-1,+=2k-,kZ,=2k-.,又,(0,),，,=,f(x,)=2sin(2x+).,(2)x ,2x+,当,2x+=,，即,x=,时，,f(x,),取得最大值,2;,当,2x+=,，即,x=,时，,f(x,),取得最小值,-1,f(x),的值域为,-1,2.,12.(2010,青岛模拟,),已知向量,a=(1+cos x,1),b=(1,a+sin,x)(,为常数且,0),函数,f(x,)=,ab,在,R,上的最大值为,2.,(1),求实数,a,的值；,（,2,）把函数,y=,f(x,),的图象向右平移 个单位，可得函数,y=,g(x,),的图象，若,y=,g(x,),在 上为增函数，求,的最大值,.,解析,:,(1)f(x)=1+cos,x+a,+sin,x,=2sin,（,x,+,）,+a+1.,函数,f(x,),在,R,上的最大值为,2,3+a=2,a=-1.,(2),由,(1),知，,f(x,)=2sin,（,x,+,）,.,把函数,f(x,)=2sin,（,x,+,）的图象向右平移 个单位，可得函数,y=,g(x,)=2sin,x,的图象,.,又,y=,g(x,),在 上为增函数，,g(x,),的周期,T=,即,2,的最大值为,2.,第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数,基础梳理,1.,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,C(-):cos(-,)=,cos,cos,+sin,sin,;,C(+):cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,;,S(+):sin(+,)=sin,cos,+cos,sin,;,S(-):sin(-,)=sin,cos,-cos,sin,;,2.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,S,2,:sin 2=2sin,cos,;,C,2,:cos 2=cos,2,-sin,2,=2cos,2,-1=1-2sin,2,;,3.,形如,asin,+bcos,的化简,asin,+bcos,=,sin(+,),其中,cos,=,的终边所在象限由,a,、,b,的值来确定,.,题型一 化简求值,【,例,1,】,求,2sin 50+sin 10(1+tan 10,),的值,.,分析,50,、,10,、,80,都不是特殊角，但注意到它们的和,60,、,90,都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分以去掉非特殊角,.,解,原式,=,（,2sin 50+sin 10,）,sin 80,=2sin 50+2sin 10 ,cos,10,=2,sin 50cos 10+sin 10cos(60-10),=2 sin(50+10)=.,(2),根据本题点拨采用“切化弦”是解决本题的关健,.,它为逆用差角公式与和角公式铺平了道路,.,在三角函数式化简或求值过程中,还要注意利用和、差角的三角函数公式,它们可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便,.,学后反思,(1),解决这类三角求值问题的一般规律是,:,恰当、准确地应用诱导公式、三角函数公式,合理地进行角的变换,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题,.,举一反三,1.,求,sin 50(1+tan 10),的值,.,解析,:,原式,题型二 给值求角,【,例,2,】,已知,、,为锐角，向量,a=(,cos,sin,),b,=(,cos,sin,),c,=.,若,ab,=,ac,=,求角,2-,的值,.,分析,由,ab,=,ac,=,及,a,b,c,的坐标，可求出关于,、,的三角函数值，进而求出角,.,解,（,1,）,ab,=(,cos,sin,)(cos,sin,),=,cos,cos,+sin,sin,=,cos(-,)=,ac,=(,cos,sin,),=,cos,-sin=.,0,0,-,-,.,由得,-,=,由得,=.,又,、,为锐角，,=.,从而,2-=.,学后反思,解决给值求角问题一般分如下三个步骤：,（,1,）求角的某一个三角函数值；,（,2,）确定角所在的范围；,（,3,）确定所求角的值,.,举一反三,2.,已知,tan=,tan=,并且,、,均为锐角，求,+2.,解析,：,tan=,1,tan=,1,且,、,均为锐角，,0,0,+2,.,又,题型三 给值求值,【,例,2】,设,cos(-,)=-,cos(+,)=,-,+,求,cos,2,cos 2.,分析,本题“,2”,角与条件中出现的两个整体角,+,与,-,之间恰有关系,(,+)+(-,)=2,(+)-(-)=2,使问题迎刃而解,.,诸如此类的整体还有,=(+)-,2=(+)-(-),应注意在解题中的运用,.,解,由,cos(-,)=-,-,得,sin(-,)=.,同理，可得,sin(+,)=-.,cos,2=,cos,(,+)+(-,),=,cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-,)=.,同理可得,cos,2=-.,学后反思,给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角,.,若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论,.,应注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角等技巧,.,举一反三,3.,已知,解析,：,题型四 实际应用,【,例,3】(14,分,),已知向量,m=(sin B,1-cos B),且与向量,n=(2,0),所成角为 ，其中,A,、,B,、,C,是,ABC,的内角,.,（,1,）求角,B,的大小；,（,2,）求,sin,A+sin,C,的取值范围,.,分析,（,1,）先利用向量的夹角公式求出角,B,的余弦值，进而求,B,的大小,.,（,2,）利用三角形的内角和定理将原式表示为一个角的三角函数的运算,.,解,(1)m=(sin B,1-cos B),与向量,n=(2,0),所成角为,cos,=,2,2 -,cos,B-1=0,cos,B=-,或,cos,B=1(,舍去,),，,B=.8,(2),由,(1),可得,A+C=,sin,A+sin,C=sin,A+sin,（,-A,）,=sin A+,cos,A=sin,（,A+,）,.10,0,A,A+,sin,（,A+,）,sin,A+sin,C .14,学后反思,新课标对三角恒等变换的要求：“经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”,.,向量是公式推导的基础与工具，那么，考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向,.,这种综合题是高考中的中档题，向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数，关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形，得到函数,f(x,)=,Asin(x+)+b,从而求周期、最值、单调性等问题,.,举一反三,4.,如图所示，,A,、,B,是单位圆,O,上的点，且,B,在第二象限，,C,是圆与,x,轴正半轴的交点，,A,点的坐标为,AOB,为正三角形,.,(1),求,sinCOA,;,(2),求,cosCOB,.,解析,:,(1),因为,A,点的坐标为,根据三角函数的定义，,sinCOA,=,(2),因为,AOB,为正三角形，所以,AOB=60.,又,sinCOA,=,cosCOA,=,所以,cosCOB,=cos(COA+60)=,cosCOAcos,60-.,【,例,】,已知在,ABC,中，,sin(A+B,)=,cos,B=-,求,cos,A,的值,.,错解,方法一：,sin(A+B,)=sin,Acos,B+cos,Asin,B,又,易错警示,错解分析,方法一应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于,cos,A,的一元二次方程再求解，方程虽不简捷却是可行的，然而，由于对,ABC,中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有检验，从而结论错误,.,事实上，已知,cos,B,0,表明了,B,是钝角，由,A+B+C=,知,A,为锐角，不合题意，应舍去,.,正解,在,ABC,中，由,cos,B=-,得,.,考点演练,10.,若,f(,)=,，求,f,（）,.,解析,:,f(,)=.,f,（）,=8.,11.,已知,(0,),，求,的值,.,解析：,由已知条件得,.,即,sin-=0,解得,sin=,或,sin=0.,由,0,知,sin=,从而,=,或,=.,12.(2008,江苏,),如图，在平面直角坐标系,xOy,中，以,Ox,轴为始边作两个锐角,、,，它们的终边分别与单位圆相交于,A,、,B,两点,.,已知,A,、,B,的横坐标分别为,.,（,1,）求,tan(+,),的值；,（,2,）求,+2,的值,.,解析：,由条件得,（,2,）,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1.,两角差的余弦公式为,cos(-,)=,cos,cos,+sin,sin,;,两角和的余弦公式为,cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,;,两角差的正弦公式为,sin(-,)=sin,cos,-cos,sin,;,两角和的正弦公式为,sin(+,)=sin,cos,+cos,sin,.,上述公式对任意的,、,都成立,.,2.,公式,T(-,),是,公式,T,(,+,),是 ，它们成立的条件是,3.,二倍角公式,在,S,(,+,),中，令,=,可得到,sin 2=2sin,cos,简记为,S,2,.,在,C,(,+,),中，令,=,可得到,cos,2=cos,2,-sin,2,简记为,C,2,.,在,T,(,+,),中，令,=,可得到,tan 2=2tan 1-tan2,，简记为,T,2,.,4.,在,C2,中考虑,sin,2,+cos,2,=1,可将,C,2,变形为,cos,2=cos,2,-sin,2,=2cos,2,-1=1-2sin,2,，它简记为,C,2,.,5.,半角公式,在,C,2,中,用,代替,得,将,公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,6.,升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：,1+cos,2,=2cos2;1-cos,2,=2sin2.,降幂公式：,7.,派生公式,(1)(sin,cos,),2,=1sin 2;,(2)1+cos=,(3)1-cos=,(4)tan,+tan,=tan(+)(1-tan,tan,);,典例分析,题型一,sin,x+cos,x,sin,x-cos,x,sin,xcos,x,三者之间的转换问题,【,例,1】,已知,-,x,0,sin,x+cos,x=,求,sin,x-cos,x,的值,.,分析,由（,sin,x-cos,x,）,2,=(sin,x+cos,x),2,-4sin,xcos,x,知,只需求出,sin,xcos,x,即可,.,解,方法一：由,sin,x+cos,x=,平方,得,sin,2,x+2sin,xcos,x+cos,2,x=,即,2sin,xcos,x=,(sin,x-cos,x),2,=1-2sin,xcos,x=,又,-,x,0,sin x,0,cos x,0,sin,x-cos,x,0,sin,x-cos,x=,方法二：联立方程,sin,x+cos,x=,sin,2,x+cos,2,x=1.,由得,sin x=-,cos,x,将其代入,整理,得,25cos,2,x-5cos x-12=0,学后反思,sin,xcos,x,sin,xcos,x,之间的关系为,(sin,xcos,x),2,=12sin,xcos,x,（,sin,x+cos,x,）,2,+(sin,x-cos,x),2,=2,，三者知其一，可求其二，但须注意角,x,的范围对结果的影响,.,举一反三,1.,（,2009,梅州月考）已知,求,sin,及,解析,:,由题设条件，应用两角差的正弦公式,得,即,sin,-cos,=.,由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故,cos,+sin,=.,由和得,sin=,cos,=-,因此,tan=-,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用,【,例,2】,化简下列各式,.,分析,（,1,）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式,;,（,2,）注意,1sin,1cos,形式的转化,.,解,(1),(2),sin 4+cos 4,0,cos 4,0,原式,=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思,对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式,.,举一反三,2.,化简,（,cos,+sin,）（,cos,-sin,）（,1+tantan,）,.,解析：,原式,=,cos,（,1+tan,tan,）,=,cos,+sin,tan,=,cos,+2sin ,cos,=,cos,+=,cos,+1-cos=1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼,【,例,3】,已知 且,分析,抓住条件中的角“”、“”与结论中的角 的关系：,解,学后反思,掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三,3.,已知,且,0,2.,(1),求 的值；,(2),求,.,解析,(2),由,0,得,0,-,cos(-,)=,由,=,-(-,),得,cos,=,cos,-(-,)=,cos,cos(-)+sin,sin(-,),题型四 三角恒等式证明,【,例,4】,(,14,分,),已知,tan(+,)=2tan.,求证：,3sin=sin(+2).,分析,观察条件与结论间的差异可知,:,(1),函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同,.,(2),角的差异是,+,;,+2.,通过观察可得已知角与未知角之间关系为：,(,+)-,=,;(+)+,=+2,由此可化异为同,.,证明,由已知,tan(+,)=2tan,可得,sin(+)cos,=2cos(+)sin 4,而,sin(+2)=sin(,+)+,=,sin(+)cos,+cos(+)sin,=2cos(+)sin,+cos(+)sin,=3cos(+)sin,.8,又,sin=sin(,+)-,=,sin(+)cos,-cos(+)sin,=2cos(+)sin,-cos(+)sin,=,cos(+)sin,.12,故,sin(+2)=3sin 14,学后反思,分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异,.,对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证,.,举一反三,4.,已知,A,、,B,为锐角，求证：的充要条件是,（,1+tan A,）,(1+tan B)=2.,证明,：（充分性）,(1+tan A)(1+tan B)=2,1+(tan,A+tan,B)+tan,Atan,B=2,且,tan,Atan,B1,tan(A+B,),（,1-tan,Atan,B,）,=1-tan,Atan,B,tan(A+B,)=1.,0,A,0,B,0,A+B,A+B,=,(,必要性,)A+B=,tan(A+B,)=tan,，,即,整理得（,1+tan A,）,(1+tan B)=2.,综上，若,A,、,B,为锐角，则,A+B=,的充要条件是,(1+tan A),（,1+tan B,）,=2.,易错警示,【,例,】,若,sin=,sin=,且,、,为锐角，求,+,的值,.,错解,因为,为锐角,所以,cos,=.,又因为,为锐角，所以,cos,=,且,sin(+,)=sin,cos,+cos,sin,=.,由于,0,90,0,90,则,0,+,180,所以,+,=45,或,135,错解分析,上述解法欠严密，仅由,sin(+,)=,0,+,180,而得到,+,=45,或,135,是正确的，但题设中,sin=,12,sin=,.,使得,0,+,60,故上述结论是错误的,.,实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错,.,我们若取,+,的余弦则易求得,cos(+,)=,又由于,0,+,故,+,=.,这样就避免了上述角的范围的探求,.,因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简,.,正解,为锐角，,cos,=,又,为锐角，,cos,=.,cos(+,)=,cos,cos,-sin,sin,=.,又,0,90,0,90,0,+,180,sin=,sin=,0,+,60,+=.,考点演练,10.(2010,南通模拟,),已知,=1,tan(-)=-,求,tan(-2),的值,.,解析,:,由,tan(-2)=tan,(,-)-,=,11.,求证,.,证明,：方法一：,.,原式成立,.,方法二：,原式成立,.,方法三：,原式成立,.,12.,（,2010,南京模拟）已知,sin -2cos =0.,（,1,）求,tan x,的值；,（,2,）求 的值,.,解析：,(1),由,sin -2cos =0,，得,tan =2,故,tan=.,（,2,）原式,第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,1.,设,ABC,的三个内角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,b,c,R,是,ABC,的外接圆半径,.,（,1,）正弦定理,三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即,(2),正弦定理的三种形式,a=2Rsin A,b=2Rsin,B,c,=2Rsin C(,边到角的转换,);,(,角到边的转换,);,abc,=sin,Asin,Bsin,C.,2.,三角形常用面积公式,(1)(h,表示三角形长为,a,的边上的高）,.,(2),(3)(r,为三角形的内切圆半径）,.,3.,余弦定理,三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即,a,2,=b,2,+c,2,-2bccos A ,b,2,=c,2,+a,2,-2cacos B ,c,2,=a,2,+b,2,-2abcos C.,余弦定理也可以写成如下形式：,4.,勾股定理是余弦定理的特殊情况,在余弦定理表达式中,分别令,A,、,B,、,C,为,90,则上述关系式分别化为：,a,2,=b,2,+c,2,b,2,=a,2,+c,2,c,2,=a,2