资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,二元一次不等式,(,组,),表示平面区域,作二元一次不等式,Ax,+,By,+,C,0(,或,Ax,+,By,+,C,0,则包含点,P,的半平面为不等式,_,所表示的平面区域,不包含点,P,的半平面,为不等式,_,所表示的平面区域,.,2.,线性规划的有关概念,(1),线性约束条件,由条件列出一次不等式,(,或方,程,),组,.,(2),线性目标函数,由条件列出一次函数表达式,.,(3),线性规划问题,:,求线性目标函数在约束条件下的,最大值或最小值问题,.,(4),可行解,:,满足,_,的解,(,x,y,).,(5),可行域,:,所有,_,的集合,.,Ax,+,By,+,C,0,Ax,+,By,+,C,0,线性约束条件,可行解,（,6,）最优解,:,使,_,取得最大值或最小值的可,行解,.,3.,利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是,(1),在平面直角坐标系内作出可行域,.,(2),作出目标函数的等值线,.,(3),确定最优解,:,在可行域内平行移动目标函数等值,线,从而确定,_.,(4),求最值,:,将最优解代入目标函数即可求出最大值,或最小值,.,目标函数,最优解,4.,线性规划实质上是,“,_,”,数学思想方法在一,个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地,寻找出来，是一种较快地求最值的方法,.,5.,在求解应用问题时要特别注意题意中的,_,_,，不可将范围盲目扩大,.,数形结合,变量的取值,范围,基础自测,1.,下列各点中,不在,x,+,y,-10,表示的平面区域的,是 （）,A.,（,0,，,0,）,B.,（,-1,，,1,）,C.,（,-1,，,3,）,D.,（,2,，,-3,）,解析,将选项,A,、,B,、,C,、,D,中的坐标代入,x,+,y,-1,验,证可得,C,符合题意,.,C,2.,若点,(1,3),和,(-4,-2),在直线,2,x,+,y,+,m,=0,的两侧，则,m,的取值范围是 （）,A.,m,10 B.,m,=-5,或,m,=10,C.-5,m,10 D.-5,m,10,解析,由题意可得,(2,1+3+,m,)2,(-4)-2+,m,0,，,即,(,m,+5)(,m,-10)0,-5,m,10.,C,3.,设,A,=,（,x,，,y,）,|,x,，,y,，,1-,x,-,y,是三角形的三边长,，,则,A,所表示的平面区域,(,不含边界的阴影部分,),是,（）,解析,由已知得,答案,A,4.,（,2009,安徽文，,3,）,不等式组 所表,示的平面区域的面积等于 （）,A.B.C.D.,解析,不等式组表示的平面区域如图所示，,由 得交点,A,的坐标为（,1,，,1,）,.,又,B,、,C,两点的坐标为（,0,，,4,），,答案,C,5.,完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成,.,请木,工需付工资每人,50,元，请瓦工需付工资每人,40,元，,现有工人工资预算,2 000,元,设木工,x,人，瓦工,y,人，,请工人的约束条件是,_.,解析,由题意可得,题型一 二元一次不等式（组）表示的平面区域,【,例,1,】,画出不等式组 表示的平面区,域,并回答下列问题,:,(1),指出,x,y,的取值范围,;,(2),平面区域内有多少个整点,?,题型分类 深度剖析,思维启迪,(1),不等式组表示的平面区域是各个不等,式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表,示的平面区域的公共部分,但要注意是否包含边界,.,(2),整点是指横、纵坐标均为整数的点,.,解,(1),不等式,x,-,y,+50,表示直,线,x,-,y,+5=0,上及右下方的点的集,合,.,x,+,y,0,表示直线,x,+,y,=0,上及右,上方的点的集合,x,3,表示直线,x,=3,上及左方的点的集合,.,所以,不等式组,表示的平面区域如图所示,.,结合图中可行域得,(2),由图形及不等式组知,当,x,=3,时,-3,y,8,有,12,个整点,;,当,x,=2,时,-2,y,7,有,10,个整点,;,当,x,=1,时,-1,y,6,有,8,个整点,;,当,x,=0,时，,0,y,5,，有,6,个整点；,当,x,=-1,时,1,y,4,有,4,个整点,;,当,x,=-2,时,2,y,3,有,2,个整点,;,平面区域内的整点共有,2+4+6+8+10+12=42,个,.,本题主要考查不等式表示的平面区域、,数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结,合的方法和逻辑推理能力,.,(1),不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的,平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平,面区域的公共部分,.,(2),在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画,网,格逐一数出,;,若数目较大,则可分,x,=,m,逐条分段统计,.,探究提高,知能迁移,1,如图,ABC,中,A,(0,1),B,(-2,2),C,(2,6),写出,ABC,区域,所表示的二元一次不等式组,.,解,由已知得直线,AB,、,BC,、,CA,的方程分别为：,直线,AB,：,x,+2,y,-2=0,，,直线,BC,：,x,-,y,+4=0,，,直线,CA,：,5,x,-2,y,+2=0.,原点,(0,，,0),不在各直线上，将原点坐标代入到各,直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为,题型二 求目标函数的最值问题,【,例,2,】,（,2009,海南，宁夏，,6,）,设,x,y,满足,则,z,=,x,+,y,（）,A.,有最小值,2,，最大值,3,B.,有最小值,2,，无最大值,C.,有最大值,3,，无最小值,D.,既无最小值，也无最大值,先作出可行域，然后作出与直线,x,+,y,=0,平,行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从,而求出最大、最小值,.,思维启迪,解析,如下图作出不等式组表示的可行域，由于,z,=,x,+,y,的斜率大于,2,x,+,y,=4,的斜率，因此当,z,=,x,+,y,过点,(2,0),时，,z,有最小值，但,z,没有最大值,.,答案,B,探究提高,(1),首先把二元一次不等式所表示的平面,区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不,等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界,.,求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可,行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得,最优解的点，从而求出最值,.,一般直线的交点是最值,点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某,边平行时，其最优解可能有无数多个,.,(2),目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线,的截距有关,.,若目标函数为形如 可考虑,(,a,，,b,),与,(,x,，,y,),两点连线的斜率,.,若目标函数为形如,z,=(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,，可考虑,(,x,y,),与,(,a,b,),两点距离的平方,.,知能迁移,2,（,2009,浙江理,13,）,若实数,x,y,满足不,等式组 则,z,=2,x,+3,y,的最小值是,_.,解析,作出不等式表示的可行,域如图所示，由于,2,x,+3,y,=,z,的斜,率 故,z,=2,x,+3,y,在点,(2,0),处取得最小值,4.,4,题型三 线性规划的简单应用,【,例,3,】,某公司仓库,A,存有货物,12,吨，仓库,B,存有货物,8,吨,现按,7,吨、,8,吨和,5,吨把货物分别调运给甲、乙、,丙三个商店,.,从仓库,A,运货物到商店甲、乙、丙,每吨,货物的运费分别为,8,元、,6,元、,9,元；从仓库,B,运货到,商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为,3,元、,4,元、,5,元,.,问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库,运货物到三个商店的总运费最少？,由于题目中量比较多，所以最好通过列,出表格以便清晰地展现题目中的条件,.,设出仓库,A,运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商,店的货物吨数，列出可行域，即可求解,.,思维启迪,解,将已知数据列成下表：,设仓库,A,运给甲、乙商店的货物分别为,x,吨，,y,吨，,则仓库,A,运给丙商店的货物为,(12-,x,-,y,）吨,从而仓库,B,运给甲、乙、丙商店的货物分别为,(7-,x,),吨、,(8-,y,),吨、,5-(12-,x,-,y,)=(,x,+,y,-7),吨,于是总运费为,z,=8,x,+6,y,+9(12-,x,-,y,)+3(7-,x,)+4(8-,y,)+5(,x,+,y,-7),=,x,-2,y,+126.,甲,乙,丙,A,8,6,9,B,3,4,5,商店,仓库,每,吨,运,费,线性约束条件为,目标函数为,z,=,x,-2,y,+126.,作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中,阴影部分所示,.,作出直线,l,:,x,-2,y,=0,把直线,l,平行移动,显然当直线,l,移,动到过点,(0,8),时,在可行域内，,z,=,x,-2,y,+126,取得最小,值,z,min,=0-2,8+126=110,即,x,=0,y,=8,时总运费最少,.,安排的调运方案如下,:,仓库,A,运给甲、乙、丙商店的货,物分别为,0,吨、,8,吨、,4,吨，仓库,B,运给甲、乙、丙商店,的货物分别为,7,吨、,0,吨、,1,吨，此时可使得从两个仓,库运货物到三个商店的总运费最少,.,解线性规划应用问题的一般步骤是,:(1),分,析题意,设出未知量,;(2),列出线性约束条件和目标函,数,:(3),作出可行域并利用数形结合求解,;(4),作答,.,探究提高,知能迁移,3,（,2009,四川，,10,）,某企业生产甲、乙,两种产品,已知生产每吨甲产品要用,A,原料,3,吨、,B,原,料,2,吨；生产每吨乙产品要用,A,原料,1,吨、,B,原料,3,吨,.,销售每吨甲产品可获得利润,5,万元、每吨乙产品可,获得利润,3,万元，该企业在一个生产周期内消耗,A,原,料不超过,13,吨、,B,原料不超过,18,吨,那么该企业可获,得的最大利润是 （）,A.12,万元,B.20,万元,C.25,万元,D.27,万元,解析,设生产甲产品,x,吨、乙产品,y,吨，,则获得的利润为,z,=5,x,+3,y,.,由题意得,可行域如图阴影所示,.,由图可知当,x,、,y,在,A,点取值时，,z,取得最大值，,此时,x,=3,，,y,=4,z,=5,3+3,4=27(,万元,).,答案,D,题型四 线性规划的综合应用,【,例,4,】,（,12,分）实数,x,y,满足,（,1,）若 求,z,的最大值和最小值，并求,z,的取值,范围；,（,2,）若,z,=,x,2,+,y,2,，求,z,的最大值与最小值,并求,z,的取值,范围,.,(1),表示的是区域内的点与原点,连线的斜率,.,故 的最值问题即为直线的斜率的,最大值与最小值,.,（,2,）,z,=,x,2,+,y,2,的最值表示的是区域,内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值,.,思维启迪,解,作出可行域如,图阴影部分所示,.,表示可行域内任一点与,坐标原点连线的斜率，,4,分,因此 的范围为直线,OB,的斜率到直线,OA,的斜率,(,OA,斜率不存在）,.,z,max,不存在，,z,min,=2,z,的取值范围是,2,，,+,）,.7,分,(2),z,=,x,2,+,y,2,表示可行域内的任意一点与坐标原点的两,点间距离的平方,.9,分,因此,x,2,+,y,2,的范围最小为,|,OA,|,2,（取不到），最大为,|,OB,|,2,.,由 得,A,(0,，,1),，,|,OA,|,2,=0,2,+1,2,=1,，,|,OB,|,2,=1,2,+2,2,=5.,z,max,=5,，,z,无最小值,.,故,z,的取值范围是（,1,，,5,.12,分,探究提高,本例与常规线性规划不同，主要是目标函,数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意,义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：,(1),表示点（,x,y,）与原点（,0,，,0,）的距离,;,表示点（,x,y,）与（,a,b,）的距离,.,(2),表示点,(,x,，,y,),与原点,(0,，,0),连线的斜率,;,表示点,(,x,，,y,),与点,(,a,，,b,),连线的斜率,.,理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键,.,知能迁移,4,在如图所示的坐标平,面的可行域内（阴影部分且包括,边界,),若目标函数,z,=,x,+,ay,取得最,小值的最优解有无数个,则,的最大值是,(),A.B.C.D.,解析,目标函数,z,=,x,+,ay,可化为,由题意,a,0,的直线,l,：,Ax,+,By,+,C,=0,，,Ax,+,By,+,C,0,对应直线,l,右侧的平面；,Ax,+,By,+,C,0,当,A,0,时表示直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0,右侧的平面；当,A,0,时，截距 取最大值时，,z,也取,最大值；截距 取最小值时，,z,也取最小值；当,b,-1,S,ABC,=|,a,+1|=2,a,=3.,答案,D,2.,(2009,安徽理,7),若不等式组 所表示,的平面区域被直线 分为面积相等的两部,分，则,k,的值是,(),解析,不等式组表示的平面区域如图所示,.,由于直线,y,=,kx,+,过定点,因此只有直线过,AB,中点时,直线,y,=,kx,+,能平分平面区域,.,因为,A,(1,1),B,(0,4),所以,AB,中点,答案,A,3.,若实数,x,y,满足条件 目标函数,z,=2,x,-,y,则 （）,A.,z,max,=B.,z,max,=-1,C.,z,max,=2 D.,z,min,=0,解析,如图所示，当,z,=2,x,-,y,过 时,C,4.,已知点,P,（,x,y,）满足 点,Q,(,x,y,),在,圆,(,x,+2),2,+(,y,+2),2,=1,上,则,|,PQ,|,的最大值与最小值为,（）,A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2,解析,可行域如图阴影部分,设,|,PQ,|=,d,，则由图中圆心,C,(-2,-2),到直线,4,x,+3,y,-1=0,的,距离最小,则到点,A,距离最大,.,得,A,（,-2,，,3,）,.,d,max,=|,CA,|+1=5+1=6,，,B,5.,（,2009,湖北理，,8,）,在,“,家电下乡,”,活动中，某,厂要将,100,台洗衣机运往邻近的乡镇,.,现有,4,辆甲型货,车和,8,辆乙型货车可供使用,.,每辆甲型货车运输费用,400,元，可装洗衣机,20,台；每辆乙型货车运输费用,300,元,可装洗衣机,10,台,.,若每辆车至多只运一次,则,该厂所花的最少运输费用为 （）,A.2 000,元,B.2 200,元,C.2 400,元,D.2 800,元,解析,设需甲型货车,x,辆，乙型货车,y,辆，由题意知,作出其可行域如图所示，,可知目标函数,z,=400,x,+300,y,在点,A,处取最小值，,z,min,=400,4+300,2=2 200(,元,).,答案,B,6.,(2008,海南、宁夏文,10),点,P,(,x,y,),在直线,4,x,+3,y,=0,上,且,x,y,满足,-14,x,-,y,7,则点,P,到坐标原点距离的,取值范围是 （）,A.,0,5,B.,0,10,C.,5,10,D.,5,15,解析,如图所示，可知直线,4,x,+3,y,=0,分别与直线,x,-,y,=-14,x,-,y,=7,的交点为,P,1,(-6,8),，,P,2,(,3,，,-4),，,易知,|,OP,1,|=10,|,OP,2,|=5.,故,|,OP,|,的取值范围为,0,，,10,.,B,二、填空题,7.,（,2009,陕西文，,14,）,设,x,y,满足约束条件,则,z,=,x,+2,y,的最小值是,_,最大值是,_.,解析,如图所示，由题意得,A,（,3,，,4,）,.,由图可以看,出，直线,x,+2,y,=,z,过点（,1,，,0,）时，,z,min,=1,过点,(3,4),时,z,max,=3+2,4=11.,1,11,8.,（,2009,山东文,16,）,某公司租赁甲、乙两种设备,生产,A,，,B,两类产品，甲种设备每天能生产,A,类产品,5,件和,B,类产品,10,件,乙种设备每天能生产,A,类产品,6,件,和,B,类产品,20,件,.,已知设备甲每天的租赁费为,200,元,设备乙每天的租赁费为,300,元，现该公司至少要生产,A,类产品,50,件,B,类产品,140,件,所需租赁费最少为,_,元,.,解析,设需租赁甲种设备,x,台，乙种设备,y,台，,目标函数为,z,=200,x,+300,y,.,作出其可行域，易知当,x,=4,y,=5,时，,z,=200,x,+300,y,有最,小值,2 300,元,.,答案,2 300,9.,已知实数,x,y,满足不等式组 目标函数,z,=,y,-,ax,(,a,R,).,若取最大值时的唯一最优解是,(1,3),则实数,a,的取值范围是,_.,解析,如图所示，依题意直,线,x,+,y,-4=0,与,x,-,y,+2=0,交于,A,(1,3),此时取最大值，,故,a,1.,(1,+),三、解答题,10.,若,a,0,b,0,且当 时，恒有,ax,+,by,1,求以,a,b,为坐标的点,P,(,a,b,),所形成的平面区域的面积,.,解,作出线性约束条件,对应的可行域如图所示，,在此条件下，要使,ax,+,by,1,恒成立,只要,ax,+,by,的最大,值不超过,1,即可,.,令,z,=,ax,+,by,则,因为,a,0,b,0,此时对应的可行域如图，,所以以,a,b,为坐标的点,P,（,a,b,）所形成的面积为,1.,11.,A,、,B,两地分别生产同一规格产品,12,千吨、,8,千吨,而,D,、,E,、,F,三地分别需要,8,千吨、,6,千吨、,6,千吨，每,千吨的运价如下表,.,怎样确定调运方案,使总的运费,为最小？,解,设从,A,到,D,运,x,千吨,则从,B,到,D,运,(8-,x,),千吨,;,从,A,到,E,运,y,千吨,则从,B,到,E,运,(6-,y,),千吨,;,从,A,到,F,运,(12-,x,-,y,),千吨,从,B,到,F,运,(,x,+,y,-6),千吨,运价,(,万元,/,千吨,),到,D,到,E,到,F,从,A,4,5,6,从,B,5,2,4,则线性约束条件为,线性目标函数为,z,=4,x,+5,y,+6(12-,x,-,y,)+5(8-,x,)+2(6-,y,)+,4(,x,+,y,-6)=-3,x,+,y,+100,作出可行域，可观察出目标函数在,(8,，,0),点取到最小,值，即从,A,到,D,运,8,千吨，从,B,到,E,运,6,千吨，从,A,到,F,运,4,千吨，从,B,到,F,运,2,千吨，可使总的运费最少,.,12.,在,R,上可导的函数,当,x,(0,1),时取得极大值,当,x,(1,2),时取得极小值,求点,(,a,b,),对应的区域的面积以及 的取值范围,.,解,函数,f,(,x,),的导数为,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+2,b,当,x,(0,1),时,f,(,x,),取得极大值,当,x,(1,2),时,f,(,x,),取得极小值,则方程,x,2,+,ax,+2,b,=0,有两个根,一个根在区间,(0,1),内,另一个根在区间,(1,2),内,由二次函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,2,b,的图象与方程,x,2,+,ax,+2,b,=0,根的分布之间的关系可,以得到,在,aOb,平面内作出满足约束条件的,点,(,a,b,),对应的区域为,ABD,(,不包,括边界,),如图阴影部分,其中点,A,(-3,1),B,(-1,0),D,(-2,0),ABD,的面积为,(,h,为点,A,到,a,轴的距离,).,点,C,(1,2),与点,(,a,b,),连线的斜率为,返回,
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