线性方程组的解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性方程组的解法,长沙市雅礼中学 朱全民,线性方程组,矩阵表示方法,求如下方程的解,消元得到如下方程,回代过程,由,(3),(3),得,x,3,=1,将,x,3,代入,(2),(2),得,x,2,=-2,将,x,2,、,x,3,代入,(1),(1),得,x,2,=1,所以，本题解为,x=1,2,-1,T,用矩阵演示进行消元过程,第一步：先将方程写成增广矩阵的形式,用矩阵演示进行消元过程,第二步：然后对矩阵进行初等行变换,初等行变换包含如下操作,将某行同乘或同除一个非零实数,将某行加入到另一行,将任意两行互换,用矩阵演示进行消元过程,第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为,1,，左下三角矩阵全为,0,，形式如下：,示例,一、高斯消元的公式,消元,(1),令,a,ij,(1),=,a,ij,（,i,j,=1,2,3,n,）,b,i,(1),=b,i,（,i=1,2,3,n,）,(2),对,k=1,到,n-1,，若,a,kk,(k),0,，进行,l,ik,=,a,ik,(k),/,a,kk,(k,),（,i=k+1,k+2,n,）,a,ij,(k+1),=,a,ij,(k,),-,l,ik,*,a,kj,(k,),（,i,j,=k+1,k+2,n,）,b,i,(k+1),=,b,i,(k,),-,l,ik,*,b,k,(k,),（,i=k+1,k+2,n,）,回代,若,a,nn,(n,),0,x,n,=,b,n,(n,),/,a,nn,(n,),x,i,=(,b,i,(i,),sgm(a,ij,(i,),*,x,j,)/-,a,ii,(i,),(i=n-1,n-2,1),(j=i+1,i+2,n),高斯消元法的条件,消元过程要求,a,ii,(i,),0(i=1,2,n),回代过程则进一步要求,a,nn,(n,),0,但就方程组,Ax=b,讲，,a,ii,(i,),是否等于,0,时无法事先看出来的。,注意,A,的顺序主子式,D,i,（,i=1,2,n,）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了,k-1,步,(a,ii,(i),0,ik),，这时计算的,A,(k,),顺序主子式,:,D,1,=a,11,(1),D,2,=a,11,(1),a,22,(2),D,k,=a,11,(1),a,22,(2),a,k,k,(k,),有递推公式,D,1,=a,11,(1),D,i,=D,i-1,a,ii,(i,),(i=2,3,n),定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵,A,的,1,到,n-1,阶的顺序主子式不为,0,。,选主消元,因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。当,|,a,kk,(k,),|1,，此时用它作除数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。例如下列方程组,假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行。,0.0001x,1,+x,2,=1,x,1,+x,2,=2,0.1000,10,-3,x,1,+0.1000,10,1,x,2,=0.1000,10,1,0.1000,10,1,x,1,+0.1000,10,1,x,2,=0.2000,10,1,求解过程,代入得到,x,1,=0,x,2,=1,。显然，严重失真,!,(,因为本题的准确解为,x1=10000/9999,x2=9998/9999,因为,a,11,=0.0001,0,故可用,Gauss,消元法求解,进行第一次消元时有,a,22,(1),=0.1000,10,1,-10,4,0.1000,10,1,(m,21,=a,21,/a,11,=1/0.0001=10,4,),=0.00001,10,5,-0.1000,10,5,(,对阶计算),=0.0000,-0.1000,10,5,=,-0.1000,10,5,得三角方程组,0.1000,10,-3,x,1,+0.1000,10,1,x,2,=0.1000,10,1,-0.1000,10,5,x,2,=-0.1000,10,5,换主元,用高斯消去法求解线性方程组时,应避免小的主元,.,在实际计算中,进行第,k,步消去前,应该在第,k,列元素,a,ik,(i=k,n),中找出绝大值最大者,例如,a,nk,(k-1),=max a,ik,(k-1),再把第,p,个方程与第,k,个方程组进行交换,使,a,pk,(k-1),成为主元,.,我们称这个过程为选主元,.,由于只在第,k,列元素中选主元,通常也称为按列选主元,(,或称部分选主元,).,如果在第,k,步消去前,在第,k,个方程到第,n,个方程所有的,x,k,到,x,n,的系数,a,ij,(k-1),(i=k,n;j=k,n),中,找出绝对值最大者,例如,a,pq,(k-1),=maxa,ij,(k-1),再交换第,k,p,两个方程和第,k,q,两个未知量的次序,使,a,ij,(k-1),成为主元,.,称这个过程为完全选主元,.,kin,ki,jn,总结,在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。,解的判断,增广矩阵,其中,c,ii,0(,i,=1,，,2,，,，,r,),于是可知：,当,d,r,+1,=0,，且,r,=,n,时，原方程组有唯一解,当,d,r,+1,=0,，且,r,n,时，原方程组有无穷多解,当,d,r,+1,0,，原方程组无解,