高三数学 一轮复习 第4知识块第3讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例课件 文 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,【,考纲下载,】,1.,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,2,了解平面向量的数量积与向量投影的关系,3,掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算,4,能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,5,会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,6,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,.,第,3,讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例,1,数量积的概念,(1),定义：已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，则,叫做,a,与,b,的数量积，记作,a,b,，即,a,b,；,(2),几何意义：数量积,a,b,等于,a,的长度与,b,在,a,方向上的投影,|,b,|cos,的乘积,【,思考,】,向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的,？,答案：,当,a,，,b,为非零向量时，,a,b,的符号由夹角的余弦来确定；当,0,0,；当,90,180,时，,a,b,0,；当,a,与,b,至少有一个,为零向量或,90,时，,a,b,0.,|,a,|,b,|cos,|,a,|,b,|cos,2,数量积的性质,(,e,是单位向量，,a,，,e,),(1),e,a,a,e,.,(2),当,a,与,b,同向时，,a,b,；当,a,与,b,反向时，,a,b,；特别地，,a,a,或,|,a,|,.,(3),a,b,.,(4)cos,.,(5)|,a,b,|,|,a,|,b,|.,提示：,当,a,0,，时，,a,b,0,，但,a,b,0,时不能得到,a,0,或,b,0,，因为,a,b,时，,也有,a,b,0,.,|,a,|cos,|,a,|,b,|,|,a,|,b,|,|,a,|,2,a,b,0.,3,数量积的运算律,(1),a,b,b,a,(2)(,a,),b,a,(,b,),(3)(,a,b,),c,.,提示：,(1),若,a,、,b,、,c,是实数，则,ab,ac,b,c,(,a,0),；但对于向量，就没,有这样的性质，即若向量,a,、,b,、,c,满足,ab,ac,(,a,0),，则不一定有,b,c,，,即等式两边不能同时约去一个向量,(2),数量积运算不适合结合律，即,(,a,b,),c,a,(,b,c,),，这是由于,(,a,b,),c,表示一个,与,c,共线的向量，,a,(,b,c,),表示一个与,a,共线的向量，而,a,与,c,不一定共线，,因此,(,a,b,),c,与,a,(,b,c,),不一定相等,(,a,b,),a,c,b,c,4,数量积的坐标运算,(1),若,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，则,a,b,.,x,2,y,2,x,1,x,2,y,1,y,2,(4),设,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，则,a,b,.,x,1,x,2,y,1,y,2,0,.,1,已知,|,a,|,2,，,|,b,|,4,，,a,b,4,，则,a,与,b,的夹角为,(,),A,30 B,60 C,150 D,120,解析：,又,0,，,180,，,120.,答案,：,D,2,若向量,a,(1,2),，,b,(1,，,3),，则向量,a,与,b,的夹角等于,(,),A,45 B,60 C,120 D,135,又,0,，,180,，,135.,答案：,D,3,两个非零向量,a,、,b,互相垂直，给出下列各式：,a,b,0,；,a,b,a,b,；,|,a,b,|,|,a,b,|,；,|,a,|,2,|,b,|,2,(,a,b,),2,；,(,a,b,),(,a,b,),0,.,其中正确的式子有,(,),A,2,个,B,3,个,C,4,个,D,5,个,解析：,a,b,0,，正确，,a,b,与,a,b,方向不同，错误,|,a,b,|,2,|,a,|,2,|,b,|,2,2,a,b,|,a,|,2,|,b,|,2,，,|,a,b,|,2,|,a,|,2,|,b,|,2,2,a,b,|,a,|,2,|,b,|,2,，,|,a,b,|,|,a,b,|.,正,确,(,a,b,),2,|,a,|,2,|,b,|,2,2,a,b,|,a,|,2,|,b,|,2,.,正确,当,|,a,|,|,b,|,时,(,a,b,)(,a,b,),0,不成立错误，故选,B,项,答案：,B,4,(2009,江苏卷,),已知向量,a,和向量,b,的夹角为,30,，,|,a,|,2,，,|,b,|,，则向量,a,和,向量,b,的数量积,a,b,_.,解析：,a,b,|,a,|,b,|cos,2,cos,30,3.,答案：,3,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：,1,a,2,a,a,|,a,|,2,或,|,a,|,已知,a,、,b,满足,|,a,b,|,|,a,b,|,，,|,a,|,|,b,|,1,，求,|3,a,2,b,|.,思维点拨：,由,|,a,b,|,|,a,b,|,平方后寻找,a,b,.,解：,由,|,a,b,|,|,a,b,|,得，,|,a,b,|,2,3|,a,b,|,2,，,即,(,a,b,),2,3(,a,b,),2,，,a,2,2,a,b,b,2,3(,a,2,2,a,b,b,2,),，,8,a,b,2,a,2,2,b,2,2|,a,|,2,2|,b,|,2,4,，,即,a,b,，,【,例,1,】,由于两个非零向量,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，,a,，,b,的夹角为,满足,0,180,，所以用,【,例,2,】,已知三个向量,a,、,b,、,c,两两所夹的角都为,120,，,|,a,|,1,，,|,b,|,2,，,|,c,|,3,，求向量,a,b,c,与向量,a,的夹角,思维点拨：,先求,(,a,b,c,),a,，再求,|,a,b,c,|.,解：,由已知得,(,a,b,c,),a,a,2,a,b,a,c,1,2cos 120,3cos 120,，,设向量,a,b,c,与向量,a,的夹角为,，则,即,150,，,故向量,a,b,c,与向量,a,的夹角为,150.,1.,两个向量平行的充要条件：,(1),a,b,|,a,b,|,|,a,|,b,|,a,b,|,a,|,b,|,或,a,b,|,a,|,b,|.,(2),a,b,且,a,0,存在实数,，使,b,a,.,2,两个非零向量垂直的充要条件,两非零向量垂直，则它们的数量积等于,0.,【,例,3,】,已知向量,a,(1,2),，,b,(,2,1),，,k,，,t,为正实数，向量,x,a,(,t,2,1),b,，,y,k,a,b,，问是否存在,k,，,t,使,x,y,？若存在，求出,k,的取值范围；若不存在，请说明理由,.,思维点拨：,先求,x,、,y,的坐标，再利用,x,y,列方程,解：,x,a,(,t,2,1),b,(,2,t,2,1,，,t,2,3),，,假设存在正实数,k,，,t,使,x,y,，,整理得,t,k,(,t,2,1),1,0,，则满足上述等式的正实数,k,，,t,不存在，所以不,存在,k,，,t,使,x,y,.,拓展,3,：,本例中的条件不变，若,x,y,，求,k,的最小值,解：,a,(1,2),，,b,(,2,1),，,a,b,0,，,又,x,y,，,t,为正实数，,k,2,，当且仅当,t,1,时，,k,2,，,k,的最小值为,2.,用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一层内容；根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二层内容利用这个分层求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题化为两个基本问题来解决,【,例,4,】,已知,a,(,cos,，,sin,),，,b,(,cos,，,sin,)(0,),(1),求证：,a,b,与,a,b,互相垂直；,(2),若,k,a,b,与,a,k,b,的模相等，求,(,其中,k,为非零实数,),(2),解：,k,a,b,(,k,cos,cos,，,k,sin,sin,),，,a,k,b,(,cos,k,cos,，,sin,k,sin,),，,2,k,cos(,),2,k,cos(,),又,k,0,，,cos(,),0.,而,0,，,.,证明：,(1),(,a,b,)(,a,b,),a,2,b,2,|,a,|,2,|,b,|,2,(cos,2,sin,2,),(cos,2,sin,2,),0,，,a,b,与,a,b,互相垂直,变式,4,：,(2010,广东惠州调研,),已知向量,a,(sin,，,cos,),，,b,(,，,1),，,其中,.,(1),若,a,b,，求,sin,和,cos,的值；,(2),若,f,(,),(,a,b,),2,，求,f,(,),的值域,即函数,f,(,),的值域为,(7,9.,【,方法规律,】,1,数量积,a,b,中间的符号,“,”,不能省略，也不能用,“,”,来替代,2,要熟练类似,(,a,b,)(,sa,tb,),sa,2,(,t,s,),a,b,tb,2,的运算律,(,、,、,s,、,t,R,),3,求向量模的常用方法：利用公式,|,a,|,2,a,2,，求模的运算转化为向量的数量积的,运算,4,可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活,运用,5,利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算,.,(12,分,),设向量,e,1,，,e,2,，满足,|,e,1,|,2,，,|,e,2,|,1,，,e,1,，,e,2,的夹角为,60,，若向量,2,te,1,7,e,2,与向量,e,1,te,2,的夹角为钝角，求实数,t,的取值范围,【,阅卷实录,】,【,教师点评,】,【,规范解答,】,接上面的解，设,2,te,1,7,e,2,(,e,1,te,2,)(,0),，,其中,0,向量,2,te,1,7,e,2,与向量,e,1,te,2,的夹角为,.,实数,t,的取值范围为：,【,状元笔记,】,解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，,如本题中的,的情况，再如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角等于零的情况,.,点击此处进入 作业手册,