高中数学 正弦定量和余弦定理课件 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,正弦定理和余弦定理,要点梳理,1.,正弦定理,:,其中,R,是三角形,外接圆的半径,.,由正弦定理可以变形为,:,（,1,）,a,b,c,=sin,A,sin,B,sin,C,;,（,2,）,a,=,b,=,c,=,;,（,3,）等形式,以,解决不同的三角形问题,.,2,R,sin,C,2,R,sin,A,2,R,sin,B,基础知识 自主学习,2.,余弦定理,:,a,2,=,b,2,=,c,2,=,.,余弦定理可以变形为,:,cos,A,cos,B,=,cos,C,=,.,3.,r,（,r,是三角形内切圆的半径）,并可由此计算,R,、,r,.,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,a,2,+,b,2,-2,ab,cos,C,4.,在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：,（,1,）已知两角及任一边，求其它边或角；,（,2,）已知两边及一边的对角，求其它边或角,.,情况（,2,）中结果可能有一解、二解、无解，,应注意区分,.,余弦定理可解决两类问题：,（,1,）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；,（,2,）已知三边问题,.,5.,解三角形的类型,在,ABC,中，已知,a,、,b,和,A,时，解的情况如下：,A,为锐角,A,为钝角,或直角,图形,关系式,解的,个数,一解,两解,一解,一解,基础自测,1.,（,2008,陕西理，,3,）,ABC,的内角,A,、,B,、,C,的,对边分别为,a,、,b,、,c,若,c,=,b,=,B,=120,则,a,等于（）,A.B.2 C.D.,解析,D,2.,ABC,的内角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c,.,若,a,、,b,、,c,成等比数列，且,c,=2,a,则,cos,B,等于,(),A.B.C.D.,解析,由已知得,b,2,=,ac,c,=2,a,B,3.,在,ABC,中，,A,=60,a,=4 ,b,=4 ,则,B,等,于（）,A.45,或,135,B.135,C.45,D.,以上答案都不对,解析,由正弦定理得,又,a,b,A,=60,B,=45,.,C,4.,已知圆的半径为,4,，,a,、,b,、,c,为该圆的内接三角形,的三边，若,abc,=16,，则三角形的面积为（）,A.B.C.D.,解析,C,5.,在,ABC,中，角,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,.,若,B,=45,，,b,=,，,a,=1,，则,C,=,.,解析,a,b,A,=60,或,A,=120,.,当,A,=60,时，,C,=180,-45,-60,=75,当,A,=120,时，,C,=180,-45,-120,=15,.,(2),B,=60,C,=75,A,=45,.,（,3,）,a,，,b,，,c,成等比数列，,b,2,=,ac,，又,a,2,-,c,2,=,ac,-,bc,，,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,.,在,ABC,中，由余弦定理得,（,1,）已知两角一边可求第三角，解这,样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可,.,（,2,）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正,弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是,解题的难点，应引起注意,.,知能迁移,1,在,ABC,中，若,b,=,c,=1,B,=45,求,a,及,C,的值,.,解,由正弦定理得,因为,c,b,所以,C,B,故,C,一定是锐角，,所以,C,=30,所以,A,=105,，,题型二 余弦定理的应用,在,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别是角,A,，,B,，,C,的对边，且,（,1,）求角,B,的大小；,（,2,）若,b,=,，,a,+,c,=4,，求,ABC,的面积,.,由,利用余弦定理,转化为边的关系求解,.,解,（,1,）由余弦定理知,(1),根据所给等式的结构特点利用余弦,定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键,.,（,2,）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意,整体思想、方程思想在解题过程中的运用,.,知能迁移,2,已知,ABC,中，三个内角,A,，,B,，,C,的,对边分别为,a,b,c,若,ABC,的面积为,S,，且,2,S,=,（,a,+,b,）,2,-,c,2,，求,tan,C,的值,.,解,依题意得,ab,sin,C,=,a,2,+,b,2,-,c,2,+2,ab,由余弦定理知,a,2,+,b,2,-,c,2,=2,ab,cos,C,.,所以,ab,sin,C,=2,ab,(1+cos,C,),即,sin,C,=2+2cos,C,题型三 三角形形状的判定,在,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别表示三个内角,A,、,B,、,C,的对边，如果（,a,2,+,b,2,）,sin,（,A,-,B,）,=,（,a,2,-,b,2,）,sin,（,A,+,B,），判断三角形的形状,.,利用正弦定理、余弦定理进行边角,互化，转化为边边关系或角角关系,.,解,方法一,已知等式可化为,a,2,sin,（,A,-,B,）,-sin,（,A,+,B,）,=,b,2,-sin,（,A,+,B,）,-sin(,A,-,B,),2,a,2,cos,A,sin,B,=2,b,2,cos,B,sin,A,由正弦定理可知上式可化为,sin,2,A,cos,A,sin,B,=sin,2,B,cos,B,sin,A,sin,A,sin,B,(sin,A,cos,A,-sin,B,cos,B,)=0,sin 2,A,=sin 2,B,由,02,A,2,B,0;,若,A,为直角，则,b,2,+,c,2,-,a,2,=0,；若,A,为钝角，,则,b,2,+,c,2,-,a,2,0.,（,2,）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的,三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得,出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时,要注意应用,A,+,B,+,C,=,这个结论,.,知能迁移,3,在,ABC,中，已知,2sin,A,cos,B,=,sin,C,，那么,ABC,一定是（）,A.,直角三角形,B.,等腰三角形,C.,等腰直角三角形,D.,正三角形,解析,方法一,因为在,ABC,中，,A,+,B,+,C,=,，,即,C,=-,（,A,+,B,），所以,sin,C,=,sin(,A,+,B,).,由,2sin,A,cos,B,=sin,C,得,2sin,A,cos,B,=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,即,sin,A,cos,B,-cos,A,sin,B,=0,即,sin(,A,-,B,)=0.,又因为,-,A,-,B,0,2cos,B,=1,B,是三角形的内角，,B,=60,.,6,分,（,2,）在,ABC,中，由余弦定理得,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=(,a,+,c,),2,-2,ac,-2,ac,cos,B,8,分,将,b,=,a,+,c,=4,代入整理，得,ac,=3.,10,分,12,分,在求角问题中，一般都是用正、余弦定,理将边化为角,.,由三角函数值求角时，要注意角的,范围,.,在应用余弦定理时，要注意配方这一小技,巧，通过配方，使之出现（,a,+,b,）,2,或（,a,-,b,）,2,.,将,a,+,b,或,a,-,b,作为一个整体，可以带来非常好的效果,.,知能迁移,4,（,2008,辽宁理，,17,）,在,ABC,中，,内角,A,、,B,、,C,对边的边长分别是,a,、,b,、,c,.,已,知,c,=2,（,1,）若,ABC,的面积等于 ，求,a,、,b,的值；,（,2,）若,sin,C,+sin(,B,-,A,)=2sin 2,A,求,ABC,的,面积,.,解,(1),由余弦定理及已知条件,得,a,2,+,b,2,-,ab,=4.,又因为,ABC,的面积等于 ，,所以,ab,sin,C,=,所以,ab,=4.,(2),由题意得,sin(,B,+,A,)+sin(,B,-,A,)=4sin,A,cos,A,即,sin,B,cos,A,=2sin,A,cos,A,当,cos,A,0,时，得,sin,B,=2sin,A,由正弦定理得,b,=2,a,方法与技巧,1.,正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的,重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求,解三角形，以及利用它们解决一些实际问题,.,2.,应熟练掌握和运用内角和定理,:,A,+,B,+,C,=,中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数,.,思想方法 感悟提高,3.,正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由,正、余弦定理结合得,sin,2,A,=sin,2,B,+sin,2,C,-,2sin,B,sin,C,cos,A,可以进行化简或证明,.,4.,根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种,途径：,（,1,）化边为角；（,2,）化角为边，并常用正弦,（余弦）定理实施边、角转换,.,失误与防范,在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边,的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角,时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类,讨论,.,一、选择题,1.,ABC,的三边分别为,a,，,b,，,c,且满足,b,2,=,ac,，,2,b,=,a,+,c,，则此三角形是 （）,A.,等腰三角形,B.,直角三角形,C.,等腰直角三角形,D.,等边三角形,解析,2,b,=,a,+,c,，,4,b,2,=,（,a,+,c,）,2,，,又,b,2,=,ac,(,a,-,c,),2,=0.,a,=,c,.,2,b,=,a,+,c,=2,a,.,b,=,a,，即,a,=,b,=,c,.,D,定时检测,2.,ABC,中,a,b,c,分别是内角,A,B,C,的对边,且,cos,2,B,+3cos(,A,+,C,)+2=0,，,b,=,则,c,sin,C,等于 （）,A.31 B.1,C.1 D.21,解析,cos,2,B,+3cos(,A,+,C,)+2=2cos,2,B,-,3cos,B,+1=0,cos,B,=,或,cos,B,=1(,舍,).,D,3.,ABC,中，,AB,=,AC,=1,B,=30,，则,ABC,的,面积等于 （）,A.B.C.D.,解析,C,=60,或,120,.,(1),当,C,=60,时,A,=90,BC,=2,此时,（,2,）当,C,=120,时，,A,=30,，,D,4.,（,2008,四川文，,7,）,ABC,的三内角,A,、,B,、,C,的对边边长分别为,a,、,b,、,c,.,若,A,=2,B,，,则,cos,B,等于（）,A.B.C.D.,解析,由正弦定理得,B,5.,（,2008,福建理，,10,）,在,ABC,中,角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c,，若（,a,2,+,c,2,-,b,2,）,tan,B,=,ac,，则角,B,的值为（）,A.B.,C.D.,解析,(,a,2,+,c,2,-,b,2,)tan,B,=,ac,D,6.,在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所对的边分别是,a,b,c,若,b,2,+,c,2,-,bc,=,a,2,且,则角,C,的值为 （）,A.45,B.60,C.90,D.120,解析,由,b,2,+,c,2,-,bc,=,a,2,得,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,C,二、填空题,7.,（,2009,上海春招）,在,ABC,中，若,AB,=3,ABC,=75,ACB,=60,，则,BC,=,.,解析,根据三角形内角和定理知,BAC,=180,-75,-60,=45,.,根据正弦定理得,8.,在,ABC,中,AB,=2,AC,=,BC,=1+,，,AD,为边,BC,上的高，则,AD,的长是,.,解析,9.,在,ABC,中，角,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,，若其面积 （,b,2,+,c,2,-,a,2,），则,A,=,.,解析,三、解答题,10.,在,ABC,中，若 试判断,ABC,的形状,.,解,方法一,利用正弦定理边化角,.,即,sin,C,cos,C,=sin,B,cos,B,即,sin 2,C,=sin 2,B,.,因为,B,、,C,均为,ABC,的内角，,所以,2,C,=2,B,或,2,C,+2,B,=180,所以,B,=,C,或,B,+,C,=90,，,所以,ABC,为等腰三角形或直角三角形,.,方法二,由余弦定理，得,即,(,a,2,+,b,2,-,c,2,),c,2,=,b,2,(,a,2,+,c,2,-,b,2,),所以,a,2,c,2,-,c,4,=,a,2,b,2,-,b,4,即,a,2,b,2,-,a,2,c,2,+,c,4,-,b,4,=0,所以,a,2,(,b,2,-,c,2,)+(,c,2,-,b,2,)(,c,2,+,b,2,)=0,即,(,b,2,-,c,2,)(,a,2,-,b,2,-,c,2,)=0,所以,b,2,=,c,2,或,a,2,-,b,2,-,c,2,=0,即,b,=,c,或,a,2,=,b,2,+,c,2,.,所以,ABC,为等腰三角形或直角三角形,.,11.,在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所对边长分别为,a,、,b,、,c,设,a,、,b,、,c,满足条件,b,2,+,c,2,-,bc,=,a,2,和 求角,A,和,tan,B,的值,.,解,由,b,2,+,c,2,-,bc,=,a,2,得,12.,在,ABC,中,角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c,，,已知,a,+,b,=5,，,c,=,，且,(1),求角,C,的大小；,(2),求,ABC,的面积,.,解,（,1,）,A,+,B,+,C,=180,即,7=,a,2,+,b,2,-,ab,7=(,a,+,b,),2,-3,ab,，,由条件,a,+,b,=5,得,7=25-3,ab,ab,=6,