资源描述
单击此处编辑母版文本样式,第 讲,第二章 函数,11,函数的应用,考,点,搜,索,解决应用问题的三个步骤,解平面几何中与面积有关的函数应用题,目标函数为分段函数的实际应用题高,高,考,猜,想,函数贯穿于整个高中数学的始终，其中集合观点和函数与方程思想是分析问题和解决问题的重要的数学思想方法之一,.,因而函数问题一直是高考考查的热点问题，而且在能力上的考查高于教材要求,.,一、,分析和解答函数应用问题的思维过程,利用函数模型解决的实际问题称为函数应用问题,.,分析和解答函数应用问题的思维过程为,:,二、,解应用题的一般步骤,1.,审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，建立相关的数学模型,.,2.,建模：将文字语言转化为数学问题，利用数学知识建立相关的数学模型,.,3.,求模：求解数学模型，得到数学结论,.,4.,还原：用数学方法得到数学结论，还原为实际问题的意义,.,三、,掌握重要的函数模型的应用,1.,应用二次函数模型解决有关最值的问题,.,2.,应用分段函数模型,(,a,0),结合单调性解决有关最值的问题,.,3.,应用,y,=N(1+,p,),x,模型解决有关增长率及利息的问题,.,4.,注意函数、方程、不等式模型的综合应用,.,四、,探索性问题的求解策略,探究性问题是一种开放性问题，其思维过程可以用下图表示：,观察猜想抽象概括证明,.,1.,电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过,3 min,收费,0.2,元，超过,3 min,以后，每增加,1 min,收费,0.1,元，不足,1 min,按,1 min,付费，则通话费,s(,元,),与通话时间,t,(min),的函数图象 可表示成图中的,(),由题意列出函数表达式,y,=0.2(0,x,3),0.3(3,x,4),0.4(4,x,5),0.5(5,x,6),，,由图象可知应选,B.,B,2.,调查表明，酒后驾车是导致交通事故的主要原因,.,交通法则规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中的酒精含量不得超过,0.2 mg/,mL,.,如果某人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到,0.8 mg/,mL,，在停止喝酒,x,小时后，血液中的酒精含量,y,=0.8(12),x,，则他至少要经过,小时后才可以驾驶机动车,(),A.1 B.2,C.3 D.4,x,小时后血液中酒精含量为,即,解得,x,2,，,故选,B.,3.,在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线,y=,f,(,x,),，另一种是平均价格曲线,y,=,g,(,x,)(,如,f,(2)=3,表示开始交易后第,2,小时的即时价格为,3,元；,g,(2)=4,表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为,4,元,).,下面给出的四个图象，其中实线表示,y,=,f,(,x,),，虚线表示,y,=,g,(,x,),，其中可能正确的是,(),刚开始交易时，即时价格和平均价 格应该相等，,A,错 误；开始交易后，平均价格应该跟随 即时价格变动，在 任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，,B,、,D,均错误,.,故选,C.,C,题型一：二次型函数的应用题,1.,某民营企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图,.,若该企业已筹集到,10,万元资金，并全部投入甲、乙两种产品的生产，问怎样分配这,10,万元投资，才能使企业获得最大利润,?,据题意，甲产品的利润函数可设为,f,(,x,)=,k,1,x,，乙产品的利润函数可设为,g,(,x,)=,k,2,x,.,由图知，,所以,所以,设投入乙产品的资金为,x,万元，投入甲产品的资金为,10-,x,(,万元,),，企业获得的总利润,y,万元，则,所以，当,即 时，,故当甲产品投资,3.75,万元，乙产品投资,6.25,万元时，能使企业获得最大利润,.,点评：,解决实际问题，关键是构建数学模型,.,求与最值有关的实际问题一般是与函数模型有关,.,求解时，要根据实际问题中的数量关系与等量关系建立函数关系式，然后求解函数的最值，另外注意实际问题中的定义域对最值的影响,.,某市现有从事第二产业人员,100,万人，平均每人每年创造产值,a,万元,(,a,为正常数,).,现在决定从中分流,x,万人去加强第三产业,.,分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造的产值可增加,2,x,%(0,x,100),，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值,1.2,a,万元,.,在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？,设分流出,x,万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足,:,(100-,x,),a,(1+2,x,%)100,a,.,因为,a,0,，,x,0,，,可解得,0,x,50.,设该市第二、三产业的总产值增加,f,(,x,),万元，,则,f,(,x,)=(100-,x,),a,(1+2,x,%)+1.2,ax,-100,a,，,所以,f,(,x,)=-0.02,a,(,x,2,-110,x,)=-0.02,a,(,x,-55),2,+60.5,a,.,因为,x,(0,，,50,，且,f,(,x,),在,(0,，,50,上单调递增，,所以当,x,=50,时，,f,(,x,),max,=60,a,.,因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出,50,万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多,.,题型二：函数 型的应用题,点评：,若构建的函数关系式形如,y,=,ax,+,bx,(,ab,0),型，一般利用均值不等式的性质，可求得最值,.,特别要注意的是取最值时的自变量的值是否在定义域范围内及是否符合实际意义,.,某食品厂购买面粉，已知该厂每天需用面粉,6,吨，每吨面粉的价格为,1800,元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天,3,元，购面粉每次需支付运费,900,元,.,若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于,100,吨时，其价格可享受,9,折优惠,(,即原价的,90%),，问该食品厂是否考虑接受此优惠条件？请说明理由,.,设该厂每隔,x,天购买一次面粉，则其购买量为,6,x,吨,.,由题意知，面粉的保管费用及其他费用为,若不接受优惠条件，则平均每天的费用为,当且仅当,x,=10,时取等号,.,若接受优惠条件，则至少要间隔 天购买一次面粉，平均每天的费用为,易知函数,y,2,在,x,17,，,+),上是单调递增函数，,所以,x,=17,时，,y,2,有最小值约为,9926,元，而,9926,10980,，故应该接受此优惠条件,.,题型三：图表信息型的应用题,3.,某种商品在,30,天内每件的销售价格,P,(,元,),与时间,t,(,天,),的函数关系用下图的两条直线段表示：,该商品在,30,天内的日销 售量,Q,(,件,),与时 间,t,(,天,),之间的 关系如下表所示：,(1),根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格,P,与时间,t,的函数关系式；,(2),在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对,(,t,，,Q,),的对应点，并确定日销售量,Q,与时间,t,的一个函数关系式；,第,t,天,5,15,20,30,Q/,件,35,25,20,10,(3),求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是,30,天中的第几天？,(,日销售金额,=,每件的销售价格,日销售量,).,(1),根据图象，每件的销售价格,P,与时间,t,的函数关系式为：,P,=,t,+20(0,t,25,，,t,N,*),-,t,+100(25,t,30,，,t,N,*).,(2),描出实数对,(,t,，,Q),的对应点如图所示,.,从图象发现：点,(5,，,35),，,(15,，,25),，,(20,，,20),，,(30,，,10),似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线,l,：,Q,=,kt,+,b,.,由点,(5,，,35),，,(30,，,10),确定出,l,的解析式为：,Q,=-,t,+40.,通过检验可知，点,(15,，,25),，,(20,，,20),也在直线,l,上,.,所以日销售量,Q,与时间,t,的一个函数关系式为：,Q,=-,t,+40(0,t,30,，,t,N,*).,(3),设日销售金额为,y,(,元,),，则,y,=-,t,2,+20t+800(0,t,25,，,t,N,*),t,2,-140,t,+4000(25,t,30,，,t,N,*),=-(,t,-10),2,+900(0,t,25,，,t,N,*),(,t,-70),2,-900(25,t,30,，,t,N,*).,若,0,t,25(,t,N*),，,则当,t,=10,时，,y,max,=900.,若,25,t,30(tN*),，,则当,t,=25,时，,y,max,=1125.,由,1125,900,，知,y,max,=1125.,所以这种商品日销售金额的最大值为,1125,元，,30,天中的第,25,天的日销售金额最大,.,点评：,解答应用题的步骤，可概括为,“,读、建、解、答,”,.,读，就是认真读题，缜密审题，准确理解题意，这是正确解答应用题的前提；建，就是根据题目所给的数量关系，合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式，这是正确解答应用题的关键；解，就是用相关的函数知识进行求解，求得问题的结果；答，就是把结果还原到实际问题，写出答案,.,某种新药服用,x,小时后血液中的残留量为,y,毫克，如图为函数,y,=,f,(,x,),的图象，在,x,0,，,4,时为二次函数，且当,x,=4,时到达顶点；在,x,(4,，,20,为一次函数，当血液中药物残留量不 小于,240,毫克时，治疗 有效,.,(1),求函数,y=,f,(,x,),的解析式；,(2),设某人上午,8,：,00,第一次服药，为保证疗效，试分别计算出第二次、第三次服药的时间,.,(1),当,0,x,4,时，,由图象可得,y,=,a,(,x,-4),2,+320,，,当,x,=0,时，,y,=0,代入得,a,16+320=0,，,所以,a,=-20.,所以,y,=-20(,x,-4),2,+320.,当,4,x,20,时，设,y,=,kx,+,b,，将,(4,，,320),，,(20,，,0),代入得,y,=400-20,x,.,综上得,f,(,x,)=-20(,x,-4),2,+320(0,x,4),400-20,x,(4,x,20).,(2),设,x,为第一次服药后经过的时间，则第一次服药的残留量,y,1,=,f,(,x,)=-20(,x,-4,)2,+320(0,x,4),400-20,x,(4,x,20),，,由,y,1,240,，得,0,x,4,-20(,x,-4),2,+320240,或,4,x,20,400-20,x,240,，,解得,2,x,4,或,4,x,8,，所以,2,x,8.,故第二次服药应在第一次服药,8,小时后，即当日,16,：,00.,设第二次服药产生的残留量为,y,2,，则,y,2,=,f,(,x,-8)=-20(,x,-12),2,+320(8,x,12),400-20(,x,-8)(12,x,28),，,由,y,2,240,，得,8,x,12,-20(,x,-12),2,+320240,或,12,x,28,400-20(,x,-8)240,，,解得,10,x,12,或,12,x,16,，,所以,10,x,16,，若仅考虑第二次服药的残留量，第三次服药应在第一次服药,16,小时后，而前两次服药的残留量为,y,1,+,y,2,，,由,x,16,y,1,+,y,2,240,，,得,x,16,400-20,x,+400-20(,x,-8)240,，,解得,16,x,18.,故第三次服药应在第一次服药,18,小时后，即次日凌晨,2,：,00.,1.,函数应用题的取值范围问题，应先通过函数关系建立不等式,(,组,),，再解不等式,(,组,),就能得到相关变量的取值范围,.,2.,求解函数应用题中的最值问题，应先选取适当的变量作为函数的自变量，再建立函数式，同时指出函数的定义域，然后根据函数式的结构特点，采用适当的方法求出最值或分析取最值的条件,.,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
