5第五讲圆及直线与圆的位置关系教师讲义手册课件(全国版) 文 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,走向高考,高考总复习,数学,第,7,章 直线和圆的方程,首页,上页,下页,末页,知识梳理,规律方法提炼,课后强化作业,课堂题型设计,基础知识,一、圆,1,圆的定义,在平面内，到,的距离等于,的点的,叫圆,2,确定一个圆最基本的要素是,和,3,圆的标准方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,(,r,0),，其中,为圆心，,为半径,定点,定长,集合,圆心,半径,(,a,，,b,),r,4,圆的一般方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,表示圆的充要条件是,，其中圆心为,，半径为,r,.,D,2,E,2,4,F,0,5,确定圆的方程的方法和步骤,确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：,(1),根据题意，选择标准方程或一般方程；,(2),根据条件列出关于,a,，,b,，,r,或,D,，,E,，,F,的方程组；,(3),解出,a,、,b,、,r,或,D,、,E,、,F,代入标准方程或一般方程,6,点与圆的位置关系,点和圆的位置关系有三种：,圆的标准方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，点,M,(,x,0,，,y,0,),点在圆上：,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,；,点在圆外：,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,；,点在圆内：,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,.,二、直线与圆的位置关系,1,位置关系有三种：,、,、,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：,(2),几何法：利用圆心到直线的距离,d,和圆半径,r,的大小关系：,d,r,相交，,d,r,相切，,d,r,相离,相离,相切,相交,2,计算直线被圆截得的弦长的常用方法,(1),几何方法：,运用弦心距,(,即圆心到直线的距离,),、弦长的一半及半径构成直角三角形计算,(2),代数方法：,运用韦达定理及弦长公式,说明：,圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法,3,P,(,x,0,，,y,0,),在圆,x,2,y,2,r,2,(,r,0),上，则以,P,为切点的切线方程为,x,0,x,y,0,y,r,2,.,三、圆与圆的位置关系的判定,设,C,1,：,(,x,a,1,),2,(,y,b,1,),2,(,r,1,0),，,C,2,：,(,x,a,2,),2,(,y,b,2,),2,(,r,2,0),，则有：,|,C,1,C,2,|,r,1,r,2,C,1,与,C,2,；,|,C,1,C,2,|,r,1,r,2,C,1,与,C,2,；,|,r,1,r,2,|,|,C,1,C,2,|,r,1,r,2,C,1,与,C,2,；,|,C,1,C,2,|,|,r,1,r,2,|(,r,1,r,2,),C,1,与,C,2,；,|,C,1,C,2,|,|,r,1,r,2,|,C,1,与,C,2,相离,外切,相交,内切,内含,易错知识,一、忽视圆的一般方程的充要条件产生的混淆,1,已知圆的方程为,x,2,y,2,ax,2,y,a,2,0.,要使过定点,A,(,1,，,2),作圆的切线有两条，则,a,的取值范围是,_,二、误用判别式产生的混淆,2,直线,y,kx,1,与曲线,y,有公共点，则,k,的取值范围为,_,答案：,0,1,三、求过一定点的圆的切线时，因未事先判断点与圆的位置关系而失误,3,圆,x,2,y,2,4,x,0,在点,P,(1,，,),处的切线方程为,_,答案：,x,y,2,0,四、概念理解错误而失误,4,已知直线,ax,by,c,0,与圆,O,：,x,2,y,2,1,相交于,A,、,B,两点，且,|,AB,|,回归教材,1,方程,a,2,x,2,(,a,2),y,2,2,ax,a,0,表示圆，则,(,),A,a,1,B,a,2,C,a,1,或,2 D,a,1,解析：,a,2,a,2,，,a,1,或,a,2.,经验证当,a,1,时方程表示圆故选,A.,答案：,A,2,点,P,(5,a,1,12,a,),在圆,(,x,1),2,y,2,1,的内部，则,a,的取值范围是,(,),解析：,点,P,在圆,(,x,1),2,y,2,1,的内部,(5,a,1,1),2,(12,a,),2,1,|,a,|,答案：,D,3,(,教材,P,90,7,题改编,),圆,(,x,1),2,y,2,1,的圆心到直线,y,的距离是,(,),答案：,A,4,两圆,x,2,y,2,6,x,4,y,9,0,和,x,2,y,2,6,x,12,y,19,0,的位置关系是,(,),A,外切,B,内切,C,相交,D,外离,解析：,由题意可知两圆的圆心,O,1,(,3,2),，,O,2,(3,，,6),，两圆的半径分别为,r,1,2,，,r,2,8.,2,8,10,，,|,O,1,O,2,|,r,1,r,2,，故两圆外切,答案：,A,5,(,教材,P,102,4,题改编,),圆心为,(1,2),且与直线,5,x,12,y,7,0,相切的圆的方程为,_,解析：,圆心,(1,2),到直线,5,x,12,y,7,0,的距离,d,所求圆的方程为,(,x,1),2,(,y,2),2,4.,答案：,(,x,1),2,(,y,2),2,4,【,例,1,】,一个圆与,y,轴相切，圆心在直线,x,3,y,0,上，且在直线,y,x,上截得的弦长为,2,，求此圆的方程,分析,因题中涉及圆心及切线，故设标准形式解题较简单,解答,方法一：,所求圆的圆心在直线,x,3,y,0,上，且与,y,轴相切，,设所求圆的圆心为,C,(3,a,，,a,),，半径为,r,3|,a,|,，,又圆在直线,y,x,上截得的弦长为,2,，,圆心,C,(3,a,，,a,),到直线,y,x,的距离为,d,有,d,2,(,),2,r,2,，,即,2,a,2,7,9,a,2,，,a,1,，,故所求圆的方程为,(,x,3),2,(,y,1),2,9,或,(,x,3),2,(,y,1),2,9.,方法二：依题设所求圆的方程为,(,x,3,a,),2,(,y,a,),2,9,a,2,，,可得,2,x,2,8,ax,a,2,0,，则,x,1,x,2,4,a,，,x,1,x,2,圆在直线,y,x,上截得的弦长为,2,，,故所求圆的方程为,(,x,3),2,(,y,1),2,9,或,(,x,3),2,(,y,1),2,9.,拓展探究,本题确定一个圆需三个独立条件，题中显然给了三个条件：,(1),圆与,y,轴相切；,(2),圆心在直线,x,3,y,0,上；,(3),在直线,y,x,上截得的弦长为,2,，因此，可求圆的标准方程解题时要注意半径是正数，即应设,r,3|,a,|,，但是由题意知：圆与,y,轴相切可能是圆在,y,轴左边或在,y,轴右边，圆心在直线,x,3,y,0,上，表明圆心的横、纵坐标同号,(2009,辽宁，,4),已知圆,C,与直线,x,y,0,及,x,y,4,0,都相切，圆心在直线,x,y,0,上，则圆,C,的方程为,(,),A,(,x,1),2,(,y,1),2,2,B,(,x,1),2,(,y,1),2,2,C,(,x,1),2,(,y,1),2,2,D,(,x,1),2,(,y,1),2,2,答案：,B,解析：,由圆心在直线,x,y,0,上不妨设为,C,(,a,，,a,),C,：,(,x,1),2,(,y,1),2,2.,故选,B.,(2009,江西南昌一模,),过点,P,(4,2),作圆,x,2,y,2,4,的两条切线，切点分别为,A,、,B,，,O,为坐标原点，则,OAB,的外接圆方程是,(,),A,(,x,2),2,(,y,1),2,5,B,(,x,4),2,(,y,2),2,20,C,(,x,2),2,(,y,1),2,5,D,(,x,4),2,(,y,2),2,20,答案：,A,解析：,由题意知所求圆以,OP,为直径，,圆心为,(2,1),r,故圆的方程为,(x,2),2,(y,1),2,5.,【,例,2】,(1),已知实数,x,、,y,满足,x,2,y,2,2,x,2,y,0,，求,x,y,的最小值,(2),已知实数,x,、,y,满足,(,x,3),2,y,2,2,，求,x,2,y,2,的最大值，最小值,探究,若实数,x,，,y,满足圆的方程时，求二元函数,f,(,x,，,y,),的最大值可用三角换元或数形结合等,解析,(1),原方程化为,(,x,1),2,(,y,),2,4,表示一个圆的方程,(,为参数，,0,2,),，,(2),方法,1,：,(,x,3),2,y,2,2,，,x,2,y,2,6,x,7,(,坐标系与参数方程选做题,),在平面直角坐标系,xOy,中，直线,l,的参数方程为,(,参数,t,R,),，圆,C,的参数方程为,(,参数,0,2,),，则圆,C,的圆心坐标为,_,，圆心到直线,l,的距离为,_,命题意图：,考查参数方程与普通方程互化，及直线和圆的基本知识,解析：,直线和圆的方程分别是：,x,y,6,0,，,x,2,(,y,2),2,2,2,，所以圆心,(0,2),，其到直线的距离为：,已知实数,x,、,y,满足,x,2,y,2,2,y,0.,(1),求,2,x,y,的取值范围；,(2),若,x,y,c,0,恒成立，求实数,c,的取值范围,分析：,由题意可知点,(,x,，,y,),在圆,x,2,(,y,1),2,1,上,解答：,(1),方法一：圆,x,2,(,y,1),2,1,的参数方程为,方法二：令,z,2,x,y,，则,y,2,x,z,代入,x,2,y,2,2,y,0,得,x,2,(,2,x,z,),2,2(,2,x,z,),0,整理得,5,x,2,(4,4,z,),x,z,2,2,z,0,由,(4,4,z,),2,20(,z,2,2,z,),0,【,例,3,】,(2007,宁厦，,21),在平面直角坐标系,xOy,中，已知圆,x,2,y,2,12,x,32,0,的圆心为,Q,，过点,P,(0,2),且斜率为,k,的直线与圆,Q,相交于不同的两点,A,、,B,(,),求,k,的取值范围；,(,),是否存在常数,k,，使得向量 共线？如果存在，求,k,值；如果不存在，请说明理由,解析：,(,),圆的方程可写成,(,x,6),2,y,2,4,，所以圆心为,Q,(6,0),过,P,(0,2),且斜率为,k,的直线方程为,y,kx,2,，,代入圆方程得,x,2,(,kx,2),2,12,x,32,0,，,整理得,(1,k,2,),x,2,4(,k,3),x,36,0.,直线与圆交于两个不同的点,A,、,B,等价于,4(,k,3),2,4,36(1,k,2,),4,2,(,8,k,2,6,k,),0,，,解得 ,k,0,，即,k,的取值范围为,(,，,0),(,),设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则 ,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),，由方程,，,x,1,x,2,又,y,1,y,2,k,(,x,1,x,2,),4.,而,P,(0,2),，,Q,(6,0),，,(6,，,2),2(,x,1,x,2,),6(,y,1,y,2,),，,将,代入上式，解得,k,.,由,(,),知,k,(,，,0),，故没有符合题意的常数,k,.,已知：过点,A,(0,1),且方向向量为,a,(1,，,k,),的直线,l,与,C,：,(,x,2),2,(,y,3),2,1,相交于,M,、,N,两点,(1),求实数,k,的取值范围；,(2),求证：为定值；,(3),若,O,为坐标原点，且 ,12,，求,k,的值,解析：,(1),直线,l,过点,A,(0,1),且方向向量为,a,(1,，,k,),，,直线,l,的方程为,y,kx,1(,注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率,),将其代入,C,：,(,x,2),2,(,y,3),2,1,，,得,(1,k,2,),x,2,4(1,k,),x,7,0.,由题意：,4(1,k,),2,4,(1,k,2,),7,0,，,(2),证明：利用切割线定理可以证明,AT,为切线，,T,为切点,|,AT,|,2,|,AC,|,2,1,7.,根据向量的运算：,cos0,7,为定值,(3),设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,),，则由,得,x,1,x,2,y,1,y,2,(1,k,2,),x,1,x,2,k,(,x,1,x,2,),1,8,12,k,1(,代入,(1),检验符合题意,),反思归纳：,本题涉及的知识很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的点到直线的距离、韦达定理等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键,.,【,例,4】,(2007,全国,文，,21),在直角坐标系,xOy,中，以,O,为圆心的圆与直线,x,y,4,相切,(1),求圆,O,的方程；,(2),圆,O,与,x,轴相交于,A,、,B,两点，圆内的动点,P,使,|,PA,|,、,|,PO,|,、,|,PB,|,成等比数列，求 的取值范围,解析,(1),依题设，圆,O,的半径,r,等于原点,O,到直线,x,y,4,的距离，即,r,2.,得圆,O,的方程为,x,2,y,2,4.,(2),不妨设,A,(,x,1,0),，,B,(,x,2,0),，,x,1,x,2,.,由,x,2,4,即得,A,(,2,0),，,B,(2,0),设,P,(,x,，,y,),，由,|,PA,|,、,|,PO,|,、,|,PB,|,成等比数列，得,即,x,2,y,2,2.,(,2,x,，,y,)(2,x,，,y,),x,2,4,y,2,2(,y,2,1),由于点,P,在圆,O,内，故 由此得,y,2,1.,所以 的取值范围为,2,0),(2009,北京海淀上学期期末,),已知圆,C,的方程为,x,2,y,2,4.,(1),直线,l,过点,P,(1,2),，且与圆,C,交于,A,、,B,两点，若,|,AB,|,2,，求直线,l,的方程；,(2),过圆,C,上一动点,M,作平行于,x,轴的直线,m,，设,m,与,y,轴的交点为,N,，若向量,，求动点,Q,的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线,解析：,(1),直线,l,垂直于,x,轴时，直线方程为,x,1,，,l,与圆的两个交点坐标为,(1,，,),和,(1,),其距离为,2,满足题意；,若直线,l,不垂直于,x,轴，,设其方程为,y,2,k,(,x,1),，,即,kx,y,k,2,0.,设圆心到此直线的距离为,d,，,故所求直线方程为,3,x,4,y,5,0.,综上所述，所求直线方程为,3,x,4,y,5,0,或,x,1.,(2),设点,M,的坐标为,(,x,0,，,y,0,)(,y,0,0),，,Q,点坐标为,(,x,，,y,),，则,N,点坐标是,(0,，,y,0,),轨迹是一个焦点在,y,轴上的椭圆，除去短轴端点,1,求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程,2,过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况,3,求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为,1,列方程来简化运算,4,注意利用圆的性质理解题，可以简化计算例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小矩离或最大距离利用两点的距离减去或加上半个的圆半径就很简便,请同学们认真完成课后强化作业,