资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,*,排列组合二项式定理与概率统计,高考数学复习专题讲座,1,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,排列组合是概率及统计的基础，因此，排列组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对重要。概率是初等概率论中最基本的内容，在历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本讲主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题的分析和处理方法,.,考纲解读,2,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,1.,基本原理性质及公式,分类计数原理（加法原理）：,分步计数原理（乘法原理）：,排列数公式：,组合数公式：,组合数的两个性质,:,3,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,2.,基本方法,科学分类法,对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生,.,如：,任意相邻两个数码之和能被,3,整除的五位数的个数是,_,分析：,由题意，每相邻两个数码各自被,3,除的余数之和必为,0,或,3.,第,1,位,第,2,位,第,3,位,第,4,位,第,5,位,所以，需要将十个数字,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,分为三组：,第一组为：,0,3,6,9;,第二组为：,1,4,7;,第三组为：,2,5,8.,4,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,第一类：,五个位置全部由第,1,组的数字填充，有 个；,第二类：,三个奇位由第,2,组的数填充，二个偶位由第,3,组的数填充，有 个；,第三类：,三个奇位由第,3,组的数填充，二个偶位由第,2,组的数填充，有 个,.,所以共有符合题意的五位数 个,.,如：,任意相邻两个数码之和能被,3,整除的五位数的个数是,_,第,1,位,第,2,位,第,3,位,第,4,位,第,5,位,解：,将十个数字,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,分为三组：,第一组为：,0,3,6,9;,第二组为：,1,4,7;,第三组为：,2,5,8.,2.,基本方法,科学分类法,5,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,7,人排成一排,.,甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？,解：,分两步进行：,几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔,.,第,1,步，把除甲乙外的一般人排列：,第,2,步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中,(,插孔,),：,解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决,.,插空法：,2.,基本方法,6,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列,(,捆绑,),当成“一个”元素，然后再进行整体排列,.,捆绑法,如：,6,人排成一排,.,甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法,?,解：,分两步进行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列,(,捆绑,),：,第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：,几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列,.,2.,基本方法,7,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法,.,剔除法（,排除法,）,如：,四面体的顶点和各棱中点共,10,个点,在其中取,4,个不共面的点,不同的取法共有,_,种,.,解,：本题直接计数很困难,可用间接法，,故不同的取法共有,210-60-6-3,141,种,.,从,10,个点中取,4,个有,种方法,剔除四点共面的情况有,:,(1),四点在同一表面三角形上的种数为,(2),一条棱上三点与其对棱中点共面的种数为,6,(3),平行一组对棱过余下四中点共面种数有,3,种,.,变式：求每两个点的连线中异面直线的对数,.,2.,基本方法,8,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,n,个 相同小球放入,m(mn,),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,如：,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有,_,种,.,5.,剪截法（隔板法）：,分析：,问题等价于把,16,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,16,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,455,种,.,2.,基本方法,9,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,n,个 相同小球放入,m(mn,),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,剪截法（隔板法）：,2.,基本方法,变式：,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有,_,种,.,分析：,问题等价于先给,2,班,1,个，,3,班,2,个，,4,班,3,个，再把余下的,10,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,10,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,84,种,.,10,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,编号为,1,至,n,的,n,个小球放入编号为,1,到,n,的,n,个盒子里,每个盒子放一个小球,.,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为,错位排列,.,错位法：,特别当,n=2,3,4,5,时的错位数各为,1,2,9,44,.,如：,编号为,1,至,6,的,6,个小球放入编号为,1,至,6,的,6,个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有,2,个小球与盒子的编号相同的放法有,_,种,.,解：,选取编号相同的两组球和盒子的方法有,种,其余,4,组球与盒子需错位排列有,9,种放法,.,故所求方法有,159,135,种,.,变式：求其中恰有,2,个小球与盒子的编号相同的概率,.,2.,基本方法,11,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,5,个人站成一排，甲总在乙的右侧的站法数？,几个元素,顺序一定,的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序,.,或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了,.,消序法,(,留空法,),方法,1,：,将,5,个人依次站成一排，有,方法,2,：,先让甲乙之外的三人从,5,个位置选出,3,个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有,1,种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,2.,基本方法,12,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,变式：,如下图所示,有,5,横,8,竖构成的方格图,从,A,到,B,只能上行或右行共有多少条不同的路线,?,解,:,如图所示,1,2,3,4,5,6,7,将一条路经抽象为如下的一个排法,(5-1)+(8-1)=11,格,:,其中必有四个,和七个,组成,!,所以,四个,和七个,一个排序就对应一条路经,所以从,A,到,B,共有,条不同的路径,.,消序法,(,留空法,),也可以看作是,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有,种排法,.,2.,基本方法,13,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,配对的问题,如,“,10,位学生的父母参加了家长联谊会，一次集会中因某种原因仅来了,8,人，试求恰好有两位学生的父母来齐的概率”的问题,.,分析：,首先，,20,人来了,8,人的所有可能为：,其次，,20,人来了,8,人中恰好两对夫妻的可能为：,先取出两对夫妻有 种取法；,再确定不是夫妻的,4,人有 种方法；,恰好有两位学生的父母来齐的概率为：,2.,基本方法,14,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列,.,即,先分组后到位,.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积,.,有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分,.,处理问题的方法原则：,分配问题的处理方法：,2.,基本方法,15,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,五项不同的工程,发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程,.,共有多少种不同的发包方式？,解：,要完成发包这件事，可以分为,1-1-3,、,1-2-2,两类发包方式,.,先将四项工程分为三“堆”，有,种分法；,再将分好的三“堆”依次给三个工程队,有,3!,6,种给法,.,1-1-3,发包方式共有,106,60,种,.,（或 种分法）,完成,1-1-3,发包方式有两个步骤：,分配问题的处理方法：,2.,基本方法,完成,1-2-2,发包方式也有两个步骤：,先将四项工程分为三“堆”，有,种分法；,再将分好的三“堆”依次给三个工程队,有,3!,6,种给法,.,1-2-2,发包方式共有,156,90,种,.,综上，共有,60+90=150,不同的发包方式,.,16,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,3.,二项式定理,二项展开式的通项公式：,的展开式的系数关系：,17,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,3.,二项式定理,如：,(2009,湖北卷理,),设,原式,=,B,18,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,3.,二项式定理,如：,（,2009,陕西卷文）若,C,19,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,将骰子先后抛掷,2,次，求向上的数之和是,5,的概率,.,正确解法：,先后将骰子抛掷,2,次共可能有,6,6=36,种不同结果，向上的数之和为,5,的结果可能有,(1,4),、,(4,1),、,(2,3),、,(3,2),共,4,种不同结果，故所求概率,P(A)=4/36=1/9.,等可能性事件的概率：,看看这个分析：因为向上的两数之和可能有,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,，,10,，,11,，,12,共,11,种不同的结果，所以和为,5,的概率,P(A)=1/11.,正确理解“等可能事件”是准确计算概率的前提,.,具体问题中出现的结果个数,n,必须是,有限,的，每个结果出现的,可能性必须是相等,的,.,此分析不正确！,4.,概率统计,20,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,和事件,A,+,B,:,表示事件,A,、,B,中至少有一个发生的事件,.,(3)*,当,A,、,B,不互斥时：,(1),当,A,、,B,是互斥事件,时,：,(2),当,A,、,B,是对立事件,时,：,A,A,A,B,B,B,AB,互斥事件的和事件：,4.,概率统计,21,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,事件,A,：,“掷骰子时，掷出奇数点,.”,事件,B,：,“掷骰子时，掷出的点数不大于,3.”,5,1,3,2,4,6,A,B,事件,A+B,：,“掷骰子时，掷出的点数为,1,、,2,、,3,、,5,当中的一个,.,P(A+B)=4/6,P(A)=3/6,P(B)=3/6,P(A+B),P(A)+P(B)-,P(AB),3/6+3/6-2/6,4/6,P(AB),2/6,事件,AB,：,A,B,同时发生,.,互斥事件的和事件：,4.,概率统计,A,、,B,不互斥，,22,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,4.,概率统计,P(AB)=P(A)P(B).,n,个独立事件同时发生的概率：,P(A,1,A,2,A,n,)=P(A,1,)P(A,2,),P(A,n,),n,次独立重复试验中某事件恰好发生,k,次的概率：,独立重复试验是在同样条件下重复地，各次之间独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验的,结果只有两种,，即事件,要么发生要么不发生,，并且任何一次试验中事件发生的概率都是相等的,.,独立事件的积事件,23,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,某城市的发电厂有,5,台发电机组，每台机组在一个季度里,停机维修率为,1/4,，已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电,.,计算：,该城市在一个季度里停电的概率；,该城市在一个季度里缺电的概率,.,解：,该城市停电必须是,5,台机组都停电维修，所以停电的概率是,当,3,台或,4,台机组停电维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率是,4.,概率统计,独立事件的积事件,24,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,设随机变量,的所有可能的取值为,x,1,x,2,x,i,p,1,p,2,p,i,则称,表格,的每,一个取值的概率为,，,分布列的构成,分布列的性质,为,随机变量 的概率分布，简称 的分布列,.,列出了随机变量 的所有取值,列出了 的每一个取值的概率,离散型随机变量的分布列的两个性质：,4.,概率统计,25,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,如：,某厂生产电子元件，其产品的次品率为,5%,现从一批产品中任意地连续取出,2,件，写出其中次品数,的概率分布,解：,依题意，随机变量,B,(2,，,5%),所以，,因此，次品数,的概率分布是,0,1,2,P,0,.,9025,0,.,095,0,.,0025,这是二项分布,:,B(,n,p,),怎样求期望和方差？,离散型随机变量的分布列的两个性质：,4.,概率统计,26,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,随机变量,的分布列为,x,1,x,2,x,i,p,1,p,2,p,i,4.,概率统计,数学期望、方差及性质：,数学期望：,方差：,方差与期望的关系：,27,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,每一个小矩形的面积恰好就是其对应的频率，这些小矩形的面积和为,1.,连续型总体,离散型总体,频率分布条形图和频率分布直方图,4.,概率统计,28,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,1,0.3,2,正态分布,4.,概率统计,29,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,0.5,1,2,标准正态曲线,当,0,，,1,时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数是：,其曲线称为,标准正态曲线,.,标准差,正态分布,4.,概率统计,30,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,标准正态分布的概率,正态分布,4.,概率统计,31,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,标准正态分布与一般正态分布的概率换算关系,:,正态分布,4.,概率统计,32,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,正态分布,4.,概率统计,33,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,1,（,2009,广东卷理）,2010,年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有,A.36,种,B.12,种,C.18,种,D.48,种,分两类：,若小张或小赵入选，则有选法,若小张、小赵都入选，则有选法,共有选法,36,种，选,A.,A,34,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,2,（,2009,全国卷,）甲、乙两人从,4,门课程中各选修,2,门，则甲、乙所选的课程中恰有,1,门相同的选法有,A.6,种,B.12,种,C.24,种,D.30,种,所有两人各选修,2,门的种数,=36,两人所选两门都相同和都不同的种数均为,=6,故恰好只有,1,门相同的选法有,36-12=24,种。,C,35,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,(2009,湖北卷理,),将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为,A.18 B.24 C.30 D.36,C,将四名学生分成三组且甲乙不同组分法有,再将三组依次分到班级有,=6,种，,所以种数是,30,36,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,4,（,2009,辽宁卷理）从,5,名男医生、,4,名女医生中选,3,名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有,直接法,一男两女,有,C,5,1,C,4,2,56,30,种,两男一女,有,C,5,2,C,4,1,104,40,种,共计,70,种,.,A.70,种,B.80,种,C.100,种,D.140,种,A,37,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,5,（,2009,重庆卷文）,12,个篮球队中有,3,个强队，将这,12,个队任意分成,3,个组（每组,4,个队），则,3,个强队恰好被分在同一组的概率为,B,将,12,个队分成,3,个组的分法有,种,3,个强队恰好被分在同一组分法有,故,3,个强队恰好被分在同一组的概率为,38,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,6,（,2009,重庆卷）,(,x,+2),6,的展开式中,x,3,的系数是,A,20B,40C,80D,160,展开式的通项：,T,r+1,展开式中,x,3,的系数是：,令,6-r=3,得,r=3.,D,39,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,7,（,2009,四川卷文）,的展开式的常数项是,故展开式的常数项为,令,6-2r=0,得,r=3.,-20,40,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,8,（,2009,北京卷文）若,为有理数），则,A,33B,29C,23D,19,B,41,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,9,（,2009,江西卷理）,不含,x,的项的系数绝对值的和为,243,，不含,y,的项的系数绝对值的和为,32,，则,a,b,n,的值,可能,为,展开式中,令,x,=0,，,y,=1,得：,令,x,=1,，,y,=0,得：,D,42,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,10,（,2009,安徽卷文）从长度分别为,2,、,3,、,4,、,5,的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是,依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况,:,2,、,3,、,4,或,3,、,4,、,5,或,2,、,4,、,5,，,0.75,43,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,11,（,2009,上海卷文）若某学校要从,5,名男生和,2,名女生中选出,3,人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于,1,名的概率是,因为只有,2,名女生，所以选出,3,人中至少有一名男生，,当选出的学生全是男生时有：,概率为：,所以，均不少于,1,名的概率为：,1,44,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,12,（,2009,年上海卷理）若事件,E,与,F,相互独立，且,B,45,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,13,（,2009,安徽卷理）若随机变量,则,=,对称轴的左侧面积为,46,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,14,（,2009,湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是,0.8,、,0.6,、,0.5,，则三人都达标的概率是,，三人中至少有一人达标的概率是,三人均达标为,0.80.60.5=0.24,0.24,三人中至少有一人达标为,1-0.20.40.5=0.96,0.96,47,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,15,（,2009,湖北卷文）下图是样本容量为,200,的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在,(6,10),内的频数为,，数据落在（,2,10,）内的概率约为,观察直方图易得,样本数据落在,(6,10),内的频数为,数据落在（,2,10,）内的概率约为,64,0.4,48,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,16,（,2009,全国,卷）某车间甲组有,10,名工人，其中有,4,名女工人；乙组有,5,名工人，其中有,3,名女工人，现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取,3,名工人进行技术考核,.,（,I,）求从甲、乙两组各抽取的人数；,（,II,）求从甲组抽取的工人中恰有,1,名女工人的概率；（,III,）记,表示抽取的,3,名工人中男工人数，求,的分布列及数学期望,.,解,:,（,I,）由于甲组有,10,名工人、乙组有,5,名工人，两根据分层抽样原理，要从甲组中共抽取,2,名工人、乙组中共抽取,1,名工人进行技术考核；,49,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,16,（,2009,全国,卷）某车间甲组有,10,名工人，其中有,4,名女工人；乙组有,5,名工人，其中有,3,名女工人，现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取,3,名工人进行技术考核,.,（,II,）求从甲组抽取的工人中恰有,1,名女工人的概率；,（,II,）从甲组抽取的工人中恰有,1,名女工人的概率,解,:,50,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,16,（,2009,全国,卷）某车间甲组有,10,名工人，其中有,4,名女工人；乙组有,5,名工人，其中有,3,名女工人，现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取,3,名工人进行技术考核,.,（,III,）记,表示抽取的,3,名工人中男工人数，求,的分布列及数学期望。,解,:,的可能取值为,0,，,1,，,2,，,3,，,51,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,5.,高考题例,例,16,（,III,）记,表示抽取的,3,名工人中男工人数，求,的分布列及数学期望,.,解,:,的可能取值为,0,，,1,，,2,，,3,，,的分布列为,52,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,寄语,以上通过知识点的介绍，结合题例，熟悉几类常见的排列组合及古典概率的计算问题以及概率统计的分析和处理方法,.,仅仅是起到一个抛砖引玉的作用,.,希望能使所有听课同学的思维得到升华,.,53,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,再见！,谢谢大家！,点滴积累 丰富人生,世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋,.,知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙,.,54,新疆奎屯市高级中学特级教师王新敞,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
