高三数学2.1映射与函数课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 函 数,2.1,映射与,函数,基础知识 自主学习,要点梳理,1.,映射,（,1,）定义：设,A,，,B,是两个集合，如果按照某种对,应关系,f,，对于集合,A,中的,，在集合,B,中都有,的元素和它对应，那么，这样的对,应（包括集合,A,，,B,，以及集合,A,到集合,B,的对应关,系,f,）叫做,的映射，记作,f,：,A,B,.,任何一个元素,唯一,集合,A,到集合,B,（,2,）象和原象：给定一个集合,A,到集合,B,的映射，,且,a,A,，,b,B,，如果元素,a,和元素,b,对应，那么，,我们把元素,b,叫做元素,a,的,，元素,a,叫做元素,b,的,.,2.,函数,（,1,）函数的定义,设,A,，,B,是非空的数集，如果按某个确定的对应关,系,f,，使对于集合,A,中的,，在集合,B,中,都有,，称,f,：,A,B,为,从集合,A,到集合,B,的一个函数,.,记作,y,=,f,(,x,),x,A,.,x,的取值范围,A,叫做函数的,，,叫做函数的值域,.,象,原象,任意一个数,x,唯一确定的数,f,(,x,),和它对应,定义域,函数值的集合,f,(,x,)|,x,A,（,2,）函数的三要素,、,和,.,（,3,）函数的表示法,表示函数的常用方法：,、,、,.,3.,反函数,（,1,）定义,函数,y,=,f,(,x,),（,x,A,）中，设它的值域为,C,，根据这,个函数中,x,，,y,的关系，用,y,把,x,表示出来，得到,x,=,(,y,).,如果对于,y,在,C,中的,，通过,x,=,(,y,),，,x,在,A,中都有,和它对应，那么,x,=,(,y,),就表示,y,是自变量，,x,是自变量,y,的函数，这,定义域,值域,对应法则,解析法,列表法,图象法,任何一个值,唯一的值,样的函数,x,=,(,y,)(,y,C,),叫做函数,y,=,f,(,x,)(,x,A,),的,，记作,，习惯上用,x,表示自变量，用,y,表示函数，把它改写成,.,（,2,）互为反函数的函数图象的关系,函数,y,=,f,(,x,),的图象和它的反函数,y=f,-1,(,x,),的图象关于,直线,对称,.,反,函数,x,=,f,-1,(,y,),y,=,f,-1,(,x,),y,=,x,基础自测,1.,设集合,M,=,x,|0,x,2,，,N,=,y,|0,y,2,，那么下面,的,4,个图形中，能表示集合,M,到集合,N,的函数关系的,有（）,A.B.,C.,D.,解析,由映射的定义，要求函数在定义域上都有图,象，并且一个,x,对应着一个,y,，据此排除，选,C.,D,2.,给出四个命题：,函数是其定义域到值域的映射；,f,（,x,）,=,是函数；,函数,y,=2,x,（,x,N,）的图象是一条直线；,f,（,x,）,=,与,g,(,x,)=,x,是同一个函数,.,其中正确的有（）,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,解析,由函数的定义知正确,.,满足,f,（,x,）,=,的,x,不存在，不正确,.,又,y,=2,x,（,x,N,),的图象是一条直线上的一群孤立的,点，不正确,.,又,f,（,x,）与,g,（,x,）的定义域不同，也不正确,.,A,3.,下列各组函数是同一函数的是 （）,解析,排除,A,；,排除,B,；,当 即,x,1,时,y,=|,x,|+|,x,-1|=2,x,-1,排除,C,.,故选,D,.,答案,D,4.,函数,f,(,x,)=3,x,+5,x,0,1,的反函数,f,-1,(,x,)=,.,解析,y,=3,x,+5,又,0,x,1,5,y,8,f,(,x,),的反函数为,y,5.,已知,f,（）,=,x,2,+5,x,则,f,(,x,)=,.,解析,题型一 求函数的解析式,【,例,1,】,（,1,）设二次函数,f,(,x,),满足,f,(,x,-2)=,f,(-,x,-2),，且图象在,y,轴上的截距为,1,，被,x,轴截得的线段长为,，求,f,(,x,),的解析式；,（,2,）已知,（,3,）已知,f,(,x,),满足,2,f,(,x,)+=3,x,求,f,(,x,).,问题（,1,）由题设,f,（,x,）为二次函数，,故可先设出,f,（,x,）的表达式，用待定系数法求解；,问题（,2,）已知条件是一复合函数的解析式，因此,可用换元法；问题（,3,）已知条件中含,x,，可用,解方程组法求解,.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解,（,1,）,f,（,x,）为二次函数，,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),，且,f,(,x,)=0,的两根为,x,1,x,2,.,由,f,(,x,-2)=,f,（,-,x,-2,），得,4,a,-,b,=0.,由已知得,c,=1.,由、式解得,b,=2,a,=,c,=1,f,（,x,）,=,x,2,+2,x,+1.,探究提高,求函数解析式的常用方法有：,(1),代入,法，用,g,(,x,),代入,f,(,x,),中的,x,即得到,f,g,(,x,),的解析,式；,(2),拼凑法，对,f,g,(,x,),的解析式进行拼凑变,形，使它能用,g,(,x,),表示出来，再用,x,代替两边的所有,“,g,(,x,),”,即可；,(3),换元法，设,t,=,g,(,x,),解出,x,代入,f,g,(,x,),，得,f,(,t,),的解析式即可；,(4),待定系数法，,若已知,f,(,x,),的解析式的类型，设出它的一般形式，根,据特殊值，确定相关的系数即可；,(5),赋值法，给变,量赋予某些特殊值，从而求出其解析式,.,知能迁移,1,（,1,）已知,f,(+1)=,l,g,x,，求,f,（,x,）；,(2),已知,f,（,x,）是一次函数，且满足,3,f,（,x,+1,）,-2,f,(,x,-1)=2,x,+17,，求,f,（,x,）,.,解,(1),（,2,）设,f,（,x,）,=,ax,+,b,（,a,0,）,，则,3,f,（,x,+1,）,-2,f,（,x,-1,）,=3,ax,+3,a,+3,b,-2,ax,+2,a,-2,b,=,ax,+,b,+5,a,=2,x,+17,，,a,=2,，,b,=7,，故,f,（,x,）,=2,x,+7.,题型二 分段函数,【,例,2,】,设函数,f,(,x,)=,若,f,(-4)=,f,(0),f,(-2)=-2,则关于,x,的方程,f,(,x,)=,x,解的个数为（）,A.1 B.2,C.3,D.4,求方程,f,(,x,)=,x,的解的个数，先用待定系数法求,f,（,x,）的解析式，再用数形结合或解方程,.,思维启迪,解析,由,f,(-4)=,f,(0),得,b,=4,再由,f,(-2)=-2,得,c,=2,x,0,时，显然,x,=2,是方程,f,(,x,)=,x,的解；,x,0,时，方程,f,（,x,）,=,x,即为,x,2,+4,x,+2=,x,，解得,x,=-1,或,x,=-2.,综上，方程,f,（,x,）,=,x,解的个数为,3.,答案,C,分段函数是一类重要的函数模型,.,解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题,.,如本例，需分,x,0,时，,f,（,x,）,=,x,的解的个数和,x,0,时，,f,（,x,）,=,x,的解的个数,.,探究提高,知能迁移,2,（,2009,山东理，,10,）,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,则,f,(2 009),的值为（）,A.-1 B.0 C.1D.2,解析,当,x,0,时，,f,(,x,)=,f,(,x,-1)-,f,(,x,-2),f,(,x,+1)=,f,(,x,)-,f,(,x,-1).,f,(,x,+1)=-,f,(,x,-2),，即,f,(,x,+3)=-,f,(,x,),f,(,x,+6)=,f,(,x,).,即当,x,0,时，函数,f,(,x,),的周期是,6.,又,f,(2 009)=,f,(334,6+5)=,f,(5),由已知得,f,(-1)=,log,2,2=1,，,f,(0)=0,f,(1)=,f,(0)-,f,(-1)=-1,f,(2)=,f,(1)-,f,(0)=-1,f,(3)=,f,(2)-,f,(1)=-1-,(-1)=0,f,(4)=,f,(3)-,f,(2)=0-(-1)=1,f,(5)=,f,(4)-,f,(3)=1.,C,题型三 函数的实际应用,【,例,3,】,（,12,分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托,车的投入成本为,1,万元,/,辆，出厂价为,1.2,万元,/,辆，年,销售量为,1 000,辆,.,本年度为适应市场需求，计划提高,产品档次，适度增加投入成本,.,若每辆车投入成本增,加的比例为,x,(0,x,1),，则出厂价相应提高的比例为,0.75,x,同时预计年销售量增加的比例为,0.6,x,.,已知年,利润,=(,出厂价,-,投入成本,),年销售量,.,（,1,）写出本年度预计的年利润,y,与投入成本增加的比例,x,的关系式；,（,2,）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本,增加的比例,x,应在什么范围内？,准确理解题意，构建函数模型,.,解题示范,解,（,1,）依题意，本年度每辆摩托车的成本为,1+,x,(,万元,),，而出厂价为,1.2,(1+0.75,x,)(,万元,),，,销售量为,1 000,(1+0.6,x,)(,辆,).,故利润,y,=,1.2,(1+0.75,x,)-(1+,x,),1 000,(1+0.6,x,),4,分,整理得,y,=-60,x,2,+20,x,+200(0,x,0,8,分,即,-60,x,2,+20,x,+200-2000,即,3,x,2,-,x,0.,10,分,解得,0,x,适合,0,x,1.,故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加,的比例,x,的取值范围是,0,x,0,且,a,1),的反函数，且,f,(2)=1,则,f,(,x,)=,（）,A.B.2,x,-2,C.D.log,2,x,解析,函数,y,=,a,x,(,a,0,且,a,1),的反函数是,f(x,)=,log,a,x,又,f,(2)=1,即,log,a,2=1,，所以,a,=2,故,f,(,x,)=log,2,x,.,D,4.,（,2008,山东）,设函数,的值为（）,解析,A,5.,（,2008,陕西）,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,+,y,)=,f,(,x,)+,f,(,y,)+2,xy,(,x,y,R,),f,(1)=2,则,f,(-3),等于（）,A.2 B.3C.6D.9,解析,f,(1)=,f,(0+1)=,f,(0)+,f,(1)+2,0,1,=,f,(0)+,f,(1),f,(0)=0.,f,(0)=,f,(-1+1)=,f,(-1)+,f,(1)+2,(-1),1,=,f,(-1)+,f,(1)-2,f,(-1)=0.,f,(-1)=,f,(-2+1)=,f,(-2)+,f,(1)+2,(-2),1,=,f,(-2)+,f,(1)-4,f,(-2)=2.,f,(-2)=,f,(-3+1)=,f,(-3)+,f,(1)+2,(-3),1,=,f,(-3)+,f,(1)-6,f,(-3)=6.,C,6.,函数,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,-3,在区间,1,2,上存在反函数的,充要条件是（）,A.,a,(-,1,B.,a,2,+),C.,a,1,2,D.,a,(-,1,2,+),解析,由二次函数的对称轴为,x,=,a,可得答案,.,D,二、填空题,7.,某出租车公司规定,“,打的,”,收费标准如下：,3,千米,以内为起步价,8,元（即行程不超过,3,千米，一律收费,8,元），若超过,3,千米除起步价外，超过部分再按,1.5,元,/,千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为,7.4,，则乘客应付的车费是,元,.,解析,车费为,8+,（,7.4-3,）,1.5=14.615,（元）,.,15,8.,（,2009,北京文，,12,）,已知函数,若,f,(,x,)=2,则,x,=,.,解析,当,x,1,时，,3,x,=2,x,=log,3,2;,当,x,1,时，,-,x,=2,x,=-2(,舍去,).,log,3,2,9.,已知符号函数,sgn,x=,解析,(,x,+1)sgn,x,2,的解集是,.,x,|,x,1,则不等式,三、解答题,10.,已知函数,f,(,x,),和,g,(,x,),的图象关于原点对称，且,f,(,x,)=,x,2,+2,x,.,（,1,）求,g,(,x,),的解析式；,（,2,）解不等式,g,(,x,),f,(,x,)-|,x,-1|.,解,（,1,）设函数,y,=,f,(,x,),的图象上任一点,Q,(,x,0,，,y,0,),关于原点的对称点为,P,（,x,，,y,），,点,Q,（,x,0,y,0,）在函数,y,=,f,(,x,),的图象上，,-,y,=,x,2,-2,x,，即,y,=-,x,2,+2,x,故,g,(,x,)=-,x,2,+2,x,.,（,2,）由,g,(,x,),f,(,x,)-|,x,-1|,可得,:2,x,2,-|,x,-1|0.,当,x,1,时，,2,x,2,-,x,+10,此时不等式无解,.,当,x,1,时，,2,x,2,+,x,-10,因此，原不等式的解集为,11.,某租赁公司拥有汽车,100,辆,.,当每辆车的月租金,为,3 000,元时，可全部租出,.,当每辆车的月租金每增加,50,元时，未租出的车将会增加一辆,.,租出的车每月需要维护费,150,元，未租出的车每辆每月需要维护费,50,元,.,（,1,）当每辆车的月租金定为,3 600,元时，能租出,多少辆车？,（,2,）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司,的月收益最大？最大月收益是多少？,解,（,1,）当每辆车的月租金定为,3 600,元时，未,租出的车辆数为 ，所以这时租出,了,88,辆车,.,（,2,）设每辆车的月租金定为,x,元，则租赁公司的月,所以,当,x,=4 050,时,f,(,x,),最大,最大值为,f,(4 050)=,307 050.,即当每辆车的月租金定为,4 050,元时，租赁公司的,月收益最大，最大月收益为,307 050,元,.,12.,已知,g,(,x,)=-,x,2,-3,f,(,x,),是二次函数，当,x,-1,，,2,时，,f,（,x,）的最小值为,1,，且,f,（,x,）,+,g,（,x,）为奇函数，求函数,f,（,x,）的表达式,.,解,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),则,f,(,x,)+,g,(,x,)=(,a,-1),x,2,+,bx,+,c,-3,又,f,(,x,)+,g,(,x,),为奇函数，,a,=1,，,c,=3.,f,（,x,）,=,x,2,+,bx,+3,，对称轴,x,=.,当 ，即,b,-4,时，,f,(,x,),在,-1,，,2,上为,减函数，,f,（,x,）的最小值为,f,（,2,）,=4+2,b,+3=1.,