高考数学专题复习25三角公式课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角公式,一、两角和与差的三角函数,二、二倍角公式,(,升幂公式,),(,降次公式,),sin(,)=,sin,cos,cos,sin,cos,(,)=,cos,cos,sin,sin,-,+,tan(,)=,tan,tan,1,tan,tan,-,+,a,sin,+,b,cos,=,a,2,+,b,2,sin(,+,),cos2,=cos,2,-,sin,2,=2cos,2,-,1,=1,-,2sin,2,sin2,=2sin,cos,tan2,=,2tan,1,-,tan,2,sin,2,=,1,-,cos2,2,cos,2,=,1+cos2,2,三、半角公式,四、万能公式,五、其它公式,sin3,=3sin,-,4sin,3,;,cos3,=4cos,3,-,3cos,;,sin(60,-,),sin,sin(60,+),=sin3,;,1,4,cos(60,-,),cos,cos(60,+),=cos3,.,1,4,sin =,1,-,cos,2,2,cos,=,1+cos,2,2,tan =,1,-,cos,1+cos,2,=,sin,1+cos,=,1,-,cos,sin,sin,=,2tan,2,1+tan,2,2,tan,=,2tan,2,1,-,tan,2,2,cos,=,1,-,tan,2,2,1+tan,2,2,公式选择,1.,从函数的名称考虑,切割化弦,(,有时也可考虑“弦化切”,),异名化同名,(,使函数的名称尽量统一,),;,2.,从角的特点考虑,异角化同角,抓住角之间的规律,(,如互余、互补、和倍关系等等,),;,3.,从变换的需要考虑,达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的,;,4.,尽量避开讨论,常用技巧与方法,1.,变换常数项,将常数变换成三角函数,;,2.,变角,对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一,;,3.,升幂或降次,运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构,;,4.,运用代数变换中的常用方法,因式分解、配方、凑项、添项、换元等等,.,三角函数式化简目标,1.,项数尽可能少,;,2.,三角函数名称尽可能少,;,3.,角尽可能小和少,;,4.,次数尽可能低,;,5.,分母尽可能不含三角式,;,6.,尽可能不带根号,;,7.,能求出值的求出值,.,典型例题,1.,求,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,的值,.,思维精析,从幂入手,用降幂公式,.,解法,1,原式,=+,(,sin70,-,sin30,),1+,cos100,2,1,-,cos40,2,1,2,=,-,sin70sin30+,sin70,1,2,3,4,=.,3,4,思维精析,从形入手,配成完全平方,.,=.,3,4,1,2,解法,2,原式,=(,sin20+,cos50,),2,+,cos,2,50,3,4,1,2,=,sin(50,-,30)+,cos50,2,+,cos,2,50,3,4,=(,sin50cos30),2,+,cos,2,50,3,4,思维精析,从角入手,化异角为同角,.,=.,3,4,解法,3,原式,=,sin,2,(50,-,30)+cos,2,50+sin(50,-,30)cos50,=(,sin50cos30,-,cos50sin30),2,+cos,2,50,+,(,sin50cos30,-,cos50sin30)cos50,=,(sin,2,50+cos,2,50),3,4,思维精析,从式入手,构造对偶式,.,解法,4,设,x,=,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,=.,3,4,思维精析,从三角形入手,构造图形,利用正余弦定理,.,解法,5,设,ABC,外接圆半径为,1,A=20,B=40,y,=,cos,2,20+sin,2,50+cos20sin50.,则,x,+,y,=,2+sin70 ,x,-,y,=,-,cos40+cos100,-,sin30 .,x,=,(,2+sin70,-,cos40+cos100,-,sin30),1,2,=,(+,sin70,-,2sin70sin30),1,2,3,2,则,C=120,.,由正余弦定理知,:,原式,=,sin,2,20+sin,2,40+sin20sin40,=,sin,2,20+sin,2,40,-,2sin20sin40cos120,=,sin,2,120,=.,3,4,得,:,2,+,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,的值为,.,3,4,1.,求,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,的值,.,2.,已知,cos,(,-,)=,sin(,+,)=,-,求,sin2,的值,.,2,4,3,13,12,3,5,解,:,2,4,3,0,-,+,0,cos,(,+,)0,3.,已知,sin,+cos,=2sin,sin,cos,=sin,2,求证,:,2cos2,=cos2,.,4.,已知,sin,=,m,sin(2,+,),其中,m,0,2,+,k,(,k,Z),求证,:,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,证,:,sin,+cos,=2sin,(,sin,+cos,),2,=4sin,2,.,1+2,sin,cos,=2(1,-,cos2,).,sin,cos,=sin,2,1+2sin,2,=2(1,-,cos2,).,1+1,-,cos2,=2(1,-,cos2,).,2cos2,=cos2,.,证,:,sin,=,m,sin(2,+,),m,=.,sin,sin(2,+,),=tan(,+,).,tan,=tan,1,-,m,1+,m,sin(2,+,)+sin,sin(2,+,),-,sin,=tan,2sin(,+,)cos,2cos(,+,)sin,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,另证,:,sin,=,m,sin(2,+,),sin(,+,),-,=,m,sin,(,+,)+,.,sin(,+,)cos,-,cos(,+,)sin,整理得,(1,-,m,)sin(,+,)cos,=(1+,m,)cos(,+,)sin,.,=,m,sin(,+,)cos,+cos(,+,)sin,.,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,4.,已知,sin,=,m,sin(2,+,),其中,m,0,2,+,k,(,k,Z),求证,:,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,5.,已知,tan,cot,是关于,x,的方程,x,2,-,kx,+,k,2,-,3=0,的两实根,且,3,0.,3,0,tan,0,(0,),0,.,2,2,-,-,0,-,-,-,.,2,-,2,-,0.,2,-,=,-,.,4,3,由,tan,(2,-,),=1,知,注,亦可由,tan,1,得,0,.,4,02,.,2,-,2,-,0.,7.,计算,-,+64sin,2,20.,sin,2,20,3,cos,2,20,1,sin,2,20cos,2,20,3cos,2,20,-,sin,2,20,解,:,原式,=,+64sin,2,20,sin,2,20cos,2,20,(,3cos20+sin20)(,3cos20,-,sin20),=+64sin,2,20,sin,2,40,16sin80sin40,=,+64sin,2,20,=32cos40+64sin,2,20,=32(1,-,2sin,2,20)+64sin,2,20,=32.,8.,已知,sin2,=,(-,-),函数,f,(,x,)=sin(,-,x,),-,sin(,+,x,)+2cos,.(1),求,cos,的值,;(2),若,f,-,1,(,x,),表示,f,(,x,),在,-,上的反函数,试求,f,-,1,(,-,),的值,.,3,4,2,3,5,2,2,10,10,2,解,:,(1),-,-,-,2,-,.,3,4,3,2,cos,0,cos2,0.,由已知可得,cos2,=,-,.,4,5,故由,cos2,=2cos,2,-,1,得,cos,=,-,.,10,10,(2),f,(,x,)=sin(,-,x,),-,sin(,+,x,)+2cos,=,-,2cos,sin,x,+2cos,=,-,2cos,(sin,x,-,1),=,(sin,x,-,1).,10,5,10,10,由,(sin,x,-,1)=,-,得,10,5,sin,x,=,.,1,2,2,2,x,-,x,=,.,6,6,f,-,1,(,-,)=,.,10,10,解法,1,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,4sin,2,cos,2,+2sin,cos,2,=2cos,2,.,1.,已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,(0,),求,sin,tan,的值,.,2,cos,2,(,2sin,2,+sin,-,1)=0,cos,2,(,2sin,-,1)(sin,+1)=0.,(0,),2,cos,2,0,sin,+10.,2sin,-,1=0.,sin,=.,1,2,=.,6,tan,=.,3,3,故,sin,tan,的值分别为,和,.,3,3,1,2,解法,2,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,sin2,cos,-,cos2,=1,-,sin,2,2,=cos,2,2,.,2sin,cos,2,=2cos2,cos,2,.,(0,),2,cos,2,0.,sin,=cos2,.,即,cos,(,-,)=cos2,.,2,-,(0,),2,(0,),且,y,=,cos,x,在,(0,),内是减函数,2,2,-,=2,.,2,=.,6,sin,=,tan,=.,1,2,3,3,课后练习,解法,3,由已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,-,1=0,可看作关于,sin2,的一元二次方程,.,解这个,一元二次方程得,:,sin2,=,-,cos,cos,2,+4(1+cos2,),2,=.,-,cos,3cos,2,(0,),2,sin2,=,cos,.,即,2sin,cos,=,cos,.,=.,6,tan,=.,3,3,sin,=.,1,2,1.,已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,(0,),求,sin,tan,的值,.,2,故,sin,tan,的值分别为,和,.,3,3,1,2,2.,已知,cos,=,-,cos,(,+,)=,且,(,),+,(,2,),求,.,13,12,26,17,2,2,3,2,3,2,3,2,3,解,:,(,),+,(,2,),(0,).,26,7,2,又由已知得,sin,=,-,sin(,+,)=,-,13,5,cos,=,cos,(,+,),-,=,cos(,+,),cos,+,sin(,+,)sin,=,(,-,)+(,-,)(,-,),13,12,13,5,26,17,2,26,7,2,=,-,.,2,2,=.,4,3,3.,已知,tan(,+,)+tan,=,a,cot(,+,)+cot,=,b,求证,:,ab,(,ab,-,4)=,(,a,+,b,),2,.,4,4,证,:,a,=,cos,(,+,),cos,sin(,+,+,),4,4,=,cos,(,+,),cos,sin(,+2,),4,4,b,=.,sin(,+,)sin,sin(,+2,),4,4,4,sin(,+,),sin,cos,(,+,),cos,sin,2,(,+2,),4,4,ab,=,=,2,sin(,+2,)sin2,21,-,cos(,+4,),2,cos2,sin2,2(1+sin4,),sin4,4(1+sin4,),=.,ab,-,4=,.,sin4,4,sin,2,4,16(1+sin4,),ab,(,ab,-,4)=,.,4,4,又,a,+,b,=,tan(,+,)+,cot(,+,)+,tan,+cot,=+,2,sin(,+2,),2,sin2,2,cos2,2,=+,sin2,2,sin4,4(sin2,+cos2,),=,(,a,+,b,),2,=,sin,2,4,16(sin2,+cos2,),2,sin,2,4,16(1+sin4,),=.,ab,(,ab,-,4),=(,a,+,b,),2,.,4.,已知,sin(,+2,)sin,(,-,2,)=,(,),求,2,sin,2,+tan,-,cot,-,1,的值,.,2,4,4,1,4,4,解,:,由已知,=,sin(,+2,)sin,(,-,2,),1,4,4,4,=,sin(,+2,)cos,(,+2,),4,4,=,sin(,+4,),2,1,2,=,cos4,.,1,2,cos4,=,.,1,2,(,),4,2,=,.,12,5,2,sin,2,+tan,-,cot,-,1,=,-,cos,-,2cot,6,5,6,5,=,-,cos2,-,2cot2,=+2 3,3,2,=3.,5,2,=,cos,+2cot,6,6,5.,设,是锐角,且,tan,=tan,3,tan,=,tan,.,求证,:,成等差数列,.,2,2,1,2,证,:,由已知,tan,=,tan,1,2,tan,1,-,tan,2,2,2,=,tan (1+tan,2,),(1,-,tan,2,)(1+tan,2,),2,2,=,2,2,2,tan,+tan,1,-,tan,tan,2,2,=,2,2,+,=tan,.,是锐角,都是锐角,.,2,+,2,+,=tan,故由,tan,知,:,=,.,2,+,成等差数列,.,tan,+tan,3,1,-,tan,tan,3,2,2,=,2,2,6.,已知,tan(,+,)=,.(1),求,tan,的值,;(2),求,的值,.,sin2,-,cos,2,1+cos2,1,2,4,1,2,解,:,(1),tan(,+,)=,且,tan(,+,)=,4,4,1+,tan,1,-,tan,1+,tan,1,-,tan,1,2,=.,解得,tan,=,-,.,1,3,(2),原式,=,2sin,cos,-,cos,2,1+2cos,2,-,1,2sin,-,cos,2cos,=,1,2,=,tan,-,1,3,=,-,1,2,=,-,.,5,6,7.,已知,6sin,2,+sin,cos,-,2cos,2,=0,),求,sin(2,+,),的值,.,2,3,解,:,6sin,2,+sin,cos,-,2cos,2,=0,(3sin,+2cos,)(,2sin,-,cos,)=0.,3sin,+2cos,=0,或,2sin,-,cos,=0.,又由已知得,cos,0,2,.,2,(,),从而,tan,0.,tan,=,-,.,2,3,sin(2,+,)=sin2,cos,+cos2,sin,3,3,3,=sin,cos,+(cos,2,-,sin,2,),3,2,sin,cos,cos,2,+sin,2,cos,2,-,sin,2,cos,2,+sin,2,=+,3,2,=+,tan,1+tan,2,1,-,tan,2,1+tan,2,3,2,=,-,+3.,13,6,26,5,8.,已知函数,f,(,x,)=,-,(1),将,f,(,x,),表示成,cos,x,的整式,;,sin,2sin,2,5,x,2,x,1,2,(2),若,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,)=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3,的图象在,(0,),内至少有一个公共点,试求,a,的取值范围,.,sin,-,sin,2sin,2,5,x,2,x,1,2,解,:,(1),f,(,x,)=,-,=,sin,2sin,2,5,x,2,x,2,x,2cos,sin,x,2sin,2,3,x,2,x,=,=2cos,cos,2,3,x,2,x,=cos2,x,+cos,x,=2cos,2,x,+cos,x,-,1.,解,:,由,f,(,x,)=,g,(,x,),得,2cos,2,x,+cos,x,-,1,即,a,(1+cos,x,)=cos,2,x,+2cos,x,+2,x,(0,),01+cos,x,2.,a,=1+cos,x,+,2.,1+cos,x,1,仅当,1+cos,x,=,即,cos,x,=0,亦即,x,=,时取等号,.,2,1+cos,x,1,故,a,的取值范围是,2,+,).,(2),若,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,)=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3,的图象在,(0,),内至少有一个公共点,试求,a,的取值范围,.,=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3.,=(1+cos,x,),2,+1.,