孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7 非简谐效应.ppt

4.7,非简谐效应,一、晶体的热传导,本节主要内容:,二、晶体的热膨胀,4.7,非简谐效应,在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3,N,个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；,晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。,也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率,.,所以，用简谐近似理论,不能解释晶体的,热膨胀和热传导,现象,。,实际上，原子间的相互作用力,(,恢复力,),并非严格地与原子的位移成正比。,当在晶体的势能展开式中，考虑,3,次方及其以上的高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子,.,通常把,3,次方及其以上的高次项称为,非简谐项,。,如果原子的位移相当小，则非简谐项和简谐项,(2,次方项,),相比为一小量，则可把非简谐项看成,微扰项,。,由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立的了，而相互间要发生作用，即声子和声子之间要相互交换能量。,这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子。即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生。,这样，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。,所以，,非简谐项的存在是使晶格振动达到热平衡的最主要原因,.,一般把从简谐晶体的声子出发，在此基础上做进一步修改的方法，称为,准简谐近似,。,一、,晶体的热传导,1.,N,过程和,U,过程,把声子看成准粒子后，非简谐项的微扰作用，可导致声子态之间的跃迁。,这种声子态之间的跃迁常称为声子,-,声子相互作用，或声子之间的碰撞或散射。,声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。,非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程，如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。,三声子过程(势能展开取到3次方项),四声子过程,(势能展开取到4次方项),两个声子通过非简谐项的作用,产生了第三个声子,这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子,.,声子的这种相互作用可以理解为,:,一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变,由于非简谐项的影响,晶体的弹性模量不是常数,而受到弹性应变的调制,.,由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。,该过程遵循,能量守恒和准动量守恒,。,设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为,1,、,q,1,和,2,、,q,2,；而第三个声子的频率和波矢为,3,、,q,3,，对于该三声子过程，则有,:,由于晶格振动的状态是波矢的周期函数，即,q,态和,q,+,G,h,态等价。因此还有如下等效关系,实际情况确实存在上述两种对应关系,.,比如在研究,热阻,时，发现两个同向运动的声子相互碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即,运动方向发生倒转,。,因此两个声子的碰撞过程可以满足,称为,正常过程,(normal process),或,N,过程,.,两个声子的碰撞过程也可以满足,称为,倒逆过程,(,Umldapp,process),或,U,过程，也叫反转过程,。,显然对于三声子碰撞过程来说，,N,过程意味着波矢,q,1,+,q,2,=,q,3,始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，因而不改变热流的基本方向,.,而,U,过程则要求波矢,q,1,+,q,2,在第一布里渊区以外，导致,q,3,几乎与,q,1,+,q,2,方向相反,.,N,过程,U,过程,反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果，它是产生热阻的一个重要机制。,2.,晶格的热传导和热导率,我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们可以认为晶格中存在大量的,声子气体,，声子是热能的携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即,显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准经典解释。,类似于第一章，晶格的热导率满足,由于声子的,平均热运动速度,一般取成固体中的平均声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主要是晶格比热容,C,V,和声子的平均自由程,。,其中，,C,V,为晶格比热容，,为声子的平均自由程，为声子的平均热运动速度，常取,固体中的平均声速,。,声子的平均自由程,与声子数目有关，声子数目越多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自由程,就越小；反之，声子数目越少，声子之间的碰撞几率就越小，从而声子的平均自由程,就越大。,声子数目可由波色统计给出。,高温时，声子数目满足,:,所以,高温时,声子数目与温度成正比,从而导致声子的平均自由程,随温度升高而变小,即,T,-1,。,我们知道在高温时,也就是温度远高于德拜温度时,晶格比热容,C,V,是一个与温度无关的常数。,因此,T,D,时，晶格的热导率随温度的升高而变小，满足,T,-1,。,所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从而导致声子的平均自由程,随温度升高而成指数规律变大，即,e,A/T,。,低温下，,T,D,时，声子数目满足,此外，,T,D,时，晶格比热容,C,V,满足德拜三次方定律，即,C,V,T,3,。,所以，,T,D,时，晶格热导率满足,T,3,e,A/T,。,显然,T,0,时，声子的平均自由程,，从而导致晶格热导率,。,对于,完整的晶体,，即不存在杂质和缺陷的晶体，则,声子的平均自由程,等于晶体的线度,D,，是一个常数。,实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。,所以,T,D,时，晶体比热,C,V,为常数，导致热膨胀系数,为常数；,在,很低温度下,T,D,时,晶格比热,C,V,T,3,，所以热膨胀系数,T,3,；,在,更低温度,(10K,左右,),，对于,金属,，由于电子气的作用，热膨胀系数,T,。,