函数的连续性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的连续性,（,2,）“神州四号”飞船，发射后的位移与时间的函数是连续变化的；,2.6,函数的连续性,40,80,120,160,x,分,y,分,20,40,60,80,例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。,另,一种是间断的或跳跃的,业务种类,计费单位,资费标准,信函,20,克及,20,克以下,4.40,20,克以上至,50,克,8.20,50,克以上至,100,克,10.40,100,克以上至,250,克,20.80,250,克以上至,500,克,39.80,500,克以上至,1000,克,75.70,1000,克以上至,2000,克,123.00,国际邮件资费（单位：元）,亚太地区信函减低资费,7.10,元,o,x,0,x,y,如图：从直观上看，我们说一个函数在一点,x=x,0,处连续是指这个函数的图象在,x=x,0,处,没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点,x,0,处是连续的没有断开。,2.6,函数的连续性,一、函数在某一点处的连续性,导致函数图象断开的原因？,o,x,y,1,2,、,（,1,）在,x=1,处有,定义,（,3,）函数,f,（,x,）,的极限不存在。,1,2,o,x,y,2.5,y,x,o,1,2,（,1,）在,x=1,处有定义；,（,2,）函数在,x=1,处的左右极限相等，即函数在,x=1,处的极限存在，且等于,2,，但不等于,f,（,1,）,导致函数图象断开的原因：,1,、,函数在 处没有定义,2,、,函数在 时极限不存在,函数值不等,3,、,函数在 处的极限值和,o,x,y,1,2,1,2,o,x,y,2.5,y,x,o,1,2,一般地，函数,f,（,x,）,在点,x,0,处连续,必须同时具备,三个,条件：,1,、,存在，即函数,在点,x,0,处有定义。,2,、,存在。,3,、,y,x,o,1,2,o,x,0,x,y,定义：,设函数,f(x),在,处,及其,附近有定义,，而且,则称函数,f(x),在点 处连续,，,称为,函数,f(x),的连续点。,例,1,讨论下列函数在给定点处的连续性：,解：如图,（,1,）函数 在点,x=0,处没有定义，因而它在点,x=0,处不连续。,（,2,）因为,二、单侧连续性：,并且,如果函数 在点 处及其右侧,附近,有定义,则称,f(x),在点 处右连续。,x,y,O,a,类似地：,则称,f(x),在 处是左连续。,如果函数 在点,x,0,处及其,左侧附近,有定义，并且,1,2,o,x,y,2.5,如,例如函数,x,y,o,-1,1,如图，在点,x=0,附近，,因而函数 在,x=0,处是右连续，而非左连续。,结论：函数在一点处连续的充要,条件是既左连续又右连续,o,x,0,x,y,三、函数的连续性：,1,、开区间内连续：如果 在某一开,区间 内,每一点处都连续，就说函,数,f,（,x,）,在,开区间（,a,，,b,）,内,连续，或,说,f,（,x,）,是开区间,（,a,，,b,）,内,的连续函数。,2,、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在,左,端点 处,右,连续，在,右,端点 处,左,连续，就说函数 在,闭区间,上,连续。,例如，函数 在闭区间,-1,，,1,上连续，而函数 在开区间（,0,，,1,）内连续，在闭间,0,，,1,上不连续，因为它在左端点,x=0,处不是右连续。,1,、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在,x=a,处是否连续：,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,连续,不,连续,连续,不,连续,不,连续,不,连续,练习,：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,a,x,y,o,（,7,）,不连续,a,x,y,o,（,8,）,连续,2,、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。,x,y,o,不,连续,连续,连续,连续,从几何直观上看，闭区间,a,，,b,上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：,对于任意 ，这时我们说闭区间,a,，,b,上的连续函数,f,（,x,）,在点,x,1,处有最大值,f,（,x,1,），,在点,x,2,处有最小值,f,（,x,2,）。,o,x,2,x,1,b,a,x,y,四、闭区间上连续函数的性质：,性质,(,最大值最小值定理,),如果,f,（,x,）,是闭区间,a,，,b,上的连续函数，那么,f,（,x,）,在闭区间,a,，,b,上,有最大值,和最小值。,o,x,2,x,1,b,a,x,y,注,函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数,在点,x=1,处有,最大值,1,，在点,x=-1,处有最小值,-1,（如图）,x,y,o,1,-1,-1,1,再如,对二次函数,y=ax,2,+bx+c,来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。,指出下面函数在哪些点处不连续，为什么？,练习,1,、（,1,）函数,f(x),在点,x=x,0,处有,定义是,f(x),在点,x=x,0,处,连续的（）条件。,（,2,）函数,f(x),在点,x=x,0,处有定义是,f(x),在点,x=x,0,处,有极限的（）条件。,2,、,P97-98,习题,2.6,3,、函数,f(x)g(x),在,x,0,处连续是,f(x),与,g(x),在,x,0,处,都连续的什么条件？,本节小结,：,1,、设函数,f(x),在,处及其附近,有定义，,而且,则称函数,f(x),在点,x,0,处连续,。,f(x),在点,x,0,处右连续。,f(x),在,x,0,处左连续。,2、,开区间内连续，,闭区间上连续,3、,结论：函数在一点处连续的充要,条件是即左连续又右连续,4、,5、,会用数形,结合思想解某些数学问题,由图像可知，基本初等函数在定义域内的每一点处都是连续的，可以证明，一切初等函数在其定义区间内都是连续的，根据这个结论，求初等函数在其定义区间内某点出的极限，只需求出函数在该点处的函数值，,即,初等函数的连续性,谢谢同学们,!,