高考数学第一轮总复习经典实用 3-1数列学案课件.ppt

,命题预测：,1,数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一至两个客观性试题和一个解答题，分值占整个试卷的,15%,左右，客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前,n,项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，以及归纳猜想等能力，理科试卷在极限的有关运算、无穷递减等比数列所有项和等内容也经常出题，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以数列、,数学归纳法内容,(,文科考生对数列极限、数学归纳法不做要求,),为工具、综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于中、高档难度的题目,2,数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是数列推理题是近年来高考命题的热点,3,数列推理题是新出现的命题热点数学的抽象推理，能直接反映考生个性的思维品质，区分思维的严谨程度、深刻程度、灵敏程度、灵活程度的差异，从而有效区分考生的潜能逻辑思维能力是数学考查的核心，高考中对逻辑推理能力的考查在不断加强，特别是近几年，对推理能力的考查，主要放在数列题中，几乎每年,1,至,2,道,(,如：,2009,山东卷,20,题、江西卷,22,题、安徽卷,19,题等,),4,数列与解析几何知识结合的题目及数列的应用问题也要引起足够的重视,备考指南：,1,数列部分的复习要分为三个方面：,(1),重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用,(2),掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用,(3),要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活解这类题时，学生们要全面灵活地运用数学思想方法进行思考解答,2,数列部分的复习要加强三种意识：,(1),对于客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的选择题，就会发现，除了常规方法外，要注意使用更简捷的方法求解灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法如,2009,年福建文科第,3,题常规方法是运用方程的思想求解,a,1,和,d,，若运用性质 便可以直接得到,S,8,.,两种不同的解法，差异很大，体现不同的方法和不同的能力要求,(2),对于填空题，则应注重归纳猜想、解方程等方法,(3),在数列的学习中加强能力训练和综合训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出一般来说，考题中选择题、填空题解法灵活多变，而解答题更是能力与思想的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视,.,基础知识,一、按,叫数列，数列中的,都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是定义域为,N,*,(,或它的子集,),的函数，,f,(,n,),是当自变量,n,从,1,开始依次取自然数时所对应的一列函数值,f,(1),、,f,(2),、,、,f,(,n,),.,通常用,a,n,代替,f,(,n,),，故数列的一般形式为：,，,，简记为,，其中,a,n,是数列的第,n,项,一定次序排成的一列数,每一,个数,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,n,a,n,二、如果数列,a,n,的第,n,项,与项数,之间的关系可以用一个公式,a,n,f,(,n,),来表示，那么,a,n,f,(,n,),叫做数列的,但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的,三、如已知数列,a,n,的第,项,(,或前,项,),，且任一项,与它的前一项,(,或,),间的关系可以用一个公式表示，此公式叫数列的递推公式数列常用表示法有三种：,、,、,a,n,n,通,项公式,1,几,a,n,a,n,1,前几项,解析法,(,通项公式或递推公式,),列表法,图象法,一、数列与函数的关系失误,1,数列,2,n,2,29,n,3,中的最大项为,_,答案：,a,7,108,二、知,S,n,表达式求通项,a,n,失误,2,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,4,n,，则,a,n,_.,答案：,2,n,5,3,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,满足,log,2,(,n,2,S,n,),2,，则,a,n,_.,答案：,三、忽略,n,的条件出现错误,4,判断正误，,若在数列,a,n,中,a,1,1,，,a,n,1,3,S,n,(,n,1),，则数列,a,n,是等比数列,(,),答案：,回归教材,1,下列对数列的理解有四种：,数列可以看成一个定义在,N,*,(,或它的有限子集,1,2,3,，,，,n,),上的函数；,数列的项数是有限的；,数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；,数列的通项公式是惟一的,其中说法正确的序号是,(,),A,B,C,D,解析：,由数列与函数的关系知,对，,对，由数列的分类知,不对，数列的通项公式不是惟一的，,不对,答案：,C,2,(,课本,P,142,，,B,组,2,题改编,),已知数列的通项公式,a,n,n,2,5,n,14,，,b,N,，则：,(1),这个数列的第,4,项是,_,；,(2)52,是这个数列的第,_,项；,(3),这个数列的第,_,项最小；,(4),这个数列前,_,项的和最小,答案：,18,11,2,或,3,6,或,7,3,已知数列,a,n,的前,4,项为,1,3,7,15,，写出数列,a,n,的一个通项公式,a,n,_.,答案：,2,n,1,4,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,满足,log,2,(,S,n,1),n,1,，则,a,n,_.,答案：,5,(2009,成都,3,月诊断，,5),数列,a,n,中，若,a,1,，,a,n,(,n,2,，,n,N,),，则,a,2007,的值为,(,),A,1,B.,C,1,D,2,答案：,A,解析：,数列,a,n,是周期为,3,的数列，,a,2007,a,3,1,1.,故选,A.,【,例,1,】,根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：,(1),1,4,，,7,11,，,(2)0.8,0.88,0.888,，,(5)0,1,0,1,命题意图,先观察各项的特点，然后归纳出通项公式,解析,(1),符号问题可通过,(,1),n,或,(,1),n,1,表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面数的绝对值总比前面数的绝对值大,3,，故通项公式为,a,n,(,1),n,(3,n,2),(2),将数列变形为,(1,0.1),，,(1,0.01),，,(1,0.001),，,，,a,n,(1,),(3),各项的分母分别为,2,1,2,2,2,3,2,4,，,易看出第,2,3,4,项的分子分别比分母少,3.,因此把第,1,项变为 ，至此原数,列已化为,，,a,n,(,1),n,.,(4),将数列统一为 ，,对于分子,3,5,7,9,，,，是序号的,2,倍加,1,，可得分子的通项公式为,b,n,2,n,1,，对于分母,2,5,10,17,，,联想到数列,1,4,9,16,即数列,n,2,，可得分母的通项公式为,c,n,n,2,1,，,可得它的一个通项公式为,a,n,.,总结评述,(1),根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求,(2),根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着,“,从特殊到一般,”,的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用,(,1),n,或,(,1),n,1,来调整,(3),观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列,(,如自然数列、奇偶数列等,),建立合理的联想、转换而使问题得到解决,根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式：,(1)4,，,2,，,.,(2)3,5,9,17,33,，,.,(3)5,55,555,5555,，,.,(4)7,0,，,7,0,7,，,.,分析：,本题给出四个数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，即寻找一列数的排列规则，关键在于找出项与序号间的对应关系,解析：,(1),这个数列的前四项可以改写成,，这四项的分母都与项的序号相同，分子恰好是序号加,3,，又奇数项为正，偶数项为负，从而它的一个通项公式为,a,n,(,1),n,1,.,(2),若联想数列,2,4,8,16,32,，,，即数列,2,n,，可知,a,n,2,n,1,；,若考虑逐差法，有,a,2,a,1,2,2,1,，,a,3,a,2,4,2,2,，,a,n,a,n,1,2,n,1,，累加得,a,n,a,1,2,2,2,2,n,1,，,即,a,n,3,2,n,2,2,n,1.,(3),所求通项可转化为基本数列,9,99,999,9999,，,的通项,a,n,10,n,1.,易知,a,n,(10,n,1)(,n,N,*,),(4),所求通项可转化为数列,1,0,，,1,0,1,，,的通项，这不正是,“,五点法,”,作图中的几个值吗？于是有,a,n,7sin,，或,a,n,7cos,(,n,N,*,),总结评述：,解这类题需要我们从多角度思考，全方位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作为基本数列或特殊数列，方可迅速获解,【,例,2,】,(1),已知,a,n,中，,a,1,，,a,n,1,a,n,，求,a,n,.,(2),数列,a,n,中，,a,1,1,，对于,n,1(,n,N,*,),有,a,n,3,a,n,1,2,，求,a,n,.,(3),已知数列,a,n,中，,a,1,，,a,n,1,求,a,n,.,分析,(1),对于递推式为,a,n,1,a,n,f,(,n,),而且,f,(,n,),可以求和,只要和,f,(1),f,(2),f,(,n,1),f,(,n,),是可求的，就可以由,a,n,1,a,n,f,(,n,),以,“,n,”,1,2,，,，,(,n,1),代入，可得,n,1,个等式累加而求,a,n,，称为累加法,(2),递推式为,a,n,1,pa,n,q,(,p,，,q,为常数，且,p,0,1,，,q,0),对于形如,a,n,1,pa,n,q,的递推公式求通项公式常用迭代法或换元法，其中换元法由,a,n,1,pa,n,q,(,p,1),得,(3),对于递推式为,a,n,1,pa,n,q,n,(,p,，,q,为常数,),对于递推式,a,n,1,pa,n,q,n,，可两边除以,q,n,1,，得,引辅助数列,b,n,，,b,n,，得,b,n,1,再解,(4),当然，本例各小题也可以采取,“,猜想归纳法,”,，先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学归纳法证明,解析,(1),由已知得,a,n,1,a,n,令,“,n,”,1,2,，,，,(,n,1),，代入后,(,n,1),个等式累加，即,(,a,2,a,1,),(,a,3,a,2,),(,a,n,a,n,1,),(2),解法,1,：,由已知递推式得,a,n,1,3,a,n,2,，,a,n,3,a,n,1,2,，,两式相减,a,n,1,a,n,3(,a,n,a,n,1,),，,(,这是手段之一,),因此数列,a,n,1,a,n,是公比为,3,的等比数列，其首项为,a,2,a,1,(3,1,2),1,4,，,a,n,1,a,n,4,3,n,1,.,a,n,1,3,a,n,2,，,3,a,n,2,a,n,4,3,n,1,，,即,a,n,2,3,n,1,1.,解法,2,：,由解法,1,得,a,n,1,a,n,是公比为,3,的等比数列，于是有：,a,2,a,1,4,，,a,3,a,2,4,3,，,a,4,a,3,4,3,2,，,，,a,n,a,n,1,4,3,n,2,，,把,n,1,个等式累加得,a,n,a,1,4(1,3,3,2,3,n,2,),，,a,n,23,n,1,1.,解法,3,：,设递推式,a,n,3,a,n,1,2,，,可以化为：,a,n,1,t,3(,a,n,t,),即,a,n,1,3,a,n,2,t,.,2,2,t,，,t,1,，于是得,a,n,1,1,3(,a,n,1),，,(,这是手段之二,),数列,a,n,1,是公比为,3,的等比数列，其首项为,a,1,1,2,，,a,n,1,2,3,n,1,，即,a,n,2,3,n,1,1.,总结评述,把一个数列问题转化为基本数列求解，它的好处是利于应用基本数列的公式及其研究方法本题的解法,1,和解法,3,，通过变换得,b,n,a,n,1,，或,b,n,a,n,1,a,n,，将原数列转化为等比数列求解；本题解法,2,，应用了叠加法原理,(3),在,a,n,1,的两边乘以,2,n,1,得，,2,n,1,a,n,1,(2,n,a,n,),1,，令,b,n,2,n,a,n,.,则,b,n,1,b,n,1,，,于是可得,b,n,1,b,n,(,b,n,b,n,1,)(,下面与,(2),题解法一样,),b,n,3,2(),n,.,a,n,已知数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,n,3,n,1,a,n,1,(,n,2),求,a,n,.,解析：,方法一：由已知,a,n,a,n,1,3,n,1,(,n,2),，,故,a,n,(,a,n,a,n,1,),(,a,n,1,a,n,2,),(,a,2,a,1,),a,1,3,n,1,3,n,2,3,1,.,n,1,时，也满足上式，故,a,n,.,方法二：递推式,a,n,3,n,1,a,n,1,，,则,a,n,1,3,n,2,a,n,2,，,，,所以,a,n,3,n,1,a,n,1,3,n,1,3,n,2,a,n,2,3,n,1,3,n,2,3,2,a,2,3,n,1,3,n,2,3,2,3,a,1,3,n,1,3,n,2,3,1,，,n,1,时，也满足,a,n,.,从而,a,n,对任意,n,N,*,均成立,已知,a,n,中,a,1,1,，,a,n,1,2,a,n,1,求,a,n,解法,1,：,(,迭代法,),a,n,2,a,n,1,1,2(2,a,n,2,1),1,2,2,a,n,2,2,1,，,2,2,(2,a,n,3,1),2,1,2,3,a,n,3,2,2,2,1,2,n,1,a,1,2,n,2,2,n,3,2,1,2,n,1,2,n,2,2,1,2,n,1.,解法,2,：,(,换元法,),a,n,1,2,a,n,1,，,a,n,1,1,2(,a,n,1),a,n,1,是以,a,1,1,为首项，,2,为公比的等比数列，,a,n,1,22,n,1,2,n,a,n,2,n,1.,在数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,n,2,a,n,1,2,n,1,(,n,2,，,n,N,*,),求,a,n,.,解析：,a,n,2,a,n,1,2,n,1,成等差数列，首项为 ,1,，公差为,2,，,1,(,n,1)2,2,n,1.,【,例,3,】,已知下列各数列,a,n,的前,n,项和,S,n,的公式，求,a,n,的通项公式,S,n,10,n,1,；,S,n,n,2,1,；,a,n,0,，,分析,(1),已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,，求,a,n,时，要注意运用,a,n,和,S,n,的关系，即,a,n,(2),对于形如,S,n,f,(,a,n,),求,a,n,常有两种处理方法：一、由,S,n,f,(,a,n,),得,S,n,1,f,(,a,n,1,),两式做差得,a,n,f,(,a,n,),f,(,a,n,1,)(,n,2),二、将,a,n,换成,S,n,S,n,1,即,S,n,f,(,S,n,S,n,1,),，先求出,S,n,，再求出,a,n,.,解析,(1),当,n,1,时，,a,1,S,1,9,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(10,n,1),(10,n,1,1),10,n,10,n,1,910,n,1,，,当,n,1,时，,a,1,9,也适合上式，,a,n,910,n,1,(,n,N,*,),(2),当,n,1,时，,a,1,S,1,2,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(,n,2,1),(,n,1),2,1,2,n,1,，,而,n,1,时，,a,1,2,不适合上式，,a,n,(3),由,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,8,a,n,(,a,n,a,n,1,4)(,a,n,a,n,1,),(,a,n,a,n,1,)(,a,n,a,n,1,4),0,a,n,0,，,a,n,a,n,1,0,a,n,a,n,1,4,0,，即,a,n,a,n,1,4,数列,a,n,为等差数列，且公差,d,4.,又,a,1,S,1,，,a,1,2,a,n,2,4(,n,1),4,n,2.,已知下面数列,a,n,的前,n,项和,S,n,，求,a,n,的通项公式：,(1),S,n,2,n,2,3,n,；,(2),S,n,3,n,b,；,(3),a,n,0,，,S,n,解析：,(1),a,1,S,1,2,3,1,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(2,n,2,3,n,),2(,n,1),2,3(,n,1),4,n,5.,由于,a,1,也适合此等式,a,n,4,n,5(,n,N,*,),(2),a,1,S,1,3,b,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(3,n,b,),(3,n,1,b,),23,n,1,.,当,b,1,时，,a,1,适合此等式；,当,b,1,时，,a,1,不适合此等式，,当,b,1,时，,a,n,23,n,1,；,当,b,1,时，,a,n,(3),由,a,n,与,S,n,的关系式把已知等式转化为,S,n,的递推关系式,当,n,1,时，,a,1,S,1,a,1,0,，,a,1,1.,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,，,S,n,(,S,n,S,n,1,整理得，,S,S,1.,S,是以,S,1,为首项，公差为,1,的等差数列,S,1,(,n,1)1,n,.,a,n,0,，,S,n,，又,S,1,1,，,当,n,N,*,时，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,1.,当,n,N,*,时，,a,n,总结评述：,已知,a,n,的前,n,项和,S,n,，求,a,n,时应注意以下三点：,应重视分类讨论的应用，分,n,1,和,n,2,两种情况讨论；特别注意,a,n,S,n,S,n,1,中需,n,2.,由,S,n,S,n,1,a,n,推得的,a,n,，当,n,1,时，,a,1,也适合,“,a,n,式,”,，则需统一,(,“,合写,”,),由,S,n,S,n,1,a,n,，推得的,a,n,，当,n,1,时，,a,1,不适合,“,a,n,式,”,，则数列的通项公式应分段表示,(,“,分写,”,),即,a,n,把,a,n,用,S,n,S,n,1,代换可得到,S,n,的递推关系式，若,S,n,f,(,a,n,),与,S,n,1,f,(,a,n,1,),相减可得,a,n,的递推关系式，这两种方法都是求解此类问题的常用方法,1,求数列通项或指定项通常用观察法,(,对于交错数列一般用,(,1),n,来区分奇偶项的符号,),；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法,2,强调,a,n,与,S,n,的关系：,a,n,3,已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：,(1),算出前几项，再归纳、猜想；,(2),“,a,n,1,pa,n,q,”,这种形式通常转化为,a,n,1,p,(,a,n,),，由待定系数法求出,，再化为等比数列；,(3),逐差累加法、累乘法或构造新数列法,请同学们认真完成课后强化作业,