复变函数论第一章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复变函数,华中科技大学数学与统计学院,*,*,1,2026/2/1 周日,第一章 复数与复变函数,1,复数,2,复平面上的点集,3,复变函数,4,复球面与无穷远点,2,2026/2/1 周日,第一节 复数,1.,虚数单位,:,对虚数单位的规定,:,一、复数的概念,虚数单位的特性,:,2.,复数,:,3,2026/2/1 周日,两复数相等,当且仅当,它们的实部和虚部分别相等,.,复数,z,等于,0,当且仅当,它的实部和虚部同时等于,0.,注：实数可以比较大小,但,复数不能比较大小,.,二、复数的代数运算,1.,两复数的代数和,:,2.,两复数的积,:,3.,两复数的商,:,4.,共轭复数,:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,4,2026/2/1 周日,6.,共轭复数的性质,:,例,1,解,5.,复数域,:,全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作,C.,实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例,.,5,2026/2/1 周日,例,2,证,例,3,解,设,6,2026/2/1 周日,三、复平面,1.,复数的模,显然下列各式成立,7,2026/2/1 周日,2.,复数的辐角,辐角不确定,.,辐角主值的定义,:,8,2026/2/1 周日,9,2026/2/1 周日,3.,利用平行四边形法求复数的和差,4.,复数和差的模的性质,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,.,|,z,1,+,z,2,|,10,2026/2/1 周日,5.,复数的三角表示和指数表示,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,11,2026/2/1 周日,z=x+iy=r(cos,+isin,)=re,i,辐角：任意（,-,，）的实数,，,满足,rcos,=x,rsin,=y.,辐角主值：任意（,-,，,的实数,，满足,rcos,=x,rsin,=y.,12,2026/2/1 周日,例,1,解,6.,复数在几何上的应用举例,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程,(,或不等式,),来表示,;,也可以由给定的复数形式的方程,(,或不等式,),来确定它所表示的平面图形。,13,2026/2/1 周日,例,1,求下列方程所表示的曲线,:,解,化简后得,14,2026/2/1 周日,1.,乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,;,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,.,四、复数的乘幂与方根,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加,.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,注,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集,.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应,.,15,2026/2/1 周日,z,1,z,2,=,r,1,e,i,1,r,2,e,i,2,=r,1,r,2,e,i,(,1+,2),z,1,/,z,2,=,r,1,e,i,1,/,r,2,e,i,2,=r,1,/,r,2,e,i,(,1-,2),16,2026/2/1 周日,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商,;,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,.,2.,幂与根,n,次幂,:,17,2026/2/1 周日,棣莫佛公式,推导过程如下,:,棣莫佛公式,根据棣莫佛公式,18,2026/2/1 周日,当,k,以其他整数值代入时,这些根又重复出现,.,从几何上看,Arg,w,k+1,Arg,w,k,=2,/n,k=0,1,2,n-1,19,2026/2/1 周日,例,1,解,即,20,2026/2/1 周日,1.2.1,复平面点集的几个基本概念,定义,1.1,邻域,:,记作,:,或,N,(,z,0,)=,z,|,z,-,z,0,|,记作：或,N,0,(,z,0,)=,z,|0|,z,-,z,0,|0:,N,(,z,0,),E=,z,0,z,0,为,E,的外点,0:,N,(,z,0,),E=,22,2026/2/1 周日,定义,1.3,内点、开集、边界点、边界、闭集,:,如果,E,内每一点都是它的内点,那末,E,称为开集,.,如果在,z,0,的任意一个邻域内,都有,属于,E,的点,也有,不属于,E,的点,则称,z,0,为,E,的边界点。,z,0,为,E,的内点,0:,N,(,z,0,),E,点集,E,的全体边界点组成的集合称为,E,的边界,.,记为,:,E,若点集,E,的每个聚点都属于,E,则称,E,为闭集；任何集合,E,的闭包 一定是闭集,.,23,2026/2/1 周日,定义,1,.,4,有界集和无界集,:,z,x,y,有界！,o,例,1,圆盘,N,(,z,0,)=,z,|,z,-,z,0,|,是有界开集；,闭圆盘,是有界闭集,。,例,2,集合,圆心,它是 的孤立点，是集合 的聚点。,24,2026/2/1 周日,定义,1.5,区域,:,如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域,.,(1),D,是一个,开集,；,(2),D,是,连通的,就是说,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连结起来,.,D,加上,D,的边界称为,闭域,。,1.2.2,区域与,Jordan,曲线,记为,D,D,+,D,z,1,z,2,D,说明,(2),区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成,.,(1),区域都是开的,.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,25,2026/2/1 周日,定义,1.6,连续曲线,:,平面曲线,C,的复数表示,:,C,的实参数方程,C,的,复,参数方程,起点,z,(,),C,终点,z,(,),z,x,y,C,C,的正向：起点,终点,o,26,2026/2/1 周日,没有重点的连续曲线,C,称为简单曲线,(,或若当,(Jordan),曲线,).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交,.,简单曲线是,z,平面上的一个有界闭集,.,27,2026/2/1 周日,简单闭曲线的性质,若当,(Jordan),定理,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成,C,I,(,C,),E,(,C,),三个互不相交的点集,.,满足：,I(C),E(C),边界,（,1,）,I,(,C,),是一个有界区域（称为,C,的内部）,.,（,2,）,E,(,C,),是一个无界区域（称为,C,的外部）,.,（,3,）若简单折线,P,的一个端点属于,I,(,C,),，另一个端点属于,E,(,C,),，则,P,必与,C,相交,.,（,4,）,C,是,I,(,C,),，,E,(,C,),的公共边界,.,28,2026/2/1 周日,定义,1.7,可求长曲线,:,设连续弧,C,的参数方程为,:,任取实数列,考虑,C,上对应点列,将它们用一折线 连接起来，,有上界，则称,C,为,可求长的,，上确界称为,C,的长度。,的长度为 。,若对所有数列 ，,光滑曲线,C,:,特点,（,1,）光滑曲线上的各点都有切线,（,2,）光滑曲线可以求长,29,2026/2/1 周日,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为,分段光滑曲线,.,分段光滑曲线必是可以求长的，但简单曲线或简单闭曲线却,不一定可求长,。,单连通域与多连通域的定义,:,复平面上的一个区域,B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于,B,就称为,单连通域,.,一个区域如果不是单连通域,就称为,多连通域,.,单连通域,多连通域,简单闭曲线的方向：,沿着一条简单闭曲线,C,前行时，,C,的内部总在左侧，此方向称为曲线,C,的正向，否则，称为负向。,o,x,y,30,2026/2/1 周日,例,1,指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的,.,解,无界的单连通域,(,如图,).,是角形域,无界的单连通域,(,如图,).,31,2026/2/1 周日,无界的多连通域,.,表示到,1,1,的距离之和为定值,4,的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域,.,32,2026/2/1 周日,两部分都是有界的单连通域,.,33,2026/2/1 周日,1.,定义,:,第三节 复变函数,2.,单,(,多,),值函数的定义,:,3.,函数的定义域和值域,:,1.3.1,复变函数的定义,4.,复变函数与自变量之间的关系,:,34,2026/2/1 周日,1.3.2,映射的概念,1.,引入,:,2.,映射的定义,:,35,2026/2/1 周日,1.3.2,映射的概念,x,u,G,G*,Z,平面,z,w,W,=,f,(,z,),v,y,W,平面,36,2026/2/1 周日,3.,几个特殊的映射,:,且是全同图形,.,37,2026/2/1 周日,根据乘法公式,映射,38,2026/2/1 周日,由于,w,=,z,2,=,(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,于是,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,x,y,O,z,1,z,2,w,2,z,3,w,3,w,1,u,v,O,39,2026/2/1 周日,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形,.,u,v,40,2026/2/1 周日,41,2026/2/1 周日,x,y,单位圆,z,|z|=1,z1,|z1|=1,z,|z|1,42,2026/2/1 周日,4.,反函数的定义,:,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射,.,例,设,w,=,f(z)=z,2,则称 为,w,=,z,2,的反函数或逆映射,为多值函数,2,支,.,因为不同的原象,z,0,z,1,对应共同的象,44,2026/2/1 周日,复变函数（,双值函数,）,x,u,G,G,*,Z,平面,z,1,w,1,w,1,=,f,1,(,z,1,),v,y,W,平面,w,2,w,2,=,f,2,(,z,1,),z,2,w,3,z,3,w,2,=,f,1,(,z,3,),W,3,=,f,1,(,z,2,),W,1,=,f,2,(,z,2,),w,=,f,(,z,),z,=,f,-1,(,w,),反函数,z,3,=,f,1,-1,(,w,2,),z,1,=,f,2,-1,(,w,2,),45,2026/2/1 周日,1.3.3,复变函数的极限,1.,函数极限的定义,:,注意,:,46,2026/2/1 周日,u,v,w,o,A,x,y,z,o,47,2026/2/1 周日,证,必要性,x,y,z,o,证毕,。,48,2026/2/1 周日,f(z)A(0,),当,z z,0,|f(z)|A|,Arg f(z)Arg A,当,z z,0,u,v,w,o,A,x,y,z,o,49,2026/2/1 周日,2.,极限的计算性质,定理一,证,(1),必要性,.,有,50,2026/2/1 周日,(2),充分性,.,则对于任意,证毕,51,2026/2/1 周日,定理二,与实变函数的极限运算法则类似,.,以上定理用极限定义证,!,52,2026/2/1 周日,证,(,二,),例,1,证,(,一,),根据定理一可知,53,2026/2/1 周日,例,2,证,根据定理一可知,54,2026/2/1 周日,1.,连续的定义,:,连续的,三要素,:,（,1,）,f,(,z,),在,z,0,处有定义,（,2,）,f,(,z,),在,z,0,处有极限,（,3,）,f,(,z,),在,z,0,处的极限值等于函数值,1.3.4,复变函数的连续性,55,2026/2/1 周日,定理,1.3,例如,2.,连续函数的性质,56,2026/2/1 周日,特别地，,(1),有理整函数,(,多项式,),(2),有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的,.,例,1,证,设,由于,例,2,证明,f,(,z,)=arg,z,在原点及负实轴上不连续,证,x,y,(,z,),o,z,z,58,2026/2/1 周日,3.,有界闭集上连续函数的性质,0,0,z,1,z,2,E,当,|,z,1,-,z,2,|,时,有,|,f,(,z,1,)-,f,(,z,2,)|.,定理,1.7,设,E,是有界闭集，,f,(,z,),C,(,E,),则有：,（,1,）,f,(,z,),在,E,上,有界,：,（,2,）,|,f,(,z,)|,在,E,上有,最大（小）值,，即：,（,3,）,f,(,z,),在,E,上,一致连续,，即,例,3,证,59,2026/2/1 周日,4.,复变函数的极限性质,定理,1(Bolzano-Weierstrass,聚点定理,),每一个有界无穷点集至少有一个聚点。,定理,2(,闭集套定理,),定理,3(,Heine-Borel,有限覆盖定理,),60,2026/2/1 周日,一、复球面,1.,南极、北极的定义,第四节 复球面与无穷远点,2.,复球面的定义,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,.,我们可以用球面上的点来表示复数,.,x,y,O,N,S,z,P,(,z,),z,61,2026/2/1 周日,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,规定,:,复数中有一个唯一的,“,无穷大,”,与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大 的几何表示,.,以上对应可以用公式表示为：,62,2026/2/1 周日,3.,扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为,扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,简称复平面,.,复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,.,4.,无穷远点,关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于,:,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义,：,63,2026/2/1 周日,二,.,扩充复平面上的几个概念,1,无穷远点的邻域,:,无穷远点的去心邻域,:,注,2,在扩充复平面上单连通区域,:,解,例,1,注,考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上。,64,2026/2/1 周日,3,广义极限与广义连续,广义极限,广义连续,例,2,证明,由于,